K(3rc,a

Ces équations sont les équations fondamentales de l'équilibre magnétique; elles ont la forme admise, à titre d'hypothèse, par G. Kirchhoff (Chap. I, § 1). Avant de leur faire subir aucune transformation, nous allons en déduire quelques remarques importantes.

Ces équations donnent

&0 âX> ày^

ôx dy dz

ce qui signifie que V aimantation en un point d'une masse isotrope dénuée de force coercitive et la grandeur géométrique dont les composantes sont

à^ d<? dV

dx ày dz

sont dirigées suivant la même droite. Cette proposition se retrouve dans toutes les théories de l'induction magnétique proposées depuis Poisson; elle est une conséquence plus ou moins immédiate des hypothèses sur lesquelles raposent ces théories.

l8o LIVBE IX. — AIMANTATION ET THERMODTNAlflQUE.

Les équations (6) donnent encore

/^y /&oy /d<>^y

(7) XMTiJbfTC^ F«(.)R,a, ?,.....

Le rapport de la grandeur géométrique précédente à Vin^ tensité d'aimantation dépend de l'intensité d'aimantation et de la nature de la substance.

Cette conséquence est conforme aux hypothèses faites par G. Kirchhoffsur l'aimantation par influence; toutes les théories de Faimantation, autres que celles de G. KirchhofT, conduisent à regarder le rapport précédent comme indépendant de l'intensité d'aimantation; nous avons vu que, par là, ces théories se mettaient en désaccord avec l'expérience.

Le coefficient F {i)\l, a, j3, .. .) porte, comme nous l'avons déjà dit, le nom de /onction magnétisante ,

Si la fonction magnétisante est positive, l'axe magnétique et la

I , , • 1 1 àX^ &\^) d'<>

grandeur géométrique dont les composantes sont — > —, —

sont orientés en sens contraire ; le corps est dit alors magnétique si la fonction magnétisante est grande, et par amagné tique si la fonction magnétisante est petite.

Si, au contraire, la fonction magnétisante était négative, l'axe magnétique et la grandeur géométrique dont les composantes

sont - - > -, - > —r seraient dindes dans le même sens, le corps serait Ox dy dz ° ' r

dit diamagné tique.

§ 2. — Le problème de l'induction magnétique se ramène à la détermination de la fonction ^{x^y, z).

Nous allons maintenant examiner comment, en supposant connue la forme de la fonction magnétisante F(01t, a, p, ...), on pourrait mettre en équation le problème de l'induction magnétique. La méthode à suivre a été indiquée par G. Kirchhon'(').

(') G. KmciiiiOFF, i'eber cien Magnetismus eines unbegrenzten Cylinders von weichem tUcn {Cretie's Journal, l. \LVIII, p. ;^8; iSJ}. — Kirchhoff's ge- SiwinicUe Abhandlungen, p. i«)3).

CHAP. II. — LES ÉQUATIONS DE L'ÉQUILIBRE. l8l

Posons, comme nous en sommes convenus [LivreVII,Chap. III, égalité (19)],

L'égalité (7) peut s'écrire

Si la fonction F est connue, cette équation (7 bis) pourra se résoudre par rapport à DÏL, et donnera

(8) .Te =tJ(^V^a, p, ...).

Posons maintenant

(9) X (n \^ a, ?,...)=- F [a(nt?, a, p, ...),«: p, . . .].

Nous voj'ons que, toutes les fois que la fonction F a une forme connue, la forme de la fonction X est déterminée. Moyennant les égalités (8) et (9), les égalités (6) deviennent

ol>-X(n\^, a, p, ...>^^,

e=^X(nt?, a, p, ...)^-

Ces égalités montrent que, lorsqu'on connaît la forme de la fonction magnétisante, il suffit de connaître la fonction *<? pour pouvoir déterminer les composantes de V aimantation en chaque point du corps parfaitement doux.

Nous avons remarqué, il y a un instant que, lorsqu'on connaissait la forme de la fonction magnétisante F(OTt, a, ^, . . .), on connaissait la forme de la fonction \ (!!'<?, a, p, . . .) ; réciproquement, si Von connaît la forme de la fonction\(\i'Q ^^^ P, ...;, on peut déterminer la forme de la fonction magnétisanteY {Uïi , a, ,8, . . .).

