Action d'une sphère homogène sur un point intérieur

Si le point ciait à l'intérieur d'une sphère homogène, celle-ci pourrait èire divisée en deux parties, séparées par une sphère concentrique passant par le point considéré.

L'action de la partie externe est nulle; l'action de la sphère intérieure est égale à celle d'une masse égale condensée au centre. En appelant r la distance du point P au centre,

30. — Pression superficielle. — Dans le cas d'une couche sphérique homogène, la composante due à l'élément ds ne dépend que de Tangle solide sous lequel cet élément est vu du point P'. Elle est donc égale à celle de l'élément ds\ correspondant à ds.

Il en sera de môme pour tous les éléments de la calotte a d b, pris deux à deux avec ceux de la calotte a c b. Le plan projeté en

a b partage la sphère en deux zones exerçant sur P des actions

identiques et égales à

2 7; fr R> g

Si le point P s'éloigne indéfiniment de la sphère , les deux calottes tendent vers Tégalitc. Si, au contraire, le point P s'approche indéfiniment de la couche sphérique, Tune des calottes a pour limite la sphère entière, tandis que Tautre tend vers zéro. Dans ce dernier cas, l'expression précédente devient 2 w k a. Or , nous venons de voir que la couche totale exerce sur Tunité de masse, située infiniment près de la surface , une action égale à 4 TT A" «j. Il en résulte que la couche infiniment petite qui avoisine le point exerce une action égale à celle de la sphère entière. Et , en effet, lorsque le point P traverse la couche, la force qui le sollicite devient nulle ; pendant ce déplacement élémentaire , Taction de la couche sphérique est restée constante, mais celle de l'élément de surface voisin a changé de signe, de sorte que la résultante est nulle.

Si l'action de la couche sphérique sur l'unité de masse située à la surface est 2 it A a, elle sera 2 i: k a^ sur la masse cr qui charge J'unité de surface.

Cette force, avec laquelle la couche agit sur la charge de l'unité de surface, s'appelle pression superficielle.

L'intensité du champ infiniment près de la surface étant

H = 4 TU /f a, la tension superficielle est exprimée indifféremment par

2r,k^^ ou par

Ha

31. — Potentiel dû à un disque infiniment mince uniformément chargé. — Soit a la densité superficielle d'un disque projeté en AB, fig. 8. Sur un anneau concentrique au disque, de rayon r et d'épaisseur dr, la charge est 2 tt r dr a.

Fig. 8.

Le potentiel dû à cet anneau en un point O de Taxe du disque et à une distance a est

dV =

2 K k r dr a

Le potentiel dû au disque entier, de rayon R, sera

y I 2 r, k r dr

■ir.lcjf^^ K-i.j j2 j|

L'intensiié du champ au point O est

n k<3 ( — i\z= 2 1: k a (i — cosa),

a étant l'angle plan sous lequel on voit le rayon du disque du point considéré.

En un point infiniment voisin de la surface du disque on a

Celle expression représente la force due à la charge de Télément infiniment voisin du point, § 3o. Les autres éléments exercent des forces qui se neutralisent deux à deux.

On remarquera que 2 tc (i — cos a) exprime Tangle solide sous lequel le disque est vu du point O. On arrive directement à Texpression de Tintensité du champ, en considérant l'action d'un clément ds du disque sur Tuniié de masse. La projection de la force due à cet élément sur la direction axiale est, en appelant a Tangle de Taxe avec la droite qui joint l'élément au point O,

à H = kads-jxCOsa = k<jdtJi, a*

dt3> exprimant Tangle solide sous lequel l'élément ds est vu du point O.

Lr 'action du disque entier est H = ^(r oj.

Lorsque l'unité de masse est infiniment près du disque, la force est 12TZ ka. Elle est d'ailleurs la même aux divers points du disque.

PROPRIETES DES AIMANTS

32. — Définitions. — On donne le nom d'aimanis à des corps qui jouissent de la propriété d'attirer la limaille de fer. La pierre d'aimant ou oxyde magnétique de fer possède naturellement cette propriété , qui s'acquiert artificiellement à un degré bien supérieur par le fer et ses dérivés, Tacicr et la fonte. L'acier trempé est le corps qui relient au plus haut degré la vertu attractive développée par Y aimantation.

