CHAP. VII. — LES DISTRIBUTIONS SOLÉNOÏDALES ET LAMELLAIRES

Les égalités (i5) donnent (17) OTl«=Uo.

Menons la surface S représentée par Péquation puis la surface S' représentée par Péquatîon

Soît M un point de la surface S. Par ce point, menons une normale à la surface S et limitons-la au point M' où elle rencontre la surface S'. Nous aurons

OU bien, d'après les égalités (i6),

(nç)».MM' = A/. Cette égalité, comparée à l'égalité (17), donne

Le produit de l^ aimantation en un point de la surface S par la distance normale entre les deux surfaces S et S' a même valeur en tout point de la surface S.

Nous nommerons feuillet magnétique une couche aimantée, comprise entre deux surfaces infiniment voisines, dont Taimantation est, en chaque point, normale à la couche et en raison inverse de l'épaisseur de la couche. Nous voyons alors que les deux surfaces S et S' limitent, dans Taimant, un feuillet magnétique, ouvert ou fermé, ce qui nous conduit au théorème suivant :

Si les trois composantes de l'aimantation vérifienty en tout point, les conditions

c^lll,

'dz

ày

dA.

àz

ày

il existe une famille de surfaces décomposant V aimant en

94 LIVRB VII. — LES FORCES MAGNETIQUES.

lamelles infiniment minces, fermées ou ouvertes , dont chacune est un feuillet magnétique.

Sir W. Thomson donne le nom de distribution lamellaire simple à une semblable distribution magnétique.

Pour que les conditions (i) et (i4) soient vérifiées en même temps, il faut et il suffit qu'il existe une fonction <p vérifiant à la fois les conditions (i5) et la condition

donc, pour qu^ une distribution soit à la fois solénoidale et lamellaire simple, il faut et il suffit que les trois composantes de V aimantation soient en chaque point égales aux dérivées partielles du premier ordre d^une même fonction harmonique des coordonnées.

Nous verrons au Livre suivant que, d'après la théorie de Poisson, un morceau de fer doux, aimanté par influence, se trouverait dans ces conditions.

§ 3. — De la distribution sur un aimant quelconque.

Considérons maintenant un aimant à Tintérieur duquel les trois quantités X^ ilb, O sont assujetties seulement à être uniformes, finies et continues, ainsi que leurs dérivées partielles du premier et du second ordre. L'identité

Oji;\dz ày J ' dy \ dx ôz ) dz\ dy ùx } ~

jointe au théorème de Jacobi, que nous avons énoncé au début du§l, nous montre qu'il existe toujours deux fonctions a (a:, ^,-s), y{x^y^ z) uniformes, finies et continues, ainsi que leurs dérivées partielles du premier ordre, telles que l'on puisse écrire

()fJL dv

d ;jt d"*

i ÔZ

dy dz

dz dy*

dix ^/

du. &f

' dz

dz dx

dx dz*

dA.

(JlOo

dix d^

dix <>>

\ 'dy '

dx dy

dy dx

CfUP. VII. •— LES DISTRIBUTIONS SOLBNOÏDALES ET LAMELLAIRES. 95

Ces égalités (i8) peuvent encore s'écrire

5jf \ "^ dz ) ~^ dz \ "* dx ) ^

D'après ces égalités, il doit exister une fonction ç telle que l'on ait

do dix

cl, = -i -h V -i- ,

dx dx