OX
rfS'
Les directions D, D' sont arbitraires. L'égalité précédente doit donc avoir lieu quelles que soient les quantités
sin(N, D)cosi\, sin(N', D')cos.> .
Cela exige que l'on ait
tang(P, N) = o, tang(P', N') == o.
Les forces quil faut appliquer aux divers éléments de la surface S pour maintenir le fluide en équilibre sont donc normales à la surface S.
Désignons par PrfSla force normale appliquée à l'élément rfS, en la comptant positivement quand elle est dirigée vers Tintérieur du fluide. L'égalité (3o) deviendra
tJ\o -. — OX
dx I
Désignons par ^Vt et OTL' les intensités d^aimantation en un point des éléments rfS et rfS', tenons compte des égalités (5) et nous verrons sans peine que Tégalité précédente conduit au résultat suivant :
Il existe une quantité K. ayant lamente valeur en tout point de la surface S, telle que l'on ait, en tout point de cette surface,
Oïl*
«i^îj» ^)
Par une démonstration analogue à celle que nous avons indiquée dans notre travail Sur les Principes fondamentaux de V Hydrostatique et que nous ne voulons point reprendre ici, on prouverait que la quantité K doit être choisie de telle façon que le second membre de l'égalité (3o) ne prenne de valeur négative en aucun point ni de la surface S, ni du fluide enfermé à l'intérieur de cette surface. On prouverait ensuite que les conditions ainsi trouvées ne sont pas seulement nécessaires, mais suffisantes pour assurer l'équilibre du fluide aimanté en admettant qu'il soit incompressible et que l'aimantation de chaque particule soit invariablement liée à la matière qui forme cette particule.
En un point (^, ^, z) intérieur au fluide, le second membre de l'égalité (3i) prend une valeur parfaitement déterminée qui est la pression au point {x^y, z).
Prenons le cas particulier d'un fluide incompressible homogène. Dans ce cas, on a, d'après l'égalité (28),
^(x,y,z)=e{DK).
D'autre part^ la quantité O doit avoir pour diff^érentielle totale, d'après l'expression (27),
p dQ -H .^ ^^ ^ dOXL.
On peut donc prendre
.OIV
DÏU
— ■ — rfOîi ,
et l'expression de la pression hydi^ostatique à V intérieur d^ un Jluide incompressible, homogène, aimanté, est la suivante :
Si le fluide est dénué de force coercitive, la quantité 0(^) devient identique à la fonction magnétisante F(on.). Nous aurons alors
Si nous posons, comme au Chapitre V, /égalité (lo),
»-(^irc)^p'-.;^^--.f(.m),
nous aurons pour expression de la pression hydrostatique à l^ intérieur d'un Jluide aimanté, dénué de force coercitive^ homogène et incompressible
(33) P-r K-pQ-f-^'(Oll).
Lorsqu'un corps solide est plongé dans un fluide aimanté, on peut traiter Téquilibre de ce corps solide comme s'il était aflranchi de toute liaison à condition d'ajouter aux forces données, tant magnétiques qu'étrangères au magnétisfne, qui agissent sur lui, des poussées normales dont la grandeur, en chaque point de la surface du solide, est donnée, suivant les cas, par l'une des formules (3i), (32) ou (33).
§ 3. - Expériences de H. P. Joubin.
Des aimants permanents 1, ayant une position déterminée et une aimantation déterminée; un corps parfaitement doux % ayant une forme déterminée et une position déterminée, sont placés au sein d'un fluide illimité 3 que nous supposons homogène et incompressible, mais qui peut être doué de force coercitive.
a5o LIVRE IX. — AIMANTATION ET THERMODTNAlilQOE.
Lorsque le fluide est en repos, l'alinantalion est la même sur le système que si Ton avait substitué au fluide 3 un fluide homogène, incompressible, dénué de force coercitive, ajant une fonction magnétisante convenablement choisie 0(on.).
Si le fluide 3 est dénué de force coercitive, cette fonction 0(OrL) est identique à sa fonction magnétisante F3(0TL); elle dépend donc uniquement de la nature de ce fluide 3.
Il n'en est plus de même si le fluide 3 est doué de force coercitive. Dans ce cas, la fonction 0(^n) peut dépendre non seulement de la nature du fluide 3, de sa forme, de sa position et de Taimantation des solides auxquels il confine, mais encore de toute ia série des modifications qui ont amené le système à son état actuel.
Cela posé, prenons le système Jans un état déterminé; la fonction 0(OrL) a une forme déterminée; Taimantation du fluide 3 et du solide 2 est déterminée; les forces qui agissent sur le solide !2 sont déterminées.
Faisons subir au système une série quelconque de variations, après quoi nous ramenons les aimants permanents 1 à la même position et à la même aimantation, le corps 2 à la même position.
Si le fluide est dénué de force coercitive, le fluide et le solide reprendront la même aimantation qu'ils avaient au départ; les forces exercées sur le solide reprendront la même grandeur et la même direction.
Si, au contraire, le fluide est doué de force coercitive, la nouvelle fonction 0(3n) pourra ne pas être identique à la fonction 0(Olt) primitive; l'aimantation du fluide et du solide, les forces exercées sur le solide ne seront pas forcément les mêmes dans l'état initial et dans l'état final.
Ainsi, si un corps parfaitement doux, placé dans une position déterminée en présence d^aimants permanents déterminés de position et.d* aimantation , est plongé dans un fluide illimité doué de force coercitive y les forces qu^il faut appliquer à ce solide pour le maintenir en équilibre peuvent dépendre de la manière dont le corps est arrivé à sa position, dont les aimants permanents sont arrivés à leur position et à leur aimantation.
Un seul cas fait exception : c'est celui où le système ne renferme
CQAP. Vlll. — FLUIDE INCOMPRESSIBLE AIUANTE. 25 1
pas (l'aimants permariei)ts. Dans ce cas, il suffira de répëter une . démonstralion analogue à celle qui a été exposée au § 1 pour arriver à la proposition suivante :
Si un corps parfaitement doux, plongé dans un fluide doué de force coerciti^^Cy est soustrait à l'action de tout aimant permanent, il ne peut y avoir de repos dans -le système s'il n^est pas entièrement désaimanté.
Nous avons admis, avec M. Edmond Becquerel, que les propriétés des corps diamagnétiques en apparence, tels que le bismuth, devaient s'expliquer en admettant l'existence d'un fluide impondérable, homogène, incompressible ; il suffit de supposer ce fluide doué de force coercitive pour expliquer les expériences suivantes, qui sont dues à M. Paul Joubin (') :
« Un petit barreau de bismuth, muni d*un léger miroir, était suspendu par un bifilaire entre les deux pôles d'un électro-aimant. Sous rinfluence des forces magnétiques et du couple de la suspension, il prenait une nouvelle position d'équilibre très peu différente de la première, d'où l'on comptait déduire la valeur du champ. Mais il fut immédiatement évident que, pour ce but, la méthode ne valait rien.
» En eflet, pour un même courant, c'est-à-dire pour un même champ, la position du barreau dépendait de la suite des modifications magnétiques qu'on lui avait fait subir. Si l'on trace une courbe en prenant comme abscisse l'intensité du courant et comme ordonnée la déviation, le point figuratif se déplace sur une ligne droite quand on fait croître les intensités de o à 4o ampères; mais si, à partir de ce moment, on diminue graduellement le courant, le point se déplace sur une autre ligne droite très inclinée par rapport à la précédente, de telle sorte que, lorsqu'on revient à i5 ampères, la déviation est presque double de celle qui correspondait primitivement au même courant. Si l'on fait croître de nouveau le courant, le point figuratif se déplace sur une troisième droite presque parallèle à la première.
» Si l'on ouvre ensuite le circuit et si l'on recommence l'expé-
(') P. JouBiN, Sur la mesure des champs magnétiques par les corps diamagnétiques {Comptes rendus, t. CVI, p. 735; 1888).
25a LIVRE IX. — AIMANTATION ET THERMODYNAMIQUE.
rience, on retrouve la série des déviations représentées par la première droite.
y> Le même fait s'est produit avec un simple miroir de verre rectangulaire, qui s^aimante comme le bismuth, mais plus faiblement. L'augmentation du moment magnétique pour un même courant atteignait encore, dans ce cas, le quinzième de sa valeur, changement bien considérable pour pouvoir être attribué à une variation dans la grandeur du champ. )>
§ 4. — Forme de la surface de séparation de deux fluides aimantés.
Dans la théorie exposée aux §§ 1 et î2, nous avons supposé que la surface fermée S enveloppait un fluide continu. 11 nous est facile maintenant de déterminer les conditions particulières qui sont relatives à une surface de discontinuité séparant deux fluides magnétiques difl^érenls.
La pression hydrostatique doit avoir, on s'en assure aisément, la même valeur de part et d'autre de cette surface. Si donc on distingue les quantités relatives aux deux fluides par les indices 1 et 2, on trouve, en vertu de l'égalité (32),
ou bien, en désignant par C|2 la quantité K2 — K4, qui a une même valeur en tout point de la surface de séparation considérée,
Si les deux fluides 1 et 2 sont homogènes et incompressibles, cette égalité devient
(35) Pîi22-?iiii-Aj(OKs)-t-A,(01Vi) = Cij,
en posant, en général,
Si le fluide 1 esl dénué de force coercitive, on devra faire
(37) A»(an.») = T,(OK,);
CHAP. VIII. — FLUIDE INCOMPRESSIBLE AIMANTÉ. a53
el, de même, si le fluide 2 est dénué de force coercitive, on devra faire
(376/5) A,(On,) = V,(OK,).
Enfin, si les deux fluides s'aimantent conformément à la théorie de Poisson, et si Â-, et Ara sont leurs coefficients d'aimantation, on aura [Chap. V, égalité (16)]
'^•.(3rc.)=^, ^VOK,)^^
et l'équation (35) de la surface de séparation des deux fluides deviendra, en tenant compte des égalités (3-) et (37 bis),
OS) p,i2,-p,û,= .^(^-^- ^^j.
Dans ce dernier cas, on a, en désignant par ^> la fonction potentielle magnétique des aimants permanents, par t)^, V2 les fonctions potentielles magnétiques de deux fluides
Mais, si les deux fluides sont peu magnétiques^ t)^, t)^ sont négligeables devant vV' ; on a simplement
et l'égalité (38) devient
Cette dernière formule est due à Béer (•).
Faisons une application de ces égalités.
Un tube en U {^fig* 21) renferme un liquide pesant, de densité pa, dénué de force coercitive, placé dans Téther magnétique impondérable 1. Il est soumis à l'action d'un champ magnétique de telle
(') A. Béer, Einleitung in die Elektrostatik, die Lehre vom Magnetismus und die Elektrodynamik, p. 217 (Brunswick, i865).
a54 LIVRE IX. — AIMANTATION ET THERMODYNAMIQUE.
manière que sa branche B soit plus forteineni aimantée que sa branche B'.
Soit IIH' un plan horizontal arbitraire. Soit z la distance d'un
Fig. ai.
point quelconque au-dessus de ce plan. On aura, en désignant par g Tintensité de la pesanteur,
iii-^-.
Soit Z la distance au plan Hir du niveau du liquide dans la branche B; soit ZMa distance au plan HH' du niveau du liquide dans la branche B\
En un point de la surface de niveau dans la branche B, nous aurons
En un point de la surface de niveau dans la branche B', nous aurons
D'où, en retranchant membre à membre,
( |o) p, ^v Z — Z') = WiiOKt) - Ticon.; ) - a, (on , ) + a, (on.; ).
Il s^établira donc en général, entre les deux branches, une différence de niveau donnée par Tégalité précédente.
Supposons, en particulier, la branche B' située dans une région où le champ magnétique soit peu intense, de telle façon que, dans cette région, les fluides soient peu aimantés. L*égalité précédente se réduira à
p,^(Z - Z') = W^iOTi,) - Ai(;)rc,).
Si la quantité
esl positive, le liquide s'élèvera plus dans la branche aimantée que dans Vautre branche; l'inverse aura lieu si la quantité
^'î(Oll,)--A,(;)Ki)
est négative.
Supposons, pour un instant, que Téther soit, lui aussi, dénué de force coercitive, et que les deux fluides s'aimantent faiblement et suivant la théorie de Poisson. L'égalité (4i) deviendra alors
P,.nz-z)= -^|(-) -.(--) -^(-) J.
Pliicker (*) a donné des expériences qui s'accordent avec cette relation ; Quincke en a fait usage pour déterminer l'excès du coefficient d'aimantation d'un fluide sur le coefficient d'aimantation de l'élher. Cette méthole perd sa valeur si, comme semblent le montrer les expériences de M. Joubin, l'éther n'est pas dénué de force coercitive.
(') PlOcker, Expérimental Untersuchungen liber die Wirkung der Magnete auf gasfôrniige und tropfbare FlUssigkeiten {Poggendorff's Annalen, l. LXXm, p. 549; i848).
