AIMANTATION DANS UN CHAMP QUELCONQUE. MÉTHODE DE BEER
§ 1. — Aimantation dans un champ quelconque.
Nous venons d'exposer la solution, donnée par Poisson pour quelques cas particuliers, du problème de Taimantation par influence dans un champ magnétique uniforme. A ces exemples, il conviendrait de joindre Tétude de Faimantation prise dans un champ uniforme par une masse comprise entre deux ellipsoïdes homofocaux. Cette étude a été donnée récemment par M. Greenhill (*).
L*étude de l'aimantation dans un champ magnétique uniforme présente un haut intérêt, car elle donne les lois de Taimantation parla terre. C'est à cette étude que Ton doit la solution d'un problème dont l'intérêt pratique est considérable, le problème de la régulation et de la compensation des compas à bord des navires. Ce problème, entamé par Barlow et par Poisson, a été complètement résolu par Sir W. Thomson (*).
Toutefois, le problème de l'aimantation dans un champ magnétique uniforme n'est qu'un cas très particulier du problème général de Taimantation par influence; il nous faut maintenant dire quelques mots des efforts entrepris pour résoudre ce dernier dans toute son étendue.
Par l'emploi des fonctions sphériques, Poisson (') est parvenu
(») GaSENHiLL, Sur le magnétisme d*un ellipsoïde creux {Journal de Phy^ tique pure et appliquée, t. X, p. 3()4; i8Si).
(•) Voir à ce sujet : A. Collet, Traité théorique et pratique de la régulation et de la compensation des compas, avec ou sans relèvement ; Paris, 1886.
(•) Poisson, Mémoire sur la théorie du magnétisme, § III {Mémoires de CAciuiémie des Sciences pour 1821-1822, t. V, p. 2^7 )•
ClUP. IV. — - MÉTHODE DE BEER. l5l
à déterminer l'aimantation qu'une sphère pleine ou creuse prend dans un champ quelconque. M. F.-E. Neumann (*) a rendu cette solution plus parfaite et en a fait diverses applications.
M. F.-E. Neumann (*) a étendu à un ellipsoïde de révolution quelconque la méthode par laquelle Poisson avait déterminé l'aimantation prise par une sphère dans un champ magnétique quelconque.
Si l'on fait croître indéfîniment le grand axe de l'ellipse méridienne en laissant fixe le centre et le petit axe, l'ellipsoïde de révolution se transforme en un cylindre indéfini ; mais, en général, les formules de M. F.-E. Neumann perdent toute signification lorsque l'excentricité de l'ellipse méridienne croît au delà de toute limite; l'aimantation du cylindre de révolution indéfini est donc un problème qui doit être traité directement. C'est ce qu'a fait G. KirchhoflT (^) dans un important Mémoire que nous aurons plusieurs fois occasion de citer.
Lipschitz (*) a résolu le problème de l'aimantation prise, dans un champ quelconque, par un ellipsoïde à trois axes inégaux.
Le problème de l'induction magnétique de deux sphères soumises à des actions données a été traité par M. Chwolson (^) et M. Cari Neumann (•).
Les solutions de ces divers problèmes sont trop compliquées pour qu'il nous soit possible de les exposer ici. Nous nous contenterons d'indiquer un très beau théorème, dû à M. F.-E. Neu-
(*) F.-E. Neumann, Vorlesungen ûber die Théorie des Magnetismus, namentlich ûber die Théorie der magnetischen Induction; Leipzig, 1881.
(') F.-E. Neumann, Entwickelung der in elliptischen Coordinaten ausgedrikckten reciproken Entfernung zweier Punk te in Beihen, welche nach Laplace 'scfien Y^'*^ forlschreiten; und Anwendung dieser Beihen zur Bestimmung des magnetischen Zustandes eines Botations-Ellipsoïdes welches durch ver» theilende Kràfte erregt ist {Journal de C relie, t. XXXVII, p. 21; 1848).
(') G. KiRGHHOFF, Ueber den inducirten Magnetismus eines unbegrenzten Cylinders von weichem Eisen {Journal de Crellcy t. XLVIII, p. 348. Kirchhoff's Abhandlungen, p. igS).
{*) Lipschitz^ Determinatio status magnetici viribus inducentibus commoti in ellipsoïde {Dissertation; Berlin, i853).
(•) Chwolson, Ueber dos Problcm der magnetischen Induction auf zwei Kugeln {Schlômilch's Journal; Jahrgang XXIV, p. 4o).
(•) Carl Neumann, Ilydrodynamische Untersuchungen nebst einemAnhange liber die Problème der Elektrostatik und der magnetischen Induction; Leipzig, i883.
l52 LIVRE VIII. — LA THÂORIE DE POISSON.
mann (*), par lequel on peut déterminer immédiatemenl le moment magnétique pris par un ellipsoïde quelconque sous raction d'un champ quelconque.
Si Jlo, ifb, G sont les composantes de Taimantation au poÎDt (a:,y, s) d'un corps, le moment magnétique de ce corps a pour composantes [Livre VII, Chap. I, égalités (i3)]
A= jch^dç, B= I^X^dv, C= jQdç.
Si le corps est un corps parfaitement doux, aimanté par influence, nous avons [Livre VIII, Chap. I, égalité (9)]
ox oy az
et, par conséquent,
L'identité de Green nous permet de transformer ces expressions. Si U et V sont deux fonctions régulières dans l'espace considéré, si e/S est un élément de la surface qui limite cet espace, on a
/-—/Issik-S"^,"»-
Faisons, dans cette égalité,
et remarquons que la fonction (p est harmonique à l'intérieur du corps aimanté, nous aurons, en désignant par Ç, yi, ^ les coordonnées d'un point de l'élément rfS,
et, par conséquent^
(») F,-E. NsuMANN, Vorlesungen Uber die Théorie des Magnetismus, § 43; Leipzig, 1881.
CilAP. IV. — aiÊTHODE DE BEER. l53
Revenons maintenant à Téquation [Livre VKI, Ghap. I, égalité (12)]
VfP
quia lieu en tout point (^, ^, z) intérieur au corps. Dans cette ég^alité, ^ est la fonction potentielle magnétique des masses étrangères à Taimant, r est la distance du point (x, y, z) au point (5, 71, Ç) de l'élément rfS.
De cette égalité, on déduit
d- OU bien
ce qui, par un changement dans Tordre des intégrations, peut s'écrire
Mais
ài ai
dx "" d\
en sorte que l'égalité précédente peut s'écrire
V étant la fonction potentielle ordinaire d'une masse homogène ayant même forme que Taimant.
Dans le cas où l'aimant a la forme d'un ellipsoïde, cette égalité se simplifie. Dans ce cas, en effet, on a [Livre I, Chap. VI, égalités (i5)]
'^^' lit
d\ oz
