Induction dans les masses métalliques. — Dans ce qui

précède , nous avons eu particulièrement en vue les phénomènes d'induciion développés dans les circuits linéaires ; mais il est clair que rinduction se manifeste dans des masses métalliques de forme quelconque traversant les lignes de force d'un champ magnétique.

Le disque de Faraday, § 1 73, montre le développement de courants induits dans le cas d'un disque massif tournant entre les pôles d'un aimant. La détermination des lignes de flux ou de courant électrique présente dans un cas semblable une grande complication.

Pour résoudre ce problème, on appuie sur le disque des pointes de cuivre reliées à un galvanomètre , en procédant suivant la méthode indiquée au § iS/. On obtient de la sorte des séries de points au môme potentiel , ce qui permet de tracer des lignes équipoteniielles Les lignes de flux sont normales à celles-ci.

Si l'on fait tourner le disque de Faraday sans réunir les contacts glissants par un conducteur , les lignes de courant se ferment dans le disque môme en produisant des courbes qui s'enveloppent sans

(') Voir Mascarf et Joubert , Électricité et Magnétisme ^ pour le développement des calculs relatifs aux coefficients d'induction des bobines.

APPLICATIONS DES LOIS DE l'iNDUCTION. 229

se couper et qui se partagent en deux groupes séparés par un plan vertical passant par Taxe de rotation du disque.

Suivant la loi de Lenz, le sens de ces courants est tel qu'ils tendent à s'opposer au mouvement du disque; par suite, les courants qui s'approchent des pôles sont de sens contraire à celui des courants du solénoïde équivalent à Taimant inducteur. Les couraiîfs qui s'en éloignent sont de môme sens que les courants soléno'idaux.

i88. — Courants de Foucault — Cette conséquence de la loi de Lenz se démontre de diverses manières. On doit à Foucault l'expérience suivante. Un mouvement de rotation rapide est communiqué à un disque embrassé par les pièces polaires d'un fort électroaimant. Au moment où l'on fait passer un courant dans celui-ci, la résistance mécanique occasionnée par les courants induits provoque l'arrêt du disque. Si l'on continue le mouvement par une dépense de force motrice suffisante, le disque s'échautfe en venu de l'effet Joule.

On réduit très notablement les courants induits et, par suite, la résistance à la rotation et réchauffement en divisant le disque par des traits de scie normaux à la direction des forces éleciromotrices d'induction et coupant ainsi les lignes de flux. Dans le cas actuel, ces divisions seront des cercles concentriques au disque et ce dernier devra être constitué par des anneaux de diamètres croissants, séparés par une matière isolante.

On comprend habituellement sous le nom de courants de Foucault les courants induits dans les masses métalliques.

La résistance mécanique, occasionnée par les courants induits dans les masses, est mise à profit pour amortir le mouvement des

aiguilles des galvanomètres.

Si, en effet, on entoure un aimant, mobile autour d'un axe de suspension, d'une masse de cuivre dans laquelle on a ménagé une cavité suffisante pour permettre les oscillations de l'aimant, celui-ci développe dans le cuivre des courants induits qui s'opposent à son mouvement et provoquent son arrêt.

Lorsqu'on déplace une barre conductrice faisant partie d'un circuit à travers les lignes de force d'un champ présentant des variations d'intensité en ses divers points, outre la force électromotrice d'induction observée dans le circuit, il se forme des cou-

23o INDUCTION ÉLECTROMAGNÉTIQUE.

rants de Foucault dans la masse même du conducteur. En effet, les filets élémentaires constituant celui-ci coupent, au môme instant, des nombres de lignes de force différents. Ces courants parasites échauffent la barre sans profit pour le circuit.

189. ~* Noyaux des électro-aimants traversés par des courants variables. Calcul de la puissance perdue dans les courants de Foucault. — Des courants de Foucault tendent à prendre naissance dans le noyau d'un électro-aimant dont la bobine est parcourue par un courant périodique. Pour atténuer ces courants, qui échauffent inutilement la masse de fer, on constitue le noyau à Faide de lames minces, isolées les unes des autres soit par un vernis, soit par du papier vernis ou paraffiné, et empilées de manière que leurs surfaces de séparation soient parallèles à Taxe de la bobine et coupent, par suite, les directions des forces électromotrices d'induction. Les boulons employés pour consolider les piles de feuillets doivent être isolés par des tubes de fibre vulcanisée et des rondelles de même substance placées sous les têtes des boulons et sous les écrous. Il est bon d'entourer le noyau tout entier d'une toile vernie, afin que les arêtes des lames ne percent pas risolant des fils enroulés sur la masse de fer.

