I -Tzk

et l'égalité (12) nous donnera

--? j ^ Ai(Fsin^cos6 -4- Gsin^^sinO-^ Hcos^};), op/p=R,

( --i- ) == Ai(Fsiinj;cos6 -t- Gsinipsin6-+-Hcos<J/).

Ces égalités nous donnent

,l . rj F siniJ/cos6-f- Gsin4' sin6 -h H cos»}/ ,^

ri Fsintj^cosô -+- Gsin4» sinO -4- H cos'}^ -« )

Soit T l'action magnétique en un point du champ, action dont la grandeur est donnée par

(iS) T=(F*-+-G«-t-H«)«.

L'égalité précédente pourra s'écrire

A.Q ^2ii5il] .rfs.

^[R{H-p«apR,cos(p,R)]«

A.Q ^-^li^^:Jn .^.1.

»^[Ri^-p,apR,cos(p, R)]« )

Une iransformation semblable à celle qui a été employée au

l46 MVRB Vin. — LA THEORIE DE POISSON.

paragraphe précédent permet d'écrire

t) = 27rA:Tcos(p, T)| RJAi / ^

K } A j / jp j I

Pour pousser plus loin le calcul, il est nécessaire de distinguer les points situés dans la cavité qu^enferme la couche sphérique de ceux qui sont situés dans l'espace illimité!

Si le point (p, 9, ^) est situé dans l'espace illimité, on a

Kî<Ri<pI et l'égalité (16) donne pour t) l'expression

t%= -itA:Tcos(p, T) '— i,

qui peut encore s'écrire, d'après les égalités (i4)î

Ve = i T^k

(i+?^A-)(RJ-Ri)

F sin^lcosO -+- G sin<l;sinO-f- H cos^l/

Si le point (p, 9, à) est situé dans la cavité qu'enferme la sphère

creuse, on a

p<Rj<Ri,

et l'égalité (16) donne pour t) l'expression

.t!)/ = |TrA:Tco8(p,T)(Ai-A,)p, qui peut encore s'écrire, d'après les égalités (16),

XDi=ir.k

H-mi

x(F sinip cosO -+- G sinij; sin6 ■+■ H cos<|/)p.

CHAP. III. — SPHÈRE CRErSE DANS UX CHAMP UNIPORUE. IJ7

Posons, pour abréger,

iizk

('9) ÎA =

i-h ^Tzk

et nos formules (17) et (18) deviendront

Vi — ' ^^ V^ (Fsin4'COs6 + Gsiïn|/ sin6 -f- H cos*!/)?

ou bien, en coordonnées cartésiennes,

, .., ,., fjiri-f-jjL)(R?— R») Fx-4-Gr-HlU

f 17 bis) Ve - T^^-Ti ^'

(18 6w) V)/= ! IL \ (Px+Gy + Hz).

Ces formules donneront, par diffërenliation, les composantes de Taction magnétique exercée par la sphère creuse en un point étranger à sa masse et situé soit dans l'espace illimité qui lui est extérieur, soit à l'intérieur de la cavité qu'elle renferme.

Discutons les conséquences les plus remarquables de ces deux égalités (17 bis) et (18 bis).

Nous avons vu, au Chapitre précédent, que la quantité jx différait très peu de l'unité pour les diverses espèces de fer doux. Si, comme première approximation, nous faisons a = i dans l'égalité (17 èi'y), nous trouvons

t%- ^ -(^Fx^Gy -h Uz).

La fonction potentielle magnétique, dans l'espace illimité extérieur à la sphère, devient indépendante du rayon R2 delà cavité.

l4H LIVRE VIII. — LA THÉORIE DE POISSON.

Ainsi, si [x était rigoureusement égal à l'unité, une sphère magnétique pleine et une sphère magnétique creuse ayant même rayon extérieur exerceraient la même action magnétique dans l'espace qui les environne. Barlow ( * ), qui avait reconnu ce fait par expérience, l'avait interprété en admettant que les fluides magnétiques se portent à la surface des corps aimantés. La véritable interprétation fut donnée par Poisson (^).

La quantité |Ji est, en réalité, un peu inférieure à l'unité. Si nous posons

l'égalité (17 bis) deviendra

On voit sans peine que cette valeur de ©<. diflière d'autant plus de la valeur limite qu'elle prend pour Ç = o ou jjl = i que R2 est plus voisin de R|. La sphère creuse n'exercera donc à l'extérieur la même action que la sphère pleine que si la cavité qu'elle renferme n'est pas trop grande. C'est, du reste, ce qu'a observé Barlow.

La formule (18 bis) nous montre que le champ engendré par une sphère creuse à l'intérieur de la cavité qu'elle renferme est un champ uniforme dont les lignes de force ont la même direction, mais non le même sens que les lignes de force du champ par lequel la sphère est aimantée. Les intensités de ces deux champs sont dans un rapport constant l'une avec l'autre. Ce rapport serait égal à l'unité si jjl était égal à l'unité; jjl différant peu de l'unité, on voit que le champ engendré par la sphère creuse à l'intérieur de la cavité qu'elle renferme a sensiblement la même intensité que le champ dû aux actions magnétiques étrangères. Une aiguille aimantée, suspendue à l'intérieur d'une semblable cavité, est sensiblement astatique.

Si nous posons

(») Barlow, An essay on magnetic attractions, 2* édition Londres, 18: (") Poisson, loc. cit.

l'égalité (18 bis) deviendra

t),= (F:r-i-G7-f-H^)ji-|^i-H4(~)']cH-...j.

On voit que l'aiguille magnétique enfermée dans une sphère creuse sera d'autant plus voisine d'être asiatique que l'épaisseur de la couche de fer doux qui forme la sphère sera plus grande.

l50 LIVRE VIII. — LA THEORIE DE POISSON.