CHAPITRE VIII

.^ 1. Comment, dans un fluide incompressible aimanté, se disposent

les divers éléments magnétiques.

Nous avons montré, au Chapitre précédent, suivant quelles lois s'aimantait un système qui renferme un corps magnétique dénué de force coercitive entouré par un fluide également dénué de force cocrcitive.

Nous devons maintenant rechercher quelles actions un semblable fluide exerce sur le corps qui y est plongé; c'est, en efiet, l'étude de ces forces qui doit, d'après les idées de M. Edmond Becquerel, nous fournir l'explication des phénomènes présentés par les corps soi-disant diamagnétiques; nous avons donc à constituer l'hydrostatique des fluides aimantés dénués de force coercitive.

Ce problème, à son tour, peut être étendu : nous pouvons chercher à constituer d'une manière générale l'hydrostatique des fluides aimantés, que ces fluides soient ou non dénués de force coercitive; mais le sens même qu'il convient d'attribuer à cet énoncé ainsi généralisé nécessite quelques explications qui équivalent à la définition de ces mois Jliiide aimanté.

Nous dirons qu'un corps aimanté est fluide s'il est possible de lui imprimer toutes les déformations virtuelles qui n'altèrent pas le volume de ses difllérentes particules, et dans lesquelles l'aimantation de chaque particule demeure invariablement liée à la matière qui forme cette particule.

11 se peut que les modifications virtuelles ainsi définies ne soient pas les seules que le fluide puisse présenter : par exemple, si le fluide est compressible, on pourra lui imprimer des déformations

qui allèrent le volume de ses différentes parties; mais, lorsqu'on veut définir les modifications virtuelles que le fluide peut présenter, en outre de celles qui entrent dans la définition générale du fluide aimanté, on se trouve en présence de plusieurs systèmes de définitions, dont chacun caractérise un fluide doué de propriétés diffc'*rentes. Ainsi l'on peut convenir que, dans les modifications virtuelles où le volume d'une particule varie, le moment magnétique de cette particule demeure invariable, en sorte que l'aimantation en chaque point diminue dans le même rapport que la densité; on peut supposer, au contraire, que l'aimantation en chaque point demeure invariable en grandeur, en sorte que le moment magnétique d'une particule qui se dilate augmente dans le même rapport que le volume de cette particule.

On voit donc que, tandis qu'une définition unique se présente à l'esprit lorsqu'il s'agit de fixer la notion générale de fluide aimantéj on aperçoit plusieurs manières de définir d'une manière générale \e fluide compressible aimanté, sans qu'aucun motif prépondérant puisse faire préférer une de ces définitions à l'autre.

Cette ambiguïté cesse lorsqu'on veut traiter des fluides aimantés dénués de force coercitive; dans la définition de ces fluides, on est convenu de ne plus imposer aucune restriction aux variations virtuelles de la densité et de l'aimantation.

La définition des fluides compressibles dénués de force coercitive étant complètement donnée, on pourra faire l'étude complète de ces fluides ; on ne pourra pas étudier les propriétés des fluides compressibles non dénués de force coercitive tant qu'on n'aura pas convenu de choisir entre les différentes définitions que Ton peut donner de ces corps; mais on peut étudier, et c'est ce que nous allons faire, les propriétés communes à tous les fluides aimantés, puisque l'on a fixé les caractères que l'on regardera comme communs à tous ces corps.

Celte étude n'est pas inutile : outre l'intérêt logique qu'elle présente, elle a une importance pratique; nous verrons, en effet, que tous les phénomènes présentés par les corps diamagnétiques s'expliquent en admettant, avecEdm. Becquerel, l'existence dans tout l'espace d'un fluide aimanté. Mais il serait impossible de représenter quelques-uns de ces phénomènes si l'on voulait que ce fluide fût dénué de force coercitive.

Imaginons qu'un système renferme un fluide aimanté; soient X, 'Ul>, 3 les composantes de raiman-tation au point (oCy y^ z) de ce fluide; soit di^ le volume d'un élément de ce fluide tracé autour du point (^, y, z). Cet élément est soumis à des forces étrangères au magnétisme ayant pour composantes

p\ dv, pY dv, pZdVf

p étant la densité du fluide en un point de l'élément dv, et X, Y, Z étant certaines fonctions de (^, JS s).

Supposons tout d'abord que Télomenl d\^ ait la forme d'une sphère infiniment petite, ayant pour centre le point (x,y,z); imaginons que cette petite sphère, entraînant avec elle son aimantation, éprouve une rotation infiniment petite autour de son centre.

Dans un semblable déplacement, les forces étrangères au magnétisme n'effectuent aucun travail. Si donc le fluide est en équilibre stable, on aura, pour tout déplacement virtuel de ce genre,

La rotation de notre petite sphère fait varier de o t, ouh, o3 les composantes de l'aimantation au point (x^y^z). On a donc, en désignant par V^ la fonction potentielle magnétique de tout le système,

o.r — -r— .1, 4- -— o\\\) -h r- oc. -! -— — )ÏV dv.

l^dx Oj' Oz ôdXL J

Mais les quantités ol., oiil>, So ne sont pas quelconques. La

petite sphère entraîne sou aimantation dont la grandeur ne varie

pas, ce qui donne

o;)ll = o

(3) -.1, oal. -^ ni) S\lî> M- G oa ^ o.

On a donc

\dx ày Oz J

et, moyennant la relation (3), cette quantité doit devenir égale à o.

Diaprés un principe connu du calcul des variations, il faut et il suffît, pour qu'il en soit ainsi, que Ton puisse trouver une fonction ^{Xj y, z) telle que l'on ait, en tout point du fluide,

quels que soient o^l, oill), o^, ce qui exige qu'il existe une fonc tion ^{x,yy z) telle que Ton ait, en tout point du fluide.

ôx

Un fluide aimanté ne peut être en repos si l'aimantation n^est, en chaque point, tangente à la ligne de force.

De l'égalité (4), on déduit

\dx oy dz I

OU bien, en vertu des égalités (5j,

0» j = - .- — ! — - ( .1, o«.i. -i- ui, 8« Di, r- a a» 8 ) dv.

D'ailleurs, l'égalité (3) donne

xo2^i,-h'Di)8»\)i>H-ao«a-T-(oA,)«-h(oub)«-+-(oa)*=o,

ce qui permet d'écrire

5^^^ = e(:r,|r, z) [<^-^)'-^ (8K1,)»^ (8a)«] dv, et transforme l'inégalité (a) en

(6) e(jr,^,3)>o.

La fonction 0(^,^', :;) est forcément positive.

Ce résultat met de suite en évidence une proposition importante. Les égalités (5) donnent

chacune de ces deux intégrations s'étendant au volume entier du fluide.

Supposons que le système soit dépourvu de tout aimant permanent et ne renferme d'autre corps magnétique que le fluide. Dans

Lâo^ rfr représente le potentiel magnétique du système et est essentiellement positive, à moins que l'aimantation ne soit nulle en tout point. Il en est de même, en vertu

de l'inégalité (6), de la quantité / ^ —i^^- L'égalité (7) est

donc impossible, à moins que l'aimantation ne soit égale à o en tout point; d'où le théorème suivant :

Un fluide magnétique quelconque^ soustrait à V action d*ainiantSy ne peut être en repos si V aimantation n^est, en tout point, égale à o.

Ces premiers théorèmes obtenus, nous allons nous poser la question suivante :

A l'intérieur d'un fluide aimanté, nous traçons une surface fermée S. Les divers éléments du fluide que renferme celte surface sont soumis à certaines forces données, étrangères au magnétisme; ces forces qui subsisteraient si l'on réduisait à o l'aimantation en chaque point de ses éléments, sont d'origine intérieure à la masse fluide qu'enferme la surface S ou d'origine extérieure. Soient

(8) ^Xdv, fidv, ç^Zdv

les composantes de la force extérieure de ce genre appliquée à l'élément d{f de densité p.

Les corps aimantés extérieurs au fluide que renferme la surface S exercent aussi des forces sur les divers éléments intérieurs à celte surface.

Si ^{x^y^z) est la fonction potentielle magnétique de ces corps aimantés extérieurs à la surface S en un point {x^y^z) de l'élément dv intérieur à la surface S ; si X, 1)1», G sont les com-

j4o LIVRR IX. — AIMANTATION ET THEnMODYNAMIQUE.

posantes de raimantation au point (^, J^, z), dans toute modiGcation où chaque élément di^ se déplacera en entraînant avec lui son aimantation, les forces dont il s'agit effectueront un travail élémentaire qui a pour valeur

,i2r=r-5|'(.l,^--f-iii,

ày

^ty-

rintégration s^étendant à tout le volume qu'enferme la surface S.

Imaginons que, sans rien modifier aux forces extérieures qui viennent d'être énumérées, on supprime les obstacles que la présence de corps extérieurs à la surface S oppose aux déformations du fluide que cette surface renferme. Sera-t-il possible de maintenir en équilibre le fluide, supposé incompressible, que renferme la surface S, au moyen de forces convenablement choisies, appliquées aux divers éléments de la surface S?

Pour résoudre cette question, qui constitue le problème fondamental de l'hydrostatique pour les fluides aimantés, nous suivrons une méthode analogue à celle que M. J. Moutier(*) a employée pour étudier le problème classique de l'Hydrostatique.

Sur la surface S (fig' 20), considérons deux éléments quel-

Fiff. 20,

conques AB ou rfS, et A'B' ou dS'. Le premier est soumis à une force OP ou PrfS, le second à une force O'P' ou P'rfS'.

(') J. MouTiER, Cours de Physique, t. I. — P. Duhem, Sur les principes fondamentaux de r Hydrostatique {Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse, t. IV; 1890).

De l'élément rfS à l'élément rfS', traçons, à l'intérieur du fluide, un canal infiniment délié de forme quelconque AFGHA', et prolongeons ce canal d'une petite longueur au delà de A'B'.

Par des sections a6, a!b\ a" b"^ . . ., divisons ce canal en tranches infiniment petites, a^^ant toutes le même volume w. Formons une dernière tranche de même volume co dans la partie du canal qui dépasse A'B^ Nous aurons ainsi

voI.ABaô = yo\,ab a'b'=. . . — vol.a„i6/,i A.'B'= vol.A'B'ap = o).

Imaginons que l'on impose au fluide enfermé dans la surface S la modification virtuelle suivante :

Le fluide qui se trouve dans la tranche 0,^.4 &«, A'B' vient occuper la tranche A'B'a^; le fluide qui occupe la tranche précédente vient occuper le volume laissé libre, et ainsi de suite, jusqu'au fluide de la tranche ABafr qui vient occuper la tranche aba! V ,

Chaque tranche fluide, en se déplaçant, entraîne avec elle son aimantation. On peut supposer que chaque particule fluide, en se déplaçant, n'éprouve aucune rotation. L'aimantation entraînée par chacune d'elles conservera alors non seulement une grandeur invariable, mais encore une orientation invariable dans l'espace.

La modification virtuelle ainsi conçue est compatible avec les liaisons imposées au système; elle peut être eflectuée en sens inverse : il faut donc, pour l'équilibre du fluide, qu'elle n'entraîne aucun travail non compensé, ou, en d'autres termes, que l'on ait

(10) 8^ — rft^e=.o,

ôj étant la variation que cette modification fait éprouver au potentiel thermodynamique interne du fluide que renferme la surface S, et dJôe le travail eflectué par les forces extérieures appliquées à ce fluide.

Ces forces sont de trois sortes :

1" Les forces P appliquées à la surface S. Soient

N la normale intérieure en un point de l'élément rfS; N'ia normale intérieure en un point de l'élément rfS'; e la distance normale des deux surfaces AB, ab\

a42 LIVRE I\. — AIMANTATION ET THE RHO DYNAMIQUE.

e'ia distance normale des deux surfaces A'B', a, ^; D la direction Art] D'ia direclîon A'a.

