X OP

Cette action, dirigée suivant OP, peut être figurée par la grandeur de cette droite. La sphère négative exerce une action égale à

et représentée par PO'.

La résultante de ces deux forces est

PROPRIÉTÉS DES AIMANTS. Sq

puisque OO' ferme le triangle formé par les composantes OP et PO'. Or 5 X 00' == 1 représente la densité magnétique maxima de la couche.

La résultante des actions d'une sphère aimantée uniformément est donc constante en grandeur et en direction, pour tous les points

intérieurs y et égale à ^ tz multiplié par la densité maxima ou

V intensité d'aimantation de la sphère,

43. — Feuillets magnétiques. — On désigne sous ce nom un aimant lamellaire dont les faces ont des densités égales et opposées. Un feuillet magnétique peut êirc considéré comme le résultat de Ja juxtaposition d aimants élémentaires.

Soit (j la densité des faces, égale à Tintensiié d'aimantation des éléments composants; e l'épaisseur du feuillet, c'est à dire la longueur de CCS éléments.

Le produit e d = tf, qui représente le moment du feuillet par unité de surface, porte le nom de puissance du feuillet. Les dimensions de cette quantité, dont on comprendra toute l'importance dans l'étude de l'électromagnétisme, sont

Soit un feuillet C, fig. 12, de section courbe, la face positive

Kig. 12,

étant tournée vers l'intérieur. Le potentiel en un point O est la somme des potentiels dus aux aimants élémentaires composants.

Pour un clément de seciion ds^ dont Taxe fait un angle 0 avec la droite qui le joint au point O, situé à une distance r, le potentiel est

. £ a ^5 cos 0.

mais ^ — représente Tangle solide sous lequel la surface ds

est vue du point 0. Dans le but d'uniformiser les notations avec celles que nous rencontrerons dans Télectromagnéiisme, nous conviendrons de considérer l'angle solide comme positif lorsque le point O regarde le pôle S de Télément magnétique. On a dans ces conditions

En étendant l'intégration à tous les éléments du feuillet, et en remarquant que les cônes élémentaires qui rencontrent deux fois le feuillet fournissent des éléments de potentiel égaux et contraires, on obtient pour le potentiel total

Le potentiel en un point dû à un feuillet est égal au produit de la puissance de celui-ci par l'angle solide sous lequel on voit^ du point considéré^ le contour du feuillet.

44. — Corollaire. — Si le point 0 était à l'intérieur du feuillet, Tangle solide serait -f" (4 '^ — <»>')• Par conséquent, si le point passe

Fig. i3.

d'un point O à un point O' infiniment voisin situe de l'autre côte du feuillet, le potentiel varie de

+ * (4 7: — co') à — ^a a>',

soit d'une quantité 4 tc ^S.

Le iravaîl effectue par runiic de masse positive, pour passer d'un point de la surface d'un feuillet en un point situé infiniment près de l'autre côté, est égal à 4 ir multiplie par la puissance du feuillet. Ce travail est, du reste, indépendant du chemin suivi entre cckdcux points, § 1 2.

45. — Énergie d'un feuillet dans un champ. — Considérons un champ de force dû à un pôle m situé en un point O (fig. 12); le travail dépensé pour amener le feuillet dans sa position actuelle représente l'énergie relative du feuillet et du champ. Il est égal au travail nécessité pour amener la masse m au point O dont le potentiel est K>j soit

Or, mw est le flux de force émis par le pôle à travers Tangle solide limité au contour du feuillet.

Nous appellerons ce flux dZ>^ en le considérant comme positif quand il pénètre par la lace négative du feuillet et comme négatif quand il pénètre par la face positive :

W = — œ OL.

Si le champ est produit par plusieurs pôles m, m', m", Tcnergie totale deviendra

W = — ff S /« (O rz: — œ:)û.

Ucnergie relative d'un feuillet et d'un champ est donc égale au produit de la puissance du feuillet par le flux limité au contour de celui-ci.

Si le flux pénètre, comme à la fig. 12, par la face positive, dX^ est négatif et le produit prend le signe plus.

Lorsqu'un feuillet est librfde se déplacer dans un champ ^ il tend

à se mouvoir de manière à rendre minima l'expression de Vénergie

potentielle^ c'est à dire que le flux pénétrant par la face négative

tend vers un maximum. On vérifiera facilement que cette condition

est saiisfaiic dans le cas d'un feuillet et d'un pôle positif, lorsque

celui-ci a atteint la face négative. Un feuillet plan, situé dans un

champ uniforme, s'orientera normalement à la direction du c|;tamp,

de telle façon que les lignes de force pénètrent par la face S.

46. — Énergie relative de deux feuillets. — Considérons deux feuillets voisins de puissance <i? et (£', Soit 3fL' le flux de force émanant de $' et traversant le contour de ï* en entrant par la face négative de celui-ci. L'énergie du feuillet 9 est, d'après ce que nous venons de dire , exprimée par

W zz: - çf X'.

Or, le flux DZ' peut être représenté par le produit de <f' par un facteur Oit; d'où

Cette expression doit évidemment représenter Ténergie du feuillet ^P', car le même.travail est dépensé pour amener le feuillet ^Jù' devant $ que pour amener ^£ devant ^JP'. Mais comme Ténergic de (f' est aussi donnée par le produit de $' par le flux 3fh passant de ï* à i^, on voit que X =: ï Oïl, de môme qu'on avait X' = ^S" DTi, D'où l'on tire

Le facteur OPL, appelé coefficient d'induction mutuelle des deux feuillets, représente, comme on le voit, le rapport du flux traversant un des feuillets à la puissance du feuillet voisin. L'équation (i)

montre que les dimensions de OÏL se réduisent à [L].

47. — Aimants artificiels. — Au lieu de présenter comme les aimants uniformes une distribution superficielle de magnétisme, les barreaux aimantés possèdent des masses magnétiques libres à l'intérieur. On peut même superposer dans un barreau d'acier des aimantations inverses, en le soumettant successivement à des forces magnétisantes de sens contraires. Lorsqu'on dissout un tel barreau dans un acide , on fait apparaître progressivement les couches aimantées en sens contraires.

Cette expérience prouve que l'aimantation atteint d'abord les couches superficielles du barreau, qui sont d'ailleurs plus fortement trempées que les couches intérieures. De là l'utilité d'employer des plaques minces en acier, aimantées séparément, pour l'obtention des aimants puissants.

On peut montrer d'une manière saisissante la forme du champ magnétique dû à un barreau aimanté en étendant sur celui-ci une

feuille de papier, sur laquelle on projette de la limaille de fer. Les grains do limaille s'aïmanicm par influence, s'orientent suivant les directions du champ, et se disposent suivant des files continues figurant les lignes de force.

Fig. "4 L'image ainsi produite, appelée Jantôme magnétique, peut être fixcc-, si l'on a soin de choisir un papier photographique sensibilisé, qu^on expose à la lumière actinique lorsqu'il est couvert de limaille. Le développement de Timage donne la trace des ombres produites par la poussière de fer. La lig. 14 est le fac-similé du fantôme dû à un barreau prismatique.

En observant la distribution de la limaille de fer dans le fantôme mngncitque d'un aimant simple ou d'une combinaison d'aimaoïs et en constatant les formes curieuses affectives par les grains de limaille. Faraday a Hé conduit à l'idée que le siège des forces magnétiques se trouve dans le milieu qui sépare les pôles agissants. Suivant lui , les lignes de force ne sont pas une simple conception mathématique, mais elles ont une existence réelle, répondant à un état particulier de l'espace qui environne les pôles. Faraday se représentait ce milieu comme tendu suivant les lignes de force et volontiers il remplaçait celles-ci dans sa pensée par des fils élastiques ayant une tendance à se contracter en provoquant le rapprochement des pôles voisins.

Pour expliquer la courbure des lignes de force, Faraday admettait que celles-ci se repoussent lorsqu'elles courent dans la même direction, en sorte que chacune d'elles prend une forme courbe, pour laquelle la tendance â revenir à la forme rectiligne fait équilibre à la répulsion des lignes voisines.

Bien que Texpérience montre qu'un barreau aimanté possède des masses magnétiques libres à Tintérieur, il est possible d'imaginer une distribution superficielle de magnétisme produisant le même champ extérieur que la distribution réelle. On supposera par exemple le. barreau formé de filets magnétiques longitudinaux dont les uns aboutissent aux faces extrêmes et les autres aux parois latérales du barreau. Les pcMes des f?lets constituent alors les charges superficielles du barreau, comme on Ta vu dans le cas de la sphère aimantée, § 42 , et les courbes affectées par les grains de limaille dans le fantôme, fig. 14, peuvent être considérées comme le prolongement des axes des iîletSi.