Lorsqu'un barreau d'acier aimanté est plongé dans la limaille de fer, on remarque que celle-ci s'attache de préférence sur certaines parties du barreau , désignées sous le nom de pôles. Les barreaux présentent généralement deux pôles séparés par une région neutre ayant une action faible ou nulle sur la limaille.

33. — Action de la terre sur un aimant. — Lorsqu'on suspend un aimant par son centre de gravité, l'un des pcMes se dirige invariablement vers le nord, l'autre vers le sud. Pour cette raison, on appelle le premier pôle nord ou pôle N, le second pôle sud ou pôle S.

34. — Loi des attractions magnétiques. — Plusieurs barreaux étant mis en présence, on observe que les pôles de même nom se repoussent et que les pôles de noms contraires s'atiirenu

L'étude de ces actions présente quelques difficultés, par suite de ce que Ton ne peut étudier isolément Teffet réciproque de deux pcMes.

Coulomb remarqua, toutefois, que les longues tiges aimantées présentent leurs centres d'action vers les extrémités. En rapprochant suffisamment deux des pôles de ces tiges, il arriva à rendre à peu près négligeable Taction des pôles opposés. Il reconnut expérimentalement que les forces magnétiques décroissent en raison inverse du carré des distances entre les pôles agissants.

On verra plus loin que cette loi a été vérifiée rigoureusement par Gauss.

Les actions magnétiques doivent donc être rangées parmi les forces newtonniennes, et Ton peut leur appliquer les théorèmes généraux démontrés dans Tintroduciion de cet ouvrage, Tagcnt a£;issant étant ici le maî^nétisme.

Nous désignerons par quantité de magnétisme ou masse d'un pôle une quantité proportionnelle à la force qu'il exerce sur les pôles voisins.

Soient m et m' les quantités de magnétisme de deux pôles : la réaction mutuelle est par définition proportionnelle à m et à m\ par conséquent au produit m m\

L'expression de la force est donc

r exprimant la distance des deux pôles.

35. — Unité de pôle. — Le coefficient k de l'expression précédente peut être considéré comme arbitraire et pris égal à un. En réalité, le coefficient k varie avec le milieu dans lequel les masses magnétiques sont plongées, mais les différences que présentent les divers milieux gazeux ou liquides à cet égard sont très faibles aux températures ordinaires. Par suite, l'unité de quantité de magnétisme est la quantité qui repousse une quantité égale située à la distance d'un centimètre avec la force d'une dyne ; ses dimensions sont

Si les pôles sont de noms contraires, la force devient attractive. Pour déduire ce fait de la formule précédente, il suffit d'affecter de

signes opposes les pôles de noms contraires. On convient de donner le signe + au pôle N et le signe — au pôle S.

36. — Définitions. — En spécifiant les définitions générales adoptées dans l'introduction, nous appellerons champ magnétique Tespace dans lequel se manifestent des forces magnétiques. L'intensité en un point du champ est mesurée par Tactron qui s'y exerce sur Tun^té de masse N ou positive. La direction de cette action définit la direction du champ. Une ligne de force magnétique figure la trajectoire d'une masse positive, libre de se mouvoir dans le champ. Celui-ci est caractérisé par un potentiel appelé potentiel magnétique ^ dont l'expression, pour un point situé à des distances r, r, r" ... de masses m, w', m" ..., est

chaque masse étant affectée de son signe propre.

D'après cette définition, les dimensions du potentiel magnétique

sont •

Afin d'éviter la confusion entre les grandeurs magnétiques et les grandeurs correspondantes que nous rencontrerons dans l'clectro statique, nous représenterons les premières par des majuscules rondes.

La composante de l'intensité du champ dans une direction / en un point où le potentiel est t?, a pour expression.

dimensions

Cette expression représente, comme nous l'avons vu au § 23 , le flux de force par unité de surface normale à dl.

L'intensité de champ a des dimensions différentes de celles d'une force. C'est la force par unité de pôle et ses dimensions sont celles d'une force divisée par celles d'une masse magnétique.

Les champs les plus intenses qu'on ail produits jusqu'à ce jour

atteignent environ 3o ooo unités C. G. S. ; un tel champ développe une force de 3o ooo dynes, soii environ 3o grammes, sur Tuniié de pôle.

