MÉRIDIENS MAGNÉTIQUES ET PARALLÈLES MAGNÉTIQUES

§ 1 . — DUtribudon de la force tangentielle à la surface

d*un corps quelconque.

Dans Tétude du magnétisme terrestre, on détermine avec grand soin, en chaque point de la surface du globe, la valeur de la déclinaison magnétique et de la composante horizontale de Tintensité magnétique; c'est dire que Ton étudie, en chaque point de la surface du globe, la grandeur et la direction de la composante tangentielle de la force magnétique.

Gauss (*) a donné, au sujet de la distribution de cette composante tangentielle à la surface du globe, un certain nombre de beaux théorèmes. Parmi ces théorèmes, les uns sont généraux et peuvent s'appliquer à l'étude de la composante tangentielle de la force à la surface d'un aimant quelconque. Les autres ne peuvent s'appliquer qu'à un corps de forme sphérique, comme la terre. Nous allons étudier d'abord les premiers, puis les seconds.

Considérons donc un corps que nous supposerons simplement connexe et dont la surface ne présentera aucune singularité. Soittp la fonction potentielle magnétique de ce corps.

Cette fonction ne peut avoir la même valeur en tous les points de la surface du corps, car alors la couche superficielle fictive qui équivaut à l'aimant remplirait les conditions de l'équilibre électrostatique. Comme cette couche renferme autant de fluide positif que de fluide négatif, elle aurait une densité nulle en tout

(') G.-F. Gauss, Allgemeine Théorie des Erdmagnetismus {Resultate aus der Beobachtungen des magnetischen Vereins im Jahre i838, publiés par Gauss et Weber; Leipzig, iSSg. — Gauss, Werke, Bd. V, p. lai).

CliAP. VIII. — MÉRIDIENS MAGNÉTIQUES ET PARALLÈLES MAGNÉTIQUES. 99

poinl de la surface du corps, et raimant n'aurait aucune action aux points qui lui sont extérieurs. Nous excluons ce cas particulier de nos recherches.

La fonction potentielle magnétique varie donc à la surface de l'aimant et ses variations admettent forcément une limite supérieure A et une limite inférieure B. Gomme la fonction potentielle magnétique est une fonction continue, chacune des valeurs comprises entre A et B, sans omettre ni la valeur A ni la valeur B, est prise par elle à la surface de Taimant.

Soit G une valeur comprise entre A et B. Les points de la surface de Taimant où la fonction potentielle a des valeurs comprises entre A et G doivent être séparés des points où la fonction potentielle a une valeur comprise entre G et B par une région où la fonction potentielle a la valeur G. On pourra toujours, par les points de la surface de l'aimant où la fonction potentielle a la seule valeur G, faire passer au moins une ligne fermée. Il se pourra que ces points ne forment pas seulement cette ligne fermée, mais qu'encore certains d'entre eux soient isolés, ou forment des segments de ligne, ou couvrent des espaces d'étendue finie.

L'égalité

définit donc, en général, une ligne fermée tracée à la surface de

l'aimant; cette ligne se nomme un parallèle magnétique.

Dans l'espace, Tégalité

définit une surface de niveau à laquelle la force magnétique est normale en chaque point. Dès lors, il est aisé de voir que la composante tangentielle de la force est, en chaque point du corps, ou nulle, ou normale au parallèle magnétique qui passe par ce point.

Nous donnerons le nom de méridien magnétique à toute ligne tracée à la surface de l'aimant et tangente en chacun de ses points à la composante tangentielle de la force. Le théorème précédent peut alors s'énoncer ainsi :

Les méridiens magnétiques et les parallèles magnétiques forment, à la surface de l'aimant, deux familles de lignes découpant cette surface en rectangles infiniment petits.

100 LIVHE VII. — LES FORCES MAGNETIQUES.

Donnons successivement au paramètre C les valeurs

C, Cn-e, C-f-ae, ..., C4-(/i — 1)6, C-j-ne, ...,

e étant une quantité infiniment petite.

Au moyen de Téquation (i), nous tracerons à la surface de l'aîmant des parallèles magnétiques

infiniment voisins les uns des autres.

Soit M un point du parallèle P/i|. Soit H la composante tangentielle de l'action magnétique, cette action étant comptée positivement du parallèle P^^j vers le parallèle P^,. La force H est tangente à la méridienne magnétique du point M. Cette méridienne magnétique rencontre en M' le parallèle P,,. On a alors, d'après les propriétés fondamentales de la fonction potentielle magnétique,

MM'

MM'

D'ailleurs, si Ton se borne à considérer les infiniment petits du premier ordre, MM' est, en général, égal à la distance 5 des deux parallèles infiniment voisins, P«i, P«. On a donc

La composante tangentielle de Inaction magnétique est, en chaque point, mesurée par lUm^erse de la distance de deux parallèles magnétiques ; elle est, en chaque point, normale au parallèle magnétique et dirigée dans le sens ou la /onction potentielle magnétique décroît.

Le long d'un même méridien magnétique, parcouru dans un sens bien déterminé, la composante tangentielle de Faction magnétique, comptée positivement dans ce sens, n'a pas forcément un signe constant; mais, à cause de sa continuité, elle doit garder le même signe tout le long d'arcs continus séparés les uns des autres par des points où elle a la valeur o. C'est un semblable arc continu, le long duquel la composante tangentielle de l'action magnétique garde un sens invariable, que nous nommerons désormais un méridien magnétique.

CIIAP. VIII. — MÉRIDIENS MAGNETIQUES ET PARALLÈLES MAGNETIQUES. lOI

Un méridien magnétique ne peut former une ligne fermée. Désignons, en effet, par ds l'élément d'arc d'un méridien magnétique; d'après la définition précédente, la quantité -^ ne peut changer de signe le long du même méridien. L'intégrale

étendue à une portion d'un méridien ou à ce méridien tout entier, ne peut donc jamais être égale à o. Or, la fonction t? étant une fonction uniforme et continue, l'intégrale précédente, étendue à une courbe fermée quelconque, est égale à o. Un méridien ne peut donc se fermer de lui-même.

Un même méridien ne peut couper plus d'une fois un même parallèle.

En effet, la fonction "Q ayant la même valeur en tous les points d'un même parallèle, si un méridien coupait plus d'une fois un même parallèle, l'intégrale

— as.

os '

étendue à un segment du méridien compris entre deux rencontres avec ce parallèle, serait égale à o. contrairement à ce que nous venons de voir.

Ainsi, un méridien magnétique forme forcément, à la surface du corps, un segment limité par deux points; la fonction potentielle n'a pas la même valeur en ces deux points; en ces deux points, la composante tangentielle de l'action magnétique est nulle, et, par conséquent, V action magnétique est ou nulle, ou normale à la surface du corps.

Nous nommerons pôle magnétique un point de la surface du corps où la force tangentielle est égale à zéro. Ce mot prend ici un sens conforme à celui qu'on lui attribue dans l'étude du magnétisme terrestre, mais tout différent de celui qu'on lui attribue, en général, dans la partie de la Physique qui traite des aimants.

Le théorème précédent nous montre que tout méridien magnétique part d'un pôle pour arriver à un pôle.

Soit P un pôle magnétique; soit s un arc tracé sur la surface et

passant par le pôle P. La composante de l'action magnétique suivant la tangente à Tare s a pour valeur

Pour que le point P soit un pôle magnétique, il faut et il suffit que cette composante soit égale à o quel que soit l'arc s.

Donc, pour qu'unpoint soit un pôle magnétique à la sur/ace du corps, il faut et il suj/ît que la dérivée de la fonction potentielle suivant l'arc de toute courbe tracée sur la surface et passant par ce point soit égale à o en ce point.

Dès lors, trois circonstances différentes peuvent se présenter en un pôle magnétique :

I** Il peut arriver qu'en un pôle magnétique la fonction potentielle magnétique ait une valeur plus petite qu'aux points voisins de la surface du corps.

Dans ce cas, si l'on fait usage de l'égalité (a) pour déterminer la composante tangentielle de l'action magnétique en un point voisin du pôle, on trouve que cette composante est dirigée vers le pôle. Le pôle attire une masse de fluide austral placée à son voisinage et assujettie à se mouvoir à la surface du corps. Le pôle est un pôle nord.

a** Il peut arriver qu'en un pôle magnétique la fonction potentielle magnétique ait une valeur plus grande qu'aux points voisins de la surface du corps.

Dans ce cas, si l'on fait usage de l'égalité (2) pour déterminer la composante tangentielle de l'action magnétique en un point voisin du pôle, on trouve que cette composante tend à écarter du pôle son point d'application. Le pôle repousse une masse de fluide austral placée à son voisinage et assujettie à se mouvoir à la surface du corps. Le pôle est un pôle sud,

3** Il peut arriver qu'en un pôle magnétique passent des lignes partageant le domaine de ce pôle en plusieurs régions, dont le nombre est au moins quatre ; les unes, R, R', . . • , où la fonction potentielle a une valeur plus grande qu'au pôle; les autres, p, p', . . . , où la fonction potentielle a une valeur plus petite qu'au pôle. Une masse de fluide austral, placée dans le domaine du pôle et assujettie à se mouvoir à la surface du corps, est repoussée par

CBAP. VIII. — MÉRIDIENS MAGNÉTIQUES ET PARALLÈLES MAGNÉTIQUES. Io3

le pôle si elle se trouve dans une des régions R, R', . . . , et attirée parle pôle si elle se trouve dans une des régions p, p', .... Le pôle se comporte comme un pôle sud pour les premières régions, comme un pôle nord pour les autres. Nous dirons qu'il constitue un pôle mixte.

Nous savons qu'il existe à la surface de tout corps au moins un point où la fonction potentielle atteint sa valeur maxima A et un point où la fonction potentielle atteint sa valeur minima B. // existe donc, à la surface de tout corps aimanté, au moins un pôle magnétique nord et un pôle magnétique sud.

Si, à la surface d'un corps aimanté, il existe deux pôles de mém£ nom, il existe à la surface de ce corps au moins un pôle mixte.

Imaginons, par exemple, qu'à la surface d'un corps aimanté il existe deux pôles sud, P et P'. Ces deux pôles correspondent à deux valeurs A et A' de la fonction potentielle qui sont deux maxima. Supposons, pour fixer les idées,

Considérons le lieu des points pour lesquels on a

On peut toujours prendre la quantité s assez petite pour que (A' — e) soit supérieur à la limite inférieure B des valeurs de la fonction potentielle sur la surface. Il y aura alors, sur la surface, des points répondant à cette valeur de la fonction potentielle. Parmi ces points se trouvent tous les points d'une certaine courbe fermée séparant les régions R dans lesquelles <? a une valeur supérieure à (A' — e), des régions R' où t? a une valeur inférieure à (A' — e). Les points P et P' sont dans la région R.

On pourra toujours prendre e assez petit pour que le domaine du point P' à l'intérieur duquel 'Ç est compris entre A' et (A' — e) soit plus petit que toute surface donnée; assez petit, par conséquent, pour que ce domaine ne renferme pas le point P. Pour une telle valeur de e, la région R doit se décomposer au moins en deux parties linéairement connexes : l'une p, entourant le point P, l'autre ^, contenant le point P à son intérieur.

Faisons croître e, de manière que (A' — e) tende vers B. Les

104 LIVRE Vif. — LES FORGES MAGNÉTIQUES.

régions p et ^ tendront à couvrir la surface entière du corps. Les contours de ces deux régions ne pourront donc demeurer toujours à distance finie. Il pourra arriver que ces deux contours demeurent distincts jusqu'à ce que (A' — e) atteigne la valeur B, et se confondent alors dans toute leur étendue. Dans ce cas, il y aurait à la surface du corps toute une ligne fermée où \'> aurait la valeur B, c'est-à-dire toute une ligne de pôles nord.

Excluons ce cas exceptionnel. Les deux contours prendront, en général, des points communs lorsque (A' — e) prendra une valeur A^^ supérieure à B. Il pourra se faire que ces points communs forment une ligne d'étendue finie; mais excluons encore ce cas particulier. En général, pour la valeur A" de la fonction potentielle magnétique, les deux contours viendront se toucher en un certain nombre de points isolés. Soit P" un de ces points. La ligne

passant par le point P', partage le domaine de ce point en plusieurs régions.

Les unes font partie des régions p et A. La fonction potentielle y a une valeur supérieure à A". Pour les points placés dans cette région, le point P' se comporte comme un pôle nord.

Les autres font partie de la région R'. La fonction potentielle y a une valeur inférieure à A". Pour les points placés dans cette région, le point F' se comporte comme un pôle sud.

Le point P' est donc un pôle mixte, ce qui justifie la proposition que nous avions énoncée.

M. Betti (*) a démontré ce beau théorème :

Si la sur/ace d^un corps aimanté est une sur/ace simplement connexe et si le nombre des pôles magnétiques qu!elle porte est un nombre fini, ce nombre est pair.

Reproduisons ici la démonstration qu'il a donnée :

A la surface du corps se trouvent au moins un pôle nord N et

un pôle sud S. Concevons, sur la surface du corps, un système de

courbes G partant toutes du pôle sud S, arrivant toutes au pôle

nord N, dont aucune ne passe deux fois par le même point,

(*) Betti, Theoria délie forze Newtoniane e sui applicazioni ail* elettro" statica e al magnetismo, Ch. III, § 2; Pise, 187g.