LES DISTRIBUTIONS SOLÉNOIDALES ET LAMELLAIRES
§ 1. — De la distribution magnétique solénoXdale.
Sir W. Thomson (*) a donné sur la distribution du magnétisme à l'intérieur des aimants quelques théorèmes qui, sans avoir l'importance pratique des propositions relatives à la distribution superficielle, sont cependant remarquables par leur élégance et leur généralité. M. Betti (^) a donné un très bel exposé des théorèmes de Sir W. Thomson. Le présent Chapitre sera consacré à reproduire cet erxposé.
Nous prendrons pour point de départ le théorème suivant, qui est dû à Jacobi :
Si trois /onctions X^ 'ill, © sont, dans un certain espace, uniformes, finies et continues ainsi que leurs dérii^ées partielles du premier ordre; si, de plus, elles vérifient, en tout point de cet espace, Véquation
dX dx
(^\ft> d2.
ày
il existe deux fonctions [x, v, qui sont, dans cet espace, uniformes, finies et continues, ainsi que leurs dériçées partielles
(») Sir w. Thomson, A mathematical theory of magnetism {Proceedings of the Royal Society, juin 1849. "" Sir W. Thomson's Reprint of papers on electrostatics and magnetism, Art. XXIV, Chap. V) .
(') Betti, Teorica délie forse newtoniane e sui applicazioni alV elettrostatica e al magnetismo, Chap. III, § 3; Pise, 1879.
CHAP. VII. — LES DISTRIBUTIONS SOLÉNOÏDALES ET LAlfELLAlRES. 87
du premier ordre, et qui sont telles que Von ait
"" dy dz âjr dz'
» ^ __ <)|JL <?v dv d^i
~ dz dx dz dx
^ __ dfjL ^ ds d\ï.
^ ^ dxdy ""55^'
Ce théorème admis, considérons un aimant et supposons que les trois composantes X, ifb, B de Taimantation vérifient, en tout point de l'aimant, la condition (i).
Soient m, n deux paramètres variables et considérons les deux familles de surfaces
Deux de ces surfaces, l'une de la première famille^ l'autre de la seconde, se coupent suivant une ligne ; par chaque point M (a: , ^, z) du corps, il passe une de ces lignes et une seule, puisque ce point correspond à une seule valeur de [x et à une seule valeur de v. Cette ligne se déplace et se déforme d'une manière continue lorsque les deux paramètres m et /i changent de valeur d'une manière continue.
Soient N et N' les normales menées par le point M à la surface
et à la surface
qui passent par ce point; soient a, ^, yles cosinus directeurs de la normale N et a', P', y' les cosinus directeurs de la normale N'. Nous aurons
et, de même,
LIVKE VII. — LKS FORCES HAGnAtIQVES.
/tv^i*ïyYf-^
\djr J \dz
Les égalités (2) devienDent alors
x = (nfx)«(nv)«(pr-ïP').
[ e =(niJL)«(nv)«(ap'-pa').
Ces trois équations, en nous montrant que les composantes de Taimantation au point M sont respectivement proportionnelles aux trois quantités
(Pt'-#), (ï«'-«y'), («P-3«'),
nous montrent que la direction de Taimantation au point M est normale à la fois aux deux lignes N et N'. D'où ce premier théorème ;
Si la condition (i) est vérifiée en tout point du corps, l'aimantation est en tout point tangente à r intersection des deux sur/aces
qui passent par ce point,
LMntensité d'aimantation au point M est donnée par Fégalité
Les identités
transforment cette égalité en
(8) an.*= niJi.nv.[i-(aa'-f- pp'n- yy')*]-
rfy.
CHAP. Vil. — LES DISTRIBUTIONS SOLBNOYOALES ET LAMELLAIRES. 89
Considérons les quatre surfaces
jji = /n -4- Am, V = /i-H A/i.
Elles découpent, dans le corps, un canal infiniment délié, que l'on peut assimiler à un aimant linéaire. D'après le théorème précédent, le long de cet aimant linéaire, l'aimantation est longitudinale.
Soit M(x, y, 3) un point de la ligne
fx = m,
Par le point M, menons un plan normal à cette ligne. Ce plan rencontre respectivement les trois lignes
yi = m-h Am, ( ix = m, ( |jl = /n -+- Am,
v=/i; (v=/i-f-A/i; (v=n-hA/i
aux points
P(.7?4-Ar, y-h^y, 5 4-A«),
P*{x-^ l'x, jr -h^'y, 5 H- A' -s), P'ix -f- ^'x, y H- A>, z + A'z).
Le parallélogramme MPPF' est la section droite, au point M, du canal infiniment délié. Si nous désignons par û l'aire de ce parallélogramme, nous aurons
(9) Û*=MP .MF' .sin«PMP'.
On a évidemment
JlAa?H--~Av-|--ri-A^ = Am, ùx ày '^ dz '
D'ailleurs le plan normal au point M à l'intersection des deux sur faces
est le plan NMN', dont l'équation est
(Pï'~7P')(X-^)-+-(Ya'-aY')(Y-J^) + (ap'-Pa')(Z-^) = o.
go LIVRE vu. — LES FORCES MAGNÉTIQUES.
Le point P étant dans ce plan, on a
Moyennant les égalités (5) et (6), on voit que les trois égalités vérifiées par Ax, Ay, As sont les suivantes :
a Ar H- p A/ -h Y A>5 =
(Pï'-
jA/w,
(nix)«
(ap'— pa')^
ce qui donne \x =
(nHL)'[(PY'-Y?')'+(T«'-«ï' )• + (=<?'-?«')'] [•r'(PT'-YP')-«'(«^'-Pa')l^'»
(n(x)ïr(pT'--r?')'+(T«'-«ï')* + («?'-P«')'] [a'Cra'-n')-P'(Pï'-TP')]^"»
(nHi)î[(pT'-Y3')' + (Ya'-aY')« + (a?'-pa')']
el, par conséquent,
MP =(At)» + (A^)» + (A«)«
(lO)
^i>- [( Pt' - yP' )' + ( Y«' - «y' )'+(«?'- P«' )* ]'
xl[p'(«p'-pa')-Y'(Y«'-«Y')]*
[y'(Py'-yP')- «'(«?'- P«')]'
[a'(Y«' - «y')- P'(Py'- yP')]' i (Am)«.
Soit L la ligne
V = rt.
La normale au plan LMN' étant désignée par X, on aura
cos(3C., ar) cos(0t), ^) cos(3Ii, -*)
/(Py* «'(y«'
yP')- «'(«?'- P«').
«y')-P'(Py'-y?')-
Dès lors, en vertu de l'égalité
co8'(3'C>, a:)+cos*(i)'&,^)+cos«(3l9, ^)=i,
CIUP. VII. — LES DISTRIBUTIONS SOLÉNOÏOALES ET LASIELLAIRES. Ql
Tégalilé (lo) deviendra
ou bien
(il) MP = if-
On a, de même,
Knfin
(i3) 5În2PMP'= I - cos2NMN'= 1 -(aa'n- pp'-t- yy')*.
En vertu des égalités (i i), (la) et (i3), l'égalité (9) devient
02^ (Am.An]«
n|ji.IIv.[i-(aa'— p?'-+-Yï')*l*
égalité qui, comparée à Tégalilé (8), donne
Le produit D1LQ garde donc la même valeur absolue tout le long du canal infiniment délié considéré; ce canal constitue ce que nous avons appelé, au Chapitre précédent, un solénoïde magnétique. Nous arrivons donc à la proposition suivante :
Si les composantes de l'aimantation satisfont en tous les points d'un corps à la condition
drA. d\S^ dZ
il existe deux familles de surfaces découpant le corps en canaux infiniment déliés dont chacun est un solénoïde magnétique.
Sir W. Thomson a donné le nom de distribution magnétique solénoïdale à une distribution dont les composantes vérifient en tout point l'égalité (i). Nous avons vu (Chap. IV, § 2) qu'une semblable distribution jouissait de propriétés remarquables.
91 LIVRB Vil. — LES FORCES MAGNETIQUES.
§ 2. — De la distribution lamellaire simple.
Supposons maintenant qu'en tout point d'un aimant simplement connexe les composantes &l>, iJl), 3 de l'aimantation soient drs fonctions uniformes finies et continues de x^ y y 5, et qu'il en soit de même de leurs dérivées partielles du premier ordre. Supposons en outre que ces dérivées vérifient les conditions
àz
de
de
dx
dX
dz =«'
dX
ày
dx
Dans ce cas, il existera une fonction 'f (^, ^, z) uniforme, finie et continue, telle que Ton ait
dx dy dz
Considérons un paramètre variable y. La surface
est, ou bien une surface fermée contenue en entier à l'intérieur de l'aimant, ou bien une aire limitée ajant son contour à la surface de l'aimant. Par tout point de l'aimant, il passe une et une seule de ces surfaces. Lorsque le paramètre /* varie d'une manière continue, celte surface se déforme d'une manière continue, de manière à balayer tout l'espace occupé par l'aimant.
Soit N la normale en un point de la surface S représentée par l'égalité (i6), celte normale étant dirigée du côté où/ va en croissant. Soient a, p, y les cosinus directeurs de cette normale. Nous aurons
(.6) (ncp)U = J, (n9)îp = ^, (n^)iY = g.
D'après ces équations, les quantités X, i^b, © sont, en chaque point, proportionnelles aux quantités a, p,Y. D'où ce théorème :
V aimantation est, en chaque point du corps, normale à la surface S qui passe par ce point.
