CORPS QUI S'AIMANTENT UNIFORMÉMENT DANS UN CHAMP UNIFORME
i \. — Aimantation d*une sphère pleine dans un champ magnétique
uniforme.
Nous allons appliquer les considérations générales données au Chapitre précédent à Tétude de quelques cas particuliers du problème de Taimantation par influence.
Nous commencerons par étudier l'aimantation que prend une sphère magnétique pleine et homogène placée dans un champ uniforme (*).
Pour déterminer cette aimantation, nous commencerons par examiner les propriétés d'une sphère uniformément aimantée.
Soient X, i)i), 3 les composantes de l'aimantation de cette sphère et rfp un élément de volume, de coordonnées ($,Tj,Ç), appartenant à cette sphère. En un point quelconque (x, y, 5), la fonction potentielle de cette sphère a pour valeur
ce qui peut s'écrire, puisque la sphère est uniformément aimantée et que l'on a d'ailleurs
à'- dl
ôl à'-
dl à'-
0^ " àx'
dï) dy'
d; ~ âz
fdl fol Cdl
dç.
(*) Poisson, Mémoire sur la théorie du magnétisme, § III {Mémoires de l'Académie des Sciences, années 183 1 et 1822, t. V, p. 347).
GHAP. II. — AIMANTATION UNIPORUE DANS UN CHAMP UNIFORME. I2g
Supposons la sphère uniformémenL remplie d'électricité dont la densité serait égale à i. Elle aurait pour fonction potentielle ordinaire la quantité
et r égalité (i) pourrait s'écrire
(.) ,)(^,^,.) = ^g,bg-3^.
Cette expression de la fonction t)(:r, y, js) est exacte, non seulement pour une sphère uniformément aimantée, mais encore pour tout corps uniformément aimanté, quelle qu'en soit la forme.
Introduisons maintenant l'hypothèse que le corps auquel nous avons affaire est une sphère. Prenons le centre de cette sphère pour origine des coordonnées et désignons par R son rayon.
Si le point (.a?, J^, 5) est extérieur à la sphère, nous aurons
dx
ttR»
TtR»
ùz
et, par conséquent, d'après la formule (2),
(3) i:^(^,ri^)=| — J{Xx-^^S\>y^^^z).
Cette formule nous montre qu'^^/ie sphère uniformément aimantée exerce en tout point extérieur la même action qu'un élément magnétique placé en son centre, ayant pour direction d^axe la direction de V aimantation et dont le moment magnétique aurait pour composantes
(4) A=^i:R»<.l>, B=|:iR»lft), G=|7tR»e.
]3o LIVRE VIII. — LA THÉORIE DE POISSON.
Si le point (x, y, z) est intérieur à la sphère, nous aurons
y{x,jr, «) = — jT:(a:»-h7*
5*)-h2TrR*,
àV Ox
ds
et, par conséquent, d'après la formule (2),
t)(a7, ^, ;;)= 1^r^(^x -^^i\>Jr -\-Qz).
Cette formule va nous permettre de résoudre le problème de Taiman talion prise par une sphère magnétique homogène dans un champ uniforme.
La fonction potentielle magnétique \J?>(.r,^', ;;) d'un champ uniforme est une fonction linéaire des coordonnées^ soit
f^(x,yy s) = — (Fir-+-G^-+-H5-+-K);
F, G, H seront les composantes de l'action magnétique en un point quelconque du champ.
Imaginons que nous communiquions à la sphère une aimantation uniforme ayant pour composantes
Kî, =:
i+^ttA'