On forme parfois le noyau d'un faisceau de fils de fer vernis, mais il est à remarquer que la place perdue par le fait des interstices compris entre les fils composants est bien plus grande que dans les cas d'un noyau feuilleté. Aussi, cette disposition n'est-elle applicable qu'aux petits électro-aimants droits. Comme les fils ne se touchent que suivant des génératrices , leur isolement ne doit pas nécessairement être aussi soigné que celui des feuillets. La division du noyau parallèlement "à son axe permet d'éviter réchauffement dû aux courants de Foucault, mais non celui qui résulte du phénomène d'hystérésis, § 61. Sous l'action du courant périodique de la bobine, le noyau est, en effet, soumis à des aimantations successives de sens contraires qui entraînent une perte d'énergie en rapport avec les variations de la force magnétisante et la force coercitive du noyau.

Il est possible de calculer la perte occasionnée par les courants de Foucault dans un feuillet ou un fil de fer pris dans le noyau d'un électro-aimant parcouru par des courants périodiques.

APPLICATIONS DES LOIS DE l'iNDUCTION. 23 I

Soit le cas d'un fil cylindrique de longueur / et de rayon R, parcouru longitudinalement par le flux variable qui tend à développer des courants parasites parallèles au bord de la section droite du fil. Considérons à Tintérieur de celui-ci un tube concentrique Infiniment mince de rayon r et d'épaisseur dr. Toute variation du flux suivant le fil détermine dans le tube une force électromotrice d'induction exprimée par

La résistance opposée par le tube au courant est

2 t: r p TdF'

p étant la résistance spécifique du fer.

La puissance calorifique dégagée dans le tube est le rapport du carré de la force électromotrice à la résistance, soit

2TZ r p 2 p

i K r a 2 p \ ai /

dr.

Idr La perte totale dans le fil est, par suite.

(diSSy, 7:RW /d ^\

La perte de puissance par cm^ est

p ■ R2 (d^y t: Ra /"" 8p W/ /

Dans le cas d'une lame de longueur /, d'épaisseur e et de largeur X , on aurait trouvé , en supposant les lignes de courant parallèles aux bords de la lame, ce qui n'est qu'approximativement exact,

l\e~ 6p \ dt )

Dans les deux cas, on voit que la perte diminue rapidement avec l'épaisseur des éléments du noyau.

232 INDUCTION ÉLFXTROMAGNÉTIQUE.

Il résulte des recherches de MM. J. Thomson et Ewing ( * ) que les courants de Foucault, produits dans les (éléments du noyau d'un électro-aimant parcouru par des courants alternatifs, exercent un effet magnétisant contraire à celui de ces derniers courants sur les molécules de fer placées à Tintérieur des plaques ou des fils composant le noyau. Il s'ensuit que, pour obtenir un flux magnétique total déterminé, il faut forcer Tinduction magnétique dans les couches extérieures des fils ou des plaques , ce qui entraîne un accroissement de la perte par hystérésis, attendu que cette dernière croît plus vite que Tinduction maxima à laquelle le fer est soumis.

190. — Self-induction dans la masse d'un conducteur cylindrique. Expression du coefficient de self-induction d'un tel conducteur. — Lorsqu'un courant variable circule dans un conducteur cylindrique, la densité du courant n'est pas constante dans toute l'étendue de la section du conducteur ; elle est plus grande à la périphérie qu'au centre. Pour se rendre compte de ce fait, on peut diviser par la pensée le courant total en une infinité de courants élémentaires parallèles, susceptibles de réagir les uns sur les autres. Le courant qui passe dans un filet tend à induire dans les filets voisins des courants inverses. Ces réactions mutuelles sont d'autant plus fortes que les filets sont plus condensés. Il en résulte une réduction dans l'intensité, qui est maxima vers le milieu de la section du conducteur et minima à la périphérie. Le conducteur présente, pour les courants variables, une résistance supérieure à sa résistance aux courants permanents.

L'induction dans la masse du conducteur est encore accrue dans le cas d'un fil magnétique, tel qu'un fil de fer, par suite de Taimantaiion circulaire que prend alors le métal et qui est due aux lignes de force circiflaires créées par les filets de courant intérieur, § 124. En vertu de l'observation présentée au § 170, cet effet n'apparaît toutefois que dans le cas de courants alternatifs; avec les courants intermitenis de sens constant, les molécules du fer conservent leur orientation en constituant des chaînes

(*) Electrician, 22 avril 1892.

APPLICATIONS DES LOIS DE l'iNDUCTION. 233

fermées et ne produisent aucune réaction d'induction ; avec les courants alternatifs, il est préférable de faire usage de conducteurs en métal non magnétique.

Lorsque la période de variation est excessivement courte, comme c'est le cas lors de la décharge d'un condensateur, on conçoit que les réactions mutuelles portent tout le courant vers les couches extérieures du fil. A mesure que la période du courant diminue, on est ainsi conduit à écarter de plus en plus les filets élémentaires et à donner aux conducteurs la plus grande surface possible. Les bandes, les tubes, les cordes métalliques seront alors préférés aux conducteurs de section circulaire.

Pour arriver à établir la valeur du coefficient de self-induction d'un conducteur cylindrique, cherchons le coefficient de selfinduction d'un circuit formé par deux conducteurs C, C, parallèles et assez longs pour pouvoir être considérés comme indéfinis. Tel serait le cas de deux fils télégraphiques voisins. Soient z le courant qui traverse le circuit, r le rayon des conducteurs et d l'écartement de leurs axes.

Déterminons le flux de force produit par les conducteurs dans l'espace limité par leurs axes et par deux plans normaux à ceux-ci, distants de i cm. Chacun des conducteurs intervient évidemment pour la moitié dans la production du flux. Appelons {x la perméabilité du milieu qui environne les fils et [x' la perméabilité de ceux-ci.

Le conducteur C détermine en un point extérieur, situé à une distance a de son axe, un champ dont l'intensité est la môme que si

le courant était condensé suivant cet axe, soit — ? S 1 35. L'induction

magnétique correspondante est, par suite , — ^— • Si Ton considère

dans l'espace désigné ci-dessus une tranche parallèle à C et d'épaisseur da, le flux qui traverse cette surface élémentaire est

— * Le flux total, dû à C, qui coupe la surface comprise entre

le bord de C et l'axe de C est donc par unité de longueur

2[x { da .. d

= 2 [12 loge -•

Dans la partie de l'espace considéré occupée par C, le champ a

234 INDUCTION ÉLECTROMAGNÉTIQUE.

une expression différente. En un point pris dans Tintérieur de C à une distance b de Taxe , le champ est le même que celui qui serait produit par un courant condensé suivant Taxe et dont Tintcnsité serait à Tintensiié totale comme la section de rayon b est à la section totale du conducteur.

On aura donc pour Tiniensité du champ

2 1 nb^ 2 ib

et pour la valeur de Tinduction magnétique au point b

Le flux traversant la moitié de la section longitudinale de C, et qui parcourt la masse du conducteur , sera, par unité de longueur compté suivant Taxe,

2u.'{bdb

Le flux total dû à C est donc

( 2 (X loge - + |X')

Comme C fournit, à travers l'espace considéré, un flux identique, on aura en tout

2/ ^2 [Alogo-+(x')-

Par définition, le coefficient de self-induction du circuit sera donc, par unité de longueur,

£^^ = 2 (^ 2rxloge- H" [^' )• ( l)

Dans le cas de conducteurs en cuivre suspendus dans lair, on a sensiblement ^'—il=: i , d'où

r<=:2( 2 loge y\- I )• (2)

APPLICATIONS DES LOIS DE l'iNDUCTION. 235

On remarquera que Texpression logarithmique donnant la valeur du flux dans l'espace qui sépare les conducteurs montre que Tinduction diminue très rapidement à mesure qu'on s'écarte de ceuxci, c'est à dire qu'à partir d'un certain écartement des conducteurs, on n'accroît pas sensiblement le flux en augmentant leur distance.

On peut donc dire que, dans un circuit de forme quelconque, la self-induction est proportionnelle à la longueur des conducteurs qui composent le circuit, pourvu que ceux-ci soient suffisamment éloignés.

La part du coefficient de self-induction due aux dimