CIIAP. VIII. — MÉRIDIENS MAGNÉTIQUES ET PARALLÈLES MAGNÉTIQUES. I

doDt aucune ne rencootre une aulre courbe du système en dehors des points S et N, et telles que par tout point de la surface du corps il passe une de ces courbes. Gela sera toujours possible, pourvu que le corps occupe un espace simplement connexe.

Si Ton parcourt une courbe G du point S au point N, la fonction potentielle magnétique V sera décroissante au début de ce parcours et encore décroissante à la fin. Sa dérivée suivant Tare de toute courbe tracée sur la surface étant supposée continue, la suite des valeurs qu'elle prendra le long de ce parcours ne présentera ni maximum ni minimum, ou bien présentera un nombre égal de maxima et de minima.

Désignons par ^i , ^2) • • -^ ^/t les points d'une courbe G où la valeur de \'^ sur cette courbe devient minimum; par oC|, 0C2, . « ., a/, les points, en égal nombre sur celte courbe, où la valeur de 'Ç devient maximum. Les points ^i, ^2} •••) ^n sont supposés rangés dans Tordre où on les rencontre en allant du point S au point G. Il en est de même des points ai, a2, ..., a,^.

Il est facile de voir qu'entre les points P/i et p/ se trouve lou.jours un et un seul des points a, le point a^-; qu'entre les points a/ et oLi^i se trouve toujours un et un seul des points ,3, le point P/.

Prenons une de celles des courbes G pour lesquelles le nombre n a la plus grande valeur, et appliquons-lui ce que nous venons de dire d'une manière générale.

Soient dg le lieu des points a/ et D{le lieu des points ^1 lorsque l'on fait varier la courbe G. Ou bien la courbe rf, ne rencontre jamais les deux courbes D/| et D/ entre lesquelles elle est comprise; elle forme alors une courbe fermée sur elle-même. Ou bien elle rencontre une des deux courbes D/|, Di et forme avec elle une courbe fermée.

Il y a donc en général, sur la surface S, un certain nombre m de courbes d fermées ; un nombre égal de courbes D fermées et un nombre {n — m) de courbes fermées dD, composées d'une courbe d et d'une courbe D.

Parcourons dans un sens déterminé une courbe fermée tracée sur la surface; la fonction \?, étant une fonction uniforme, reprend

sa valeur après ce parcours ^ il en est de même de sa dérivée -j-

suivant l'arc de la courbe; cette dérivée, qui est une fonction con-

I06 LIVRE VII. — LES FOJRGES MAGNETIQUES.

tînue de Tare 5, change donc de signe un nombre pair de fois. Donc, le long de toute courbe fermée tracée sur la surface du corps, la fonction potentielle présente un nombre égal de maxîina et de minima.

La fonction \*> présente donc sur Tune quelconque des courbes d^ D, dD, un même nombre de maxima et de minima.

Or, si la fonction \*> est minimum en un point b d'une courbe rf, ce point est un pôle nord.

En effet, considérons tous les segments de courbes C qui se trouvent dans le domaine du point b. Sur chacun de ces segments, la valeur minima de 'Ç se trouve à la rencontre de la courbe rf, et sur la courbe d la valeur minima de 'Ç se trouve au point b, La valeur de tp au point b est donc plus petite qu'en tout lieu du domaine du point b.

D'autre pari, si la fonction *<? est maxima en un point a d'une courbe rf, ce point est un pôle mixte.

En effet, la valeur de t;> au point a est évidemment croissante si l'on s'éloigne du point a sur l'une ou l'autre des deux directions de la courbe C qui passent par ce point, et décroissante si Ton s'éloigne du point a sur l'une ou l'autre des deux directions de la courbe d qui passent par ce point.

Toute courbe fermée d contient donc un nombre égal de pôles nord et de pôles mixtes.

De même toute courbe fermée D contient un nombre égal de pôle sud et de pôles mixtes.

Envisageons maintenant une courbe fermée ^D. Elle contient un certain nombre de points où la valeur de 'Ç sur cette courbe passe par un maximum et un nombre égal de points où elle passe par un minimum.

Tout point de cette courbe où \*> est un minimum est un pôle nord s'il se trouve sur la portion d et un pôle mixte s'il se trouve sur la portion D. Tout point de cette courbe où "<? est maximum est un pôle sud s'il se trouve sur la portion D et un pôle mixte s'il se trouve sur la portion d.

Chacune des courbes rf, D, rfD, contenant un nombre de pôles pair ou nul, le nombre des pôles magnétiques à la surface d'un corps aimanté quelconque est pair s'il est fini. C'est le théorème énoncé et démontré par M. Betti.