CHAP. VI. — LES AIMANTS LINÉAIRES

ment MM'. La fonction potentielle magnétique de l'élément MM' en ce point (j:, y^ z) aura pour valeur [Chapitre I, égalité (i)]

cosT/', /)

P= ]xds

l étant la direction de l'aimantation de l'élément MM'.

Nous admettrons que l* aimant linéaire étudié est aimanté tongitiidinalement ^ c'est-à-dire que la direction / de l'aimantation coïncide en chaque point M avec la direction de la tangente à la ligne s. Nous aurons alors

cos(r,/) = -^

et

F = u --- ds, ' os

La valeur au point (^, jK, z) de la fonction potentielle magnétique de l'aimant tout entier est la somme des quantités P relatives aux différents éléments MM' de l'aimant. On a donc, en désignant par L la longueur de l'aimant,

Une intégration par parties permet de transformer cette égalité en

^ -^ /'i r^ J^ r ds '

{jlq et |JL| étant les valeurs de p. aux points B et A, i\ et /*« étant les distances des points B et A au point (x, y^ z).

On voit, d'après cette formule (i), que l'on peut remplacer l'action d'un aimant linéaire sur un point extérieur par l'action d'une distribution fictive formée :

1° De deux masses de fluide fictif, respectivement égales à — [Xq et à [X|, placées aux extrémités B et A de Taimant;

2? D'une traînée de fluide fictif, distribuée le long de la ligne Sj et ayant pour densité linéaire en chaque point

Si, en particulier, la quantité [x est constante tout le long de la

ligne Sf on aura

f^i = Ho = I-i, X

la formule (i) deviendra

L^aiinant exercera les mêmes actions extérieures que deux quantités égales et de signe contraire de fluide fictif placées en ses deux extrémités. Un semblable aimant est dit solénoïde magnétique.

Nous avons vu (Chap. I) que des aiguilles d'acier extrêmement longues se comportaient sensiblement comme des solénoïdes maj;nétiques.

Coulomb et les expérimentateurs qui, après lui, se sont occupés de l'élude des aimants linéaires que l'on peut faire avec des aiguilles d'acier, ont admis implicitement dans leurs recherches que la quantité |jl était égale à o aux deux extrémités d'un aimant linéaire.

Cette hvpotlièse, exprimée par les égalités

îx, = o,

semble en contradiction avec ce fait, que les aiguilles d'acier très longues se comportent sensiblement comme des solénoïdes magnétiques. Mais nous verrons tout à l'heure que cette contradiction n'est qu'apparente.

On peut donc adopter l'hypothèse suivante : dans les aimants linéaires réalisables, la quantité [x est égale à o aux extrémités, quitte à vérifier ensuite expérimentalement les conséquences de cette hypothèse.

Moyennant cette hypothèse, les égalités (i) et ('2) donnent

ds.

On voit alors que l'étude des propriétés de l'aimant considéré revient à la détermination de la valeur que présente en chaque point la quantité X«

Nous allons examiner les principes sur lesquels repose celte détermination.

CUAP. VI. — Li:S AIMANTS LINEAIRES. 77

Soit BA {Jig. 1 1) une ligne sur laquelle le fluide fictif est distribué avec une densité linéaire continue. Soient P un point de cette ligne et X la valeur de la densité linéaire en <;e point.

Fig. II.

I" Supposons que le point P ne soit pas une des extrémités de la ligne BA. Par ce point^ menons une normale PN à la ligne BA. Sur la normale PN, prenons un point II dont la distance 2 au point P soit infiniment petite. Prenons la ligne BA comme directrice d^une surface canal dont S sera le rayon. Prenons ensuite sur la ligne BA, de part et d'autre du point P, deux points M, M', dont la distance ds soit infiniment petite. Par les points M, M', menons deux sections droites de la surface canal.

Appliquons les lemmes de Gauss au petit cylindre limité par ces deux sections.

Les deux bases, grâce à la petitesse de o, fournissent à la somme des composantes normales des infiniment petits d'ordre supérieur. Sur la surface latérale, la composante normale de l'action magnétique peut être regardée comme ayant en tout point la même valeur ¥^, La somme des composantes normales a donc pour

valeur

p. TTO ds Fa .

Ces actions proviennent du fluide fictif distribué sur la ligne BA avec la densité X. On a donc

ou

2 ro ds ¥s = { TïX ds

'iP Ces considérations ne s'appliquent plus à un point P dont

la dislance à Tune des extrémités de la ligne BA n'est pas finie. En effet, au voisinage de ce point, Fj^ pourrait n'être plus une fonction continue des. Examinons donc directement le cas particulier où le point P coïnciderait avec une des extrémités de Faimant AB, l'extrémité B par exemple (Jig* 12).

Fig. 12.

Par Textrémilé B de l'aimant BA, menons un plan P normal à l'aimant. Soit BA' la ligne symétrique de la ligne BA par rapport à ce plan P. Sur la ligne BA' distribuons du fluide fictif, de manière qu'en deux points M, M', symétriques par rapport au plan P, la densité linéaire X de ce fluide fictif ait la même valeur.

Prenons, dans le plan P, un point II situé à une distance du point B. Soit Fy la composante suivant BU de l'action exercée au point n par le fluide répandu sur la ligne BA. L'action exercée au même point par le fluide répandu sur la ligne A'BA aura pour composante, suivant BIT, ^y= aF^^-. Or, d'après ce qui précède, on aura

OU bien

Les égalités (3) et (4) conduisent à la proposition suivante :

Une ligne BA porte du fluide fictif dont la densité linéaire est X au point P. Un pâle II, égal à r unité, est situé à une distance infiniment petite du point P sur une normale N à la