37. — Action d'un champ uniforme sur un aimant. — Considérons un champ uniforme, dans lequel riniensitc .IC est constante en grandeur et en direction. L'expérience montre que, dans un champ semblable , un barreau aimanté n'est soumis à aucune force de translation , mais qu'il tend simplement à s'orienter dans une direction déterminée. On en conclut que la somme des masses positives du barreau est égale à la somme des masses négatives, puisque la résultante des actions du champ sur les premières , ou .1C 2 m, est équilibrée par la résultante JC 2 [ — m) des actions sur les secondes.

Ces résultantes sont appliquées en deux points qui , dans la théorie mathématique du magnétisme, prennent plus particulièrement le nom de pôles. Il faut toutefois remarquer que les pôles ainsi définis n'ont pas plus d'existence physique que le centre de gravité d'un corps. Une ligne fictive passant par les pôles porte le nom d'axe magnétique du barreau. La distance / entre les pôles est la longueur vraie de l'aimant.

Le produit de la masse magnétique par la distance des pôles est le moment magnétique du barreau :

Si l'on désigne par x l'angle de Taxe magnétique avec la direction du champ , le couple d'orientation du barreau est exprimé par

JC / sina S m = 5C ^.l, sin a.

Le barreau étant suspendu par son centre de gravité, la durée d'une oscillation double de faible amplitude est

où û représente le moment d'inertie du barreau et C , le cpuple maximum égal à 3t X.

38. — Champ magnétique terrestre. — L'expérience apprend que la durée d'oscillation d'un aimant est constante dans la limite d'une salle d'expérience , à la condition qu'il n'y ait aucune autre

masse magnétique dans la salle ou à proximité. On peut donc admettre que, dans un espace peu étendu, la terre développe un champ uniforme. On appelle méridien magnétique d'un lieu le plan vertical passant par Taxe d'un aimant librement suspendu.

La déclinaison est Tangle de ce plan a^ec le méridien géographique ; VincUnaison^ Tangle de Taxe de Taimant avec rhorizontale. Dans notre hémisphère, le pôle nord des aimants plonge sous rhorizon, en sorte qu'on doit alourdir le pôle sud pour que les oscillations des aiguilles aient lieu dans le plan horizontal. I.a composante de l'intensité du champ terrestre suivant ce plan s'appelle composante horizontale.

Les lignes de force terrestre qui, dans un espace restreint, peuvent être considérées comme parallèles, convergent en réalité vers des points, appelés /?d/e5 magnétiques^ qui oscillent aux environs des pôles géographiques.

Les données numériques suivantes, dues à M. Airy, indiquent les valeurs magnétiques moyennes pour Greenwich , t étant le millésime.

Déclinaison : 19° — 12', i — (/ — 1876) X 7', 38.

Composante horizontale : o, 1 797 -\- [t — 1 876 ) X o' 00027.

Inclinaison : 67° — 40', 3 — [t — 1 876 ) X 2', 04. ( ^ ).

Comme on le voit, le champ magnétique terrestre ne possède qu'une faible intensité. On démontrera dans la suite qu'il est possible de produire artificiellement des champs magnétiques bien plus intenses à l'intérieur d'une bobine de fil métallique parcourue par un courant électrique. Dans une telle bobine , si la longueur est très grande relativement à la section , le champ peut être considéré comme uniforme.

39. — Hypothèse de Weber. — Lorsqu'on brise un aimant dans la région neutre, on obtient, non pas deux pôles isolés, mais deux aimants nouveaux. On peut reconstituer l'aimant primitif en juxtaposant les tronçons ; les pôles qui s'étaient développés aux

(^) Pour rétude du magnétisme terrestre, consulter:

Gauss, Allgemeine Théorie des Erdmagnetismus y

Mascart et JouBERT, Leçons sur rÉlectricité et sur le Magnétisme^ t. i

PROPRIETES DES AIMANTS.

surfaces de rupture se font équilibre. Ce fait que la division d'un barreau fournit toujours des aimants complets, quelque petiis que soient les fragments, a conduit Webcr à. admettre que la polarisation a son siège dans les molécules composantes, chacune de celles-ci étant un aimant complet possédant deux pôles (*). I/état neutre résulterait du défaut d'orientation des molécules , dont les pôles se neutralisent réciproquement. Mais si un barreau neutre est amené dans un champ , les a.^es magnétiques des molécules sont sollicités à s'orienter: les pôles N dans la direction du champ, les pôles S en sens inverse. Pour expliquer les variations observées dans le degré d'aimantation, on est obligé d'admettre que les- molécules opposent une certaine résistance à l'orientation , variable avec la nature et l'état physique des barreaux , et à laquelle on a donné le nom de force coercitive.

Cette résistance, dont on verra plus loin une explication fournie par M. Ewing, est faible dans le fer recuit ou fer doux, de sorte qu'un barreau de ce métal étant introduit dans un champ magnétique d'intensité moyenne s'y aimante fortement. Mais il perd aisément cette aimantation lorsqu'il est enlevé du champ et ne conserve alors que des traces de magnétisme résiduel ou rémanent. On donne le nom de force magnétisante à l'intensité du champ qui provoque l'aimantation.

L'écrouissage accroît la force coercitive du fer, mais celle-ci est surtout exallée par la combinaison avec ce métal de quelques corps étrangers, tels que le carbone, le tungstène cl le chrome, en faibles proportions. Un barreau d'acier acquiert son maximum de force coercitive lorsqu'il a été chauffé au rouge vif et trempé soit par le refroidissement brusque dans l'huile, l'eau ou le mercure, soit par une compression énergique , obtenue à la presse hydraulique , pendant le refroidissement. Ce dernier procédé donne au m^ial une dureté plus uniforme que la trempe par immersion. Le degré de recuit peut s'esiimer par la conductibilité des échantillons pour Télectricité. Cette conductibilité augmente du simple au triple de l'acier doux à l'acier trempé dans ie mercure. Un barreau d'acier

('I Voir Maxwell, Electricity and Magnetism^ t. 2.

trempé s'aimante plus difficilement que le fer, mais il conserve une aimantaiion rémanente ou magnétisme permanent considérable. Différents faits corroborent Thypothèse de Weber.

1. — L'aimantation dans un champ d'intensité croissante tend vers une limite appelée saturation^ laquelle correspond probablement au parallélisme des axes moléculaires et de la direction du champ.

2. — Toute cause d'agitation moléculaire favorise l'aimantaiion d'un barreau soumis à une force magnétisante, et sa désaimantation après qu'il a été retiré du champ. Ainsi, un barreau de fer doux dressé verticalement s'aimante sous l'action de la composante verticale du magnétisme terrestre lorsqu'on le frappe légèrement.

Le barreau conserve son aimantation lorsqu'on change son orientation , à la condition de le soustraire à toute vibration, mais un cht)c léger suffit pour dissiper son magnétisme. Les vibrations ont particulièrement un effet marqué sur le fer. M. Ewinga montré qu'en soustrayant un barreau de ce métal à toute cause d'agitation , on peut obtenir des aimantations rémanentes plus fortes que celles accusées par l'acier; mais la moindre vibration fait évanouir la presque totalité du magnétisme acquis. Un choc violent peut également enlever à un barreau d'acier récemment aimanté plus de la moitié de son moment magnétique, mais les chocs consécutifs ont alors une action de plus en plus faible.

Il en est de même pour les variations de température. Une élévation de température affaiblit la puissance d'un aimant. Au rouge vif, l'aimantation disparaît complètement.

Si Ton recuit un barreau, aimanté et trempé, à une température de ioo<>, par exemple, on assure la constance de l'aimantation pour les températures inférieures, c'est à dire que des variations moindres que ioo° ne causent qu'un changement temporaire dans le moment du barreau, lequel reprend la môme valeur à la môme température.

Les variations du moment sont alors sensiblement une fonction linéaire de la température ; soient Xo le moment à o° C, Jl»/ le moment à r C,

3. — L'aimantation provoque un allongement faible et progressif des barreaux jusqu'à une certaine limite , à partir de laquelle il se

manifeste un raccourcissement, comme si les molécules, apiès S'être orientées, tendaient à se rapprocher en diminuant les espaces intermoléculaires (Bidwell).

Lorsqu*un barreau est soumis à des forces magnétisantes variables, il produit un bruit qu'on peut attribuer aux ébranlements des molécules d'air causés par les dilatations ou les contractions de l'aimant.

4. — Beetz a montré qu'une faible force magnétisante appliquée au fer, au moment de sa précipitation par Télectrolyse, l'aimante à saturation, ce qui tient à ce que les molécules du métal se déplacent librement lors de la réduction.

40. ^— Aimants élémentaires. Intensité d'aimantation. — L'hypothèse que nous venons de développer nous amène à analyser les propriétés des aimants élcmentaircs ^ dont la longueur est considérée comme infiniment petite par rapport aux distances finies du champ.

On appelle intensité d'aimantation d'un aimant élémentaire le rapport de son moment magnétique à son volume :

-3=:—, dimensions L ^M^T

Les aimants élémentaires sont supposés de forme cylindrique avec leurs pôles concentrés sur les faces extrêmes. Dans ces conditions, on appelle densité des pôles le rapport de leur masse magnétique à leur surface :

Or, en appelant / la longueur de Taimant, on a

m l = A,y s l=zv;

il s'ensuit que la densité et l'intensité d'aimantation ont même expression numérique et mêmes dimensions. Soît un aimant élémentaire S N, fig. 9, dont les pôles de masse m

Fig. 9.

sont à des distances r, r' d'un point P. Le potentiel magnétique en ce point est

rr

Comme r ne diffère de r' que par une quaniîtc infiniment petite, on peut remplacer rr* par r^ et r — r' par / cos 0,0 <?tant Tangle de Taxe de Taimant S N avec la droite qui joint celui-ci au point P. Par suite

l cos 0 A» cos 0

41. — Filet magnétique ou solénoïdal. — Si Ton met bout à bout des aimants élémentaires d'égale intensité d'aimantation, les pôles voisins se neutralisent , et il ne reste que deux pôles résultants aux extrémités de la chaîne, laquelle porte le nom de tilet magnétique ou filet solénoïdal.

Fig. lo.

PROPRIÉTÉS DES AIMANTS. 'i'J

Le potentiel en un point P, situé à des distances r et r des pôles extrêmes, est

expression qui ne dépend pas de la forme du filet, mais seulement de la position des extrémités. Par suiie, un filet formant une chaîne fermée a un potentiel nul en tous les points extérieurs, c'est à dire qu'un filet fermé n'exerce aucune action sur les masses magnétiques voisines.

L'équation

représente une surface équipotentielle.

En ado))tani le procc'dé graphique exposé au § i6, on tracera par points les lignes équîpoteniielles dans un plan passant par les masses + m, — m.

La figure lo montre les lignes équipoteniielles dues à deux masses semblables; ce sont des courbes ovoïdes enveloppant les pôles. Laxe vertical de symétrie est équipotentiel. Les lignes de force, dont le sens est marqué par des flèches, coupent orthogonalement les premières.

42. — Aimants uniformes. — On peut concevoir un cylindre circulaire droit formé de filets reciilignes égaux et juxtaposés. L'effet d'une telle combinaison , par rapport aux points extérieurs, est le même que celui des deux couches magnétiques , de densités égales et contraires, situées aux extrémités du cylindre. LMniensilé d'aimantation est constante en tous les points de celui-ci.

L'action du cylindre droit , aimanté uniformément , en un point extérieur situé sur le prolongement de Taxe est , en appelant a et ql' les angles plans sous lesquels on voit du point considéré les rayons des bases du cylindre, § 3i,

3C =r 2 2: 5 ( COSa — cosa ).

On peut également juxtaposer des filets reciilignes d'égale intensité d'aimantation, mais de longueurs différentes, dont les extrémités aboutissent à la surface d'un sphère. Un aimant sphérique ainsi défini présente deux couches hémisphériques de signes contraires.

La densiié de ces couches est égale à Tintensîté des filets aux extrémités du diamètre N S, où les éléments coupent normalement la surface de la sphère. Aux autres points, la densité décroît comme le cosinus de Tangle a, a représentant Tinclinaison des filets sur les rayons de la sphère. Elle est nulle suivant le grand cercle normal à N S.

Une telle distribution peut se représenter par un glissement infiniment faible d'une sphère positive de centre O, sur une sphère, égale et de signe contraire de centre O', 00' figurant Tépaisseur maxima de la couche magnétique.

Dans la section méridienne représentée dans la fig. n, les couches limitées par les surfaces de séparation des deux sphères

Fig. II.

ont une épaisseur décroissant comme le cosinus de l'angle a. La région commune est évidemment neutre.

L'effet du système, sur un point intérieur P, est égal à la résultante des actions des deux sphères.

Or, en appelant 8 la densité cubique des masses, l'effet de la sphère 0 sur l'unité de pôles située en P est, § 29,