En effet, les équations (10) permettent d'écrire

DK«=x*(^\*^a, p, ...)nt:).

Si l'on connaît la forme de la fonction a, on peut résoudre

l8'2 LIVBE IX. -— AIMANTATION ET THERMODYNAMIQUE.

cette équation par rapport à !!"<?, ce qui donne

(II) . nt? = «i'(Dn., a, 3, ...).

Il est alors facile de voir que l'on a

(i?) F(DR,Gf, ?, ...) = >^[<i'(^)lV, a, 3. ...),3r, ?, ...],

ce qui démontre la proposition énoncée. L'importance de celle proposition réciproque apparaîtra dans un Chapitre ultérieur.

§ 3. — Équation aux dérivées partielles à laquelle satisfait

la fonction V {x,yyz ).

• Nous avons vu que la fonction ^(^, y, z) satisfaisait, en toub» les points de l'espace non situés sur la surface de séparation de deux corps magnétiques différents, ou d'un corps magnétique et d'un milieu non magnétique, à l'équation suivante [Livre VII, Chap. III, égalité (8)],

\ Ox ôy dz j

De là, on peut déduire la forme de l'équation aux dérivées partielles du second ordre à laquelle satisfait %? en tous les points de l'espace, sauf aux divers points des surfaces limites.

1° Dans la partie de l'espace non occupée par les milieux magnétiques, l'équation précédente se réduit à l'équation de Laplace

2® A Tintérieur des aimants permanents, l'aimantation en chaque point est censée connue; en sorte que le second membre de l'équalion (i3) est une fonction connue de x^ y^ z. Si nous désignons cette fonction par — 4^?(^> JK? ^)î la fonction \*> vérifiera, en tout point intérieur aux aimants permanents, Téquation aux dérivées partielles du second ordre

(i5) AV)-^47rp(a7,7,;;) = o.

3° Envisageons maintenant un point intérieur à l'un des corps parfaitement doux. En ce point, les composantes al>, 1)1», S de l'aimantation sont données par les égalités (lo). La première de ces

CUAP. II. -- LES ÉQUATIONS DE L*£QUIUBRE. lH3

égalités, diflTérenliée par rapport à x^ donne

[ da dx Of Ox j Ox

les termes de la seconde ligne disparaissant d'eux-mêmes lorsque la substance est homogène.

Mais on a

\dx dx* dy ùxdy âz àxOzJ

Remplaçons ~ — par cette valeur dans l'expression de 3—; for-

mons de même -j— > -^; ajoutons ces trois quantités en tenant compte de la relation (i3), et nous aurons

^\\~ài) ~ô^^\àyl ~dy^'^\dz) Oz^

-4-2 . . hi— ^ — h a

dy Oz uy ^ ^ Oz Ox Oz Ox Ox Oy Ox Oy

dX(riV>, a, '^. ...)

dx ôx

fU(nv>,g, 3 )

dx dx

Si l'on se souvient de la signification de US?, on voit que l'on a ainsi une équation aux dérivées partielles du second ordrC; de forme connue lorsqu'on connaît la fonction X (n\*>, a, p, . . .), que doit vérifier la fonction t? en tout point pris à l'intérieur d'un corps parfaitement doux.

Les équations (i4)» (i5) et (16) représentent donc les équations aux dérivées partielles du second ordre que la fonction "Ç doit vérifier dans les diverses régions de l'espace séparées les unes des autres par les surfaces limites.

§ 4. — Conditions aux limites auxquelles satisfait la fonction '^{x,yj z).

Cherchons à quelles conditions satisfait la fonction '^{x^ y? ^) en un point de l'une des surfaces limites.

r84 LIVRE IX. -- AIMANTATION ET THERMODTNAMIQIE.

Supposons qu^une surface sépare deux milieux, dont Tun, au moins, soit magnétique. Soient, en un point de cette surface, Nj la normale dirigée vers l'intérieur du premier milieu et N2 la normale dirigée vers l'extérieur du second milieu. Soient »^i , ifb|, C| et Xa, ilb2, C2 les composantes de l'aimantation au sein de chacun des deux milieux et au voisinage de ce point. Nous aurons [Livre VII, Chap. III, égalité (9)]

^*^^ ï^id^û "^ ~à?i~J ^ " "^* <=®s(Ni, ar)|i -t- Il X^ cos(N„ ar);|.

Les surfaces que l'on peut avoir à considérer sont de cinq espèces différentes :

1** Surface de séparation d'un aimant permanent et d'un milieu non magnétique;

2® Surface de séparation de deux aimants permanents ;

3° Surface de séparation d'un corps parfaitement doux et d'un milieu non magnétique;

4** Surface de séparation de deux substances dénuées de force coercitive;

5® Surface de séparation d'une substance dénuée de force coercitive et d'un aimant permanent.

1^ A la sur/ace de séparation d\in aimant permanent et d^un milieu non magnétique, voyons ce que devient la relation (17). Supposons que l'indice 1 se rapporte à l'aimant et

l'indice 2 au milieu. Remplaçons les symboles v^-> -7^ par les

symboles, plus souvent usités en pareil cas, -:^- et tj^-A l'intérieur du milieu non magnétique, nous avons

tandis qu'à l'intérieur de l'aimant les quantités X|, ilb|, 8| sont censées connues d'avance. La relation (17) devient donc

<i8) Wt^dNe^'^^'''^'''^^^^'

s[x, y, z) étant une fonction dont la valeur se déduit immédiatement des données du problème.

2^ De même, à la sur/ace de séparation de deux aimants, la

CHAP. II. — LES ÉQUATIONS DE L'ÉQUILIBRE. l85

relation (17) devient

09) -^^ -+-57^ =- — iT.lsiÇxy y, z)-+- st{x, y, 5)],

^i(^j^> ^)^ ^2(^1^? -s) étant deux fonctions dont la valeur se déduit immédiatement des données du problème.

3® A la sur/ace de séparation d'une substance dénuée de force coercitiçe et d^un milieu non magnétique, examinons ce que devient la relation (17). Supposons que l'indice 1 se rapporte à la substaace magnétique et Tindice 2 au milieu non magnétique. Remplaçons les symboles Nj , N2 par les symboles N/, N^.

A Tintérieur du milieu non magnétique^ nous avons

^^=o, iJl)j=o, £j=o.

Au contraire, à Tintérieur de la substance dénuée de force coercitive, «^Im, iHoj, 3< sont donnés parles égalités (10). L'égalité (17) devient donc

(20) [i -h 4îrX(n\^ a, 3, . . .)] ^J -f- ^ = o.

4" De même, à la surface de séparation de deux substances dénuées de force coercitiç^e, la relation (17) devient

(21) [i4-47uXi(nt?,aiP,,..oJ^|--^[iH-47rX,(nt:;,a,,p2, .■.)]^ = o.

5° Enfin, à la surface de séparation d^un aimant permanent 1 et d'un corps dénué de force coercitive 2, la relation (17) devient

Si (a:, /, z) étant une fonction dont la valeur se déduit immédiatement des données du problème.

Si nous ajoutons qu'à l'infini on doit avoir

(23) I dO dV dV>

\ âx oy dz

nous aurons énoncé toutes les conditions aux limites qui achèvent de déterminer le problème de l'aimantation par influence.

§ 5. — Approximation de Poisson.

Nous avons vu [Chap. I, égalité (aS)] que l'on avait

o(DXi) ne croissant pas au delà de toute limite lorsque DÏL tend vers o. Pour les petites valeurs de OU, nous pouvons écrire

L'égalité (5) du présent Chapitre

F(DrL)= ^^

dT(DK)

devient alors

F(orL) =

Pour les petites valeurs de l* aimantation, la fonction magnétisante prend une valeur finie y indépendante de V intensité d^ aimantation.

Les égalités (6) deviennent alors

'10{0) Ou-

(2>) < IIÎJ =r — ,

Ces égalités concordent avec les conditions d'équilibre données par la théorie de Poisson [Livre VIII, Chap. I, égalités (i)], pourvu que l'on prenne pour coefficient d'aimantation la quantité

ao(o)

x\insi V aimantation des corps faiblement aimantés est donnée par la théorie de Poisson.

Les égalités (24) et (26)montrent, en outre, que, toutes les fois