Ce travail aura pour valeur

(B'= P dS cos(P, D) 1-.-^ - P'c?S'cos(P', D') rv'-îv^-

Mais on a

Ê û?S — z' dS'— 0), cos(P, D) ^ cos(P, N) cos(N, D) -+-sin(P, N) sin(N, D) cosN,

cos(P', D') = cos(P', N') cos(N', D') 4- sin(P', N') sin(N', D') cos'N\ Le travail précédent s'écrira donc

Id^'= j [cos(P, N) -4-tang(P, N) sin(N, D) cosN^lP " [cos(P', N')-^ lang(P', N')sin(N', D')cosN'JP' } w.

2" Les forces dont les composantes sont données par les expressions (8); leur travail aura pour valeur

(i2) dY^tof p{\dx-^Ydjr-hZdz).

3** Les forces magnétiques extérieures; leur travail aura pour valeur, d'après l'égalité (9),

"'•AfghaL \ ^^^ '^ "^ àxày ^ ôxdz)

^. fx^": +ift, -r^ + a-^JJ)^^j

dx oz oy àz

Le travail extérieur d(Ee a pour valeur (14) d(^e=d^-\-d^'-hdy.

Evaluons maintenant la variation 5-f subie par le potentiel tliermodvnamîque interne du fluide enfermé dans la surfcice S.

CIUP. VllI. — FLUIDE INCOMPRESSIBLE AIMANTÉ. 243

Si ce fluide n'est pas électrîsé, § a pour valeur

ff = E(r - TS) -f- ZJ- -f- Cri(D\l) dç,

les diverses lettres qui (igureol dans celte formule ayant la signification que nous leur attribuons ordinairement; on a donc

1° Le déplacement considéré est un déplacement sans changement dV'tat. La quantité

— Eo(V — T2)

représente donc le travail effectué par les forces étrangères au magnétisme et qui sont intérieures au fluide enfermé par la surface S.

La force de ce genre qui agit sur l'élément di> a pour composantes

pj di>, pr, dv, p; dç.

On aura donc

(i6) Eo^V- T2) = — 0) /* pC^dx-^r^dy-hUidz).

^ AFGIIA'

2" La grandeur de Tainiantation de chaque particule, son volume, sa nature, demeurant invariables dans la modification considérée, on a

(17) ô r:f{0\L)dç = o.

3 " Reste à évaluer la quantité oj.

Si t) est la fonction potentielle magnétique de l'aimantation distribuée à l'intérieur de la surface S, nous aurons

'- ri! \.^-^

2,/ ox

dv.

Pour trouver la variation subie par celle quantité, nous décomposerons en irois phases la modification considérée :

(A). Nous supprimons l'élément ABafr : ij" subit une variation

lis

désignant la valeur que prend cette quantité en un point

de l'élément rfS.

(B). Nous ajoutons au système l'élément A'B'a^ : ?T subît une variation

irfS'

(C). Nous remplaçons chacune des tranches du filet infiniment délié par la tranche précédente. Supposons que le fluide ne présente, dans la région que traverse le filet, aucune surface de discontinuité; que l'aimantation varie d'une manière continue tout le long de la ligne AFGHA'. La tranche en un point de laquelle, avant cette opération, Taimantation avait pour composantes A,^ i)b, C présente, après cette opération, une aimantation dont les composantes sont

f)-\o f)-lo d-\> ,

«•v r— a.r , — civ — — -— az,

ox oy " dz

dx dy ^ dz

<. dx— — dy dz,

dx ày ^ dz

dxy dy^ dz étant le-» composantes du déplacement d'un point de la tranche considérée. Cette troisième modification impose à -T une variation

*.'AFi;ilA'L

\ dx dx

\ dx dy

/dyi dA^ \ dx dz

dV d\\\, dy dx dV^ (Mlî,

ày <^y

f)lO d\\\> dy dz

dz dx

dz dy)

dX) d^' d

LU Z.T. \ dx dy

Nous aurons

o5 = ajrr-i-û.5-r-83 5.

Les égalités (i i) à (ai) nous permettraient de donner une forme explicite à l'égalité (lo); mais, auparavant, nous transformerons l'égalité (i3) au mo^^en d'une intégration par parties, et nous

récrirons

rf3r =

CAO

\ àx dx ày dx

\ dx dy dy dy

/dy^ djX d^ d^

\ dx dz dy dz

d^ d3 dz

dx /

dy^ d^\ ,

d^ de\

Si nous posons maintenant

%;; = ijp H- t),

V^ étant la fonction potentielle magnétique de toute Taimantation agissante, les égalités (11)3(2^) nous permettront de transformer Tégalité (10) en

[cos(P, N)-t-tang(P, N) sin(N, D)cosn]p

d^ç dx

-[cos(P^N')+tang{P^^')sin(N^DVos^(']p'---|^l,^,,

Il ^^ \ui&'

•^'afgha' ( L ^^

&Ç dX dX,) d\S\> dV d<.

dx ' dy dx

&Ç dBl ^ dz dx j

— p(Y -4-r)-h ! -^ -r- T— \ dy

l^^ ' ' dx dy dy dy dz dy } -^

dy^ dX d-<) d\\l c)V) dZ

l^^ ^^ dx dz dy d

iz dz dz \ ^ ) ""

Cette égalité doit avoir lieu quelle que soit la forme du canal infiniment délié qui relie, au travers du fluide, les deux éléments rfS etrfS'. Elle doit donc demeurer vraie si Ton remplace, dans la génératrice AFGHA' de ce canal, l'arc FGH par Tare FKH. Il n'est

pas malaisé d'en conclure que la quantité sous le signe / doit être

la difTérentielle totale d'une fonction de x^y^ 5, continue et uniforme en tout point du fluide.

Supposons en particulier le fluide homogène et incompressible, en sorte que p ait, en tout point de ce fluide, la même valeur. Supposons, en outre, que les forces étrangères au magnétisme admettent une fonction potentielle, c'est-à-dire qu'il existe une fonction û,

•246 LIVRE IX. — AIMANTATION ET TIIERliODTNAMIQUE.

continue et uniforme à Tintérieurdu fluide telle que Ton ait

âil dj-

Enfin, tenons compte des égalités (5), qui doivent avoir Heu pour que l'équilibre soit possible. La quantité sous le signe / pourra s'écrire

^ v{x, y, z) [^ \ âx ôx ox I

ou bien, en remarquant que

Pour que celle quantité soit une différentielle totale, il faut et il suffit que la fonction 6(j;, >', 5) ne dépende pas de x, r, ^, si ce n'est par l'intermédiaire de Tintensité d'aimantation D\i, Posons donc

(28) e(:r,7, ;:) = e(Orc).

Les égalités (5) deviendront

(19) {>«>=-e(3iv)^,

Si nous nous souvenons que, d'après l'inégalité (6), la fonction 8(j?, j', z) et, parlant, la fonction 0(orc) est positive, nous arrivons au résultat suivant :

Lorsqu'unjluide incompressible, homogène, aimanté, dénué

CIIAP. Vlil. — FLUIDE INCOMPRESSIBLE AIMANTÉ. ^47

OU non de force coercilwe, est en repos, les particules magnétiques y présentent exactement la distribution qu'elles présenteraient dans un corps homogène qui aurait ta même forme que ce fluide, serait soumis à Inaction des mêmes aimants, serait dénué de force coerciiive, et présenterait une fonction magnétisante convenablement choisie 0(^n.).

Si le fluide est dénué de force coerciiive, la comparaison des égalités (29) avec les conditions de l'équilibre magnétique montre que la fonction 0(on.) est déterminée et égale à la fonction magnétisante F (Oïl/) propre au fluide.

Si, au contraire, le fluide n'est pas dénué de force coerciiive, rien dans ce que nous savons jusqu'ici ne nous détermine la fonction 0(011). Nous verrons, au § 3, l'importance de celle remarque.

§ 2. — Pression exercée par un fluide aimanté.

Revenons à l'égalité ('i5).

La quantité sous le signe / doit être différentielle totale d'une

fonction de jt, y, z finie, continue et uniforme à l'inlérieur du fluide. Désignons par — II (x,^, z) cette fonction. L'égalité (26) deviendra

( [cos(P, N) ^lang(P, N) sin(N, D; cosN J P -t- I [co?(P', N')-f-tang(P', N')sin(N', D'.) cosyJp'-