Pour déterminer la distribution fictive de magnétisme donnant les mômes effets extérieurs que la distribution réelle, on mesure la variation de Tintensiié du champ dans le voisinage du barreau, le long de Taxe do celui-ci. Pour cela, on détermine la période d'oscillation d'une petite aiguille aimantée, mobile sur un pivot, que Ton amène successivement aux divers points où Ton cherche rintensiié. Le moyen n'est pas toutefois rigoureux, parce que la force n'est pas la môme aux deux pôles de l'aiguille, et que l'aimantation de celle-ci peut être altérée sous l'influence du champ étudié. On reconnaît par ce procédé que le champ décroît rapidement de l'extrémité des barreaux vers le milieu, à moins qu'il n'y ait des pôles intermédiaires ou conséquents. Dans les longues aiguilles en acier dur, les pôles sont très voisins des extrémités et la région neutre s'étend sur la plus grande partie de la longueur. Dans tous les cas, le voisinage des arêtes fournit un champ plus intense que le voisinage des faces planes.

on

Fig. i5.

La fig. i5 montre les courbes obtenues en ponant, sur des normales à l'axe d'un barreau, des longueurs proportionnelles aux composantes du champ suivant ces lignes. Les ordonnées sont inversement proportionnelles au carré des périodes d'oscillation d'une aiguille amenée devant divers points de l'axe à la môme

distance de celui-ci, et obligée d'o>cillcr dans un plan normal à Taimant. Ces ordonnées peuvent être considérées comme proportionnelles aux épaisseurs de la couche magnétique d'action extérieure égale à celle de la distribution magnétique réelle.

Les barreaux aimantés subissent une désaimantation lente, qui peut s'expliquer par la répulsion s'exerçant entre les pôles de même nom des molécules voisines. On retarde cet affaiblissement en réunissant les pôles par une pièce de fer doux appelée armature. Il se développe, dans celle-ci, des pôles inverses qui retiennent Taimantatign des barreaux, attendu qu'il se forme des filets magnétiques fermés pa'r Tarmaiure et que les pôles des éléments composant ces filets s'attirent et se neutralisent deux à deux.

Les meilleurs aciers pour la fabrication des aimants permanents sont ceux qui sont susceptibles d'acquérir la trempe la plus dure. L'addition de 3 pour roo de tungstène accroît très sensiblement la force coercitive de Tacier. La trempe se fait dans Thuile , dans l'eau ou dans le mercure. Le bain doit avoir un volume suffisant pour réduire réchauffement et les projections du liquide. D'après Stouhal et Barus, le procédé le plus recommandable pour obtenir un aimant puissant et constant consiste à donner à l'échantillon la plus grande dureté possible par la trempe, puis à le recuire pendant 20 à 3o heures dans la vapeur à ioo<* C. On aimante ensuite la pièce en la disposant dans une bobine du fil conducteur de forme convenable, dans laquelle un courant électrique développe un champ très intense, et enfin on recuit l'aimant pendant au moins 5 heures dans la vapeur. Ce procédé assure au barreau une aimantation résistant aussi bien que possible aux chocs et aux changements journaliers de température.

Suivant M. Preece, l'intensité d'aimantation permanente que l'on peut communiquer à des prismes de i cm^ de section et de 10 cm de longueur, débités dans les bons aciers pour aimants des marques Marchai , Clémandotet Allevard, varie de 100 à 225 unités C G. S. Ces nombres expriment le rapport du moment permanent des barreaux à leur volume.

48. — Détermination du moment magnétique d'un aimant. Mâgnétoniétre. — Lorsqu'on fait osciller, dans le champ magnétique terrestre, suivant l'horizontale, un barreau suspendu par un

fil sans réaction de torsion sensible, la durée d'une oscillaiion double, pour une amplitude suffisamment faible, est

T c^vï »lt

û représentant le moment d'inertie du barreau, c>l., son moment magnétique et C^, la composante horizontale du magnétisme terrestre.

On déduit de là

eJv> «JC

Si Ton connaît JC, on peut déterminer par Téquaiion précédente le moment du barreau.

Dans le cas contraire, on effectue une seconde expérience. L'aimant étant posé sur un plan horizontal, normalement au méridien magnétique, on suspend, à une certaine distance du prolongement de son axe, une aiguille aimantée de petites dimensions, fîg. i6.

*7tt'

Fig. i6.

Soient 2/ la distance des pôles du barreau, 2/', celle des pôles de Taiguille, rf, la distance du centre de Taimant à celui de Taiguille, + m et — w, les pôles de l'aimant, + m' et — m', les pôles de Taiguille.

Les moments magnétiques sont respectivement

<vl) = 2 m /, Jlo' = 2 m' /'.

L'aiguille mobile, sollicitée d'une part par le magnétisme terrestre, d'autre part par l'action normale de l'aimant, prend une

position d'équilibre, correspondant à un angle a entre son axe et le méridien magnétique. Vu les petites dimensions de Taiguille, on peut admettre que les forces exercises sur ces pôles, par ceux de Fai niant, sont égales et opposées et se réduisent à un couple. Le couple terrestre a pour expression

C = X' 3Z sin a.

Le couple dû au barreau est, en appelant F les forces que celui-ci développe sur les pôles de Taiguillc,

C =: 2 F r cosa;

or, en vertu de la loi de Coulomb,

P mm' mm' , 4 dl .

par suite

C -2lmm j^^--^, = 2 XX ^-J.r:z-,7j^• ■ La condition d'équilibre

donne

, , -^ • 11»^ cosa

'^ JC Sin a = 2 l'AarX* — jT TTT^

d'où

X / __ /M -^ d^ tang OC \ ' ïï/ "^ 2

Mais

si / est suffisamment petit, on peut négliger les puissances de j supérieures à la seconde , et écrire

On ne connaît pas, en général, la distance / réelle des pôles. On peut éliminer cet élément en renouvelant Texpérience de déviation pour un nouvel écartement d' de Taiguille.

On obtient un angle de déviation a', tel que

-.1, / , /3 \ J'3 tang a lë(^ + ^ d^) = 2 '

d'où, en soustrayant (3) de (2), après avoir multiplié (2) par d^ et ( 3 ) par rf'2

Ao J'» tang CL — d'* tang a

:HL 2 {d'i — d'-^}

Les équations ( 1 ) et (4) permettent de déterminer séparément le moment magnéiiqur de l'aimant, et l'intensité horizontale du magnétisme terrestre. L'appareil comprenant l'aiguille aimantée mobile porte le nom de magnétomèlre ^ parce qu'il permet de comparer le moment de deux aimants ou les effets d'un môme aimant placé dans diverses positions.

49. — Remarques. — I, — On aurait pu suspe.idre l'aiguille suivant une direction normale au milieu de l'aimant. En adoptant le mode de calcul précédent, on aurait obtenu

X d-' tang 0 — (i'» tang 0'

II. — Les résultats obtenus dans des expériences semblables concordent rigoureusement avec les calculs basés sur la loi de Coulomb et fournissent la preuve de l'exactitude de cette dernière.

50. — Mesure des angles. — Les déterminations précédentes comportent la mesure- des angles d'équilibre de l'aiguille. Comme cette mesure se rencontre fréquemment en électrotechnique , nous indiquerons quelques procédés de lecture en usage.

L'unité d'angle employé dans les mesures absolues est le radiant, c'est à dire Tare égal au rayon et correspondant à

36oo . , , --- = 5701744.

Le procédé le plus simple consiste à fixer à l'aiguille un index effilé qui se déplace sur une graduation horizontale. On évite l'erreur de parallaxe en fixant un miroir dans le plan de la graduation et en disposant l'œil de manière à ce que l'index se confonde avec son image dans la glace. La lecture se fait ainsi dans un plan normal à la graduation. Ce mode de lecture ne permet pas une grande précision ; lorsque les angles sont faibles, l'erreur relative peut être considérable.

On obtient plus d'exactitude à l'aide des méthodes par réflexion recommandées par Poggendorf et Lôrd Kelvin.

Dans la première, désignée sous le nom de méthode subjective^ on fixe à Taxe de suspension de Taiguille un petit miroir plan M, fig. 17, et, à une certaine distance variant entre i et 3 mètres, on dispose une lunette à réticule, supportée par un trépied à vis calantes. Au-dessus ou au dessous de la lunette est une échelle horizontale, graduée en divisions métriques. Avant toute mesure, on fait en sorte que le plan vertical passant par Taxe optique de la lunette soit normal à l'échelle et au miroir. Dans ce but, on vise

Qeezï^--

Fig. 17.

le centre du miroir et l'on déplace la lunette et l'échelle jusqu'à ce qu"*on lise dans la première la division de l'échelle située dans le plan vertical passant par l'axe optique.

Il résulte de ces dispositions que, pour un angle de déviation a de Taiguille, on lit dans la lunette une longueur d telle que

à tang 2 a = -y ï

/ étant la distance du miroir à l'échelle. On déduit de là

a ^ - arc

à \ I à \d^ làl \

Si les angles sont inférieurs à 3°, il suffit de retenir

5o MAGNÉTISME.

On peut éviter ce calcul en adoptant une échelle courbée en arc de cercle de rayon /. On a alors rigoureusement

Dans la méthode objective de Lord Kelvin , on remplace le miroir plan par un miroir courbe, et la lunette par une lampe, qui émet un faisceau de lumière à travers un diaphragme traversé par un réticule vertical. L'échelle est placée à une distance du miroir telle que Timage du réticule se forme sur la graduation. Celle-ci peut être tracée sur une échelle en verre dépoli, en toile calque ou en celluloîde ; l'observateur placé derrière Téchelle voit alors rimage par transparence. Lorsqu'on emploie une lampe à incandescence, le filament de la lampe donne une image linéaire d'une grande netteté.

Le miroir mobile peut être plan , comme dans le cas précédent, mais il faut alors intercaler sur le trajet du faisceau lumineux incident une lentille convergente.

AIMANTATION PAR INFLUENCE

51. — Corps magnétiques et corps diamagnétiques. — Nous avons vu, § Sg, que les molécules du fer placées dans un champ tendent à s'orienter suivant les lignes de force magnétique. Les dérivés du fer, l'acier et la fonte, ainsi que le cobalt et le nickel manifestent également dans un champ une aimantation énergique. Quelques autres corps, comme l'oxyde magnétique, le perchlorure et le sulfate de fer présentent les mêmes propriétés, mais à un degré beaucoup moindre.

Le bismuth s'aimante aussi dans un champ très intense, mais un barreau de ce métal tend à s'orienter normalement aux lignes de force. Dans les champs suffisamment puissants, tous les corps peuvent manifester des propriétés magnétiques, mais à un degré incomparablement plus faible que le fer.

Les corps dont l'orientation magnétique est la même que celle du fer, sont eippcïés /erromagnétiques ou magne'tiques ^ ceux qui se comportent comme le bismuth sont dits diamagnétiques.

AIMANTATION PAR INFLUENCE. 5l

52. — Coefficient d'aimantation ou de susceptibilité magnétique.

— Le problème de raimantaiion par influence revient à déterminer, pour les diverses parties des barreaux, le rapport de riniensiié d^aimantation à l intensité du champ ou force magnétisante. Ce rapport

porte le nom de coefficient d'aimantation ou de susceptibilité magnétique.

Il est facile de voir, par les dimensions de 5 et de 3C, §§ 36, 40, que ce coefficient représente un simple facteur numérique.

Si Ton soumet un corps isotrope, dont le coefficient d'aimantation est le même dans toutes les directions, à une force magnétisante constante en tous les points du corps, celui-ci tend à acquérir également une intensité d'aimantation constante. Mais les pôles magnétiques induits dans le corps modifient le champ, en sorte que si ce dernier était uniforme avant l'introduction du corps, il devient hétérogène par la suite. Il est très difficile dans la plupart des cas de définir le champ résultant et par suite Tintensité réelle de la force magnétisante en chaque point. Ainsi le problème de la distribution du magnétisme dans un cylindre court, dont Taxe est paralèlle à la direction du champ , n'a jamais été résolu.

Voici cependant quelques dispositions qui se prêtent à un calcul facile. Le moyen pratique employé pour réaliser un champ uniforme d'une certaine intensité consiste, comme on le verra dans la suite, à envoyer un courant électrique dans une bobine cylindrique très allongée à l'intérieur de laquelle on dispose le corps à aimanter.

53, — Cas d'une sphère et d'un disque. — Soit une sphère isotrope placée dans un champ uniforme d'intensité 3C. Les divers éléments de la sphère tendent à prendre une orientation magnétique uniforme, en vertu de laquelle il se développe, sur les deux hémisphères limitées par un grand cercle normal à la direction du champ, des couches telles que l'action résultante intérieure , sur Tuniié d{^ pôle , est constante et égale à

L'intensité du champ à Tintérieur de la sphère est donc constante en grandeur et en direction et égale à

par suite tfoù

La susceptibilité du fer est toujours très supérieure à Tunité. Il en résulte que la valeur de 5 n'est jamais fort différente de

'l — = Par suite, la forme sphérique est impropre à l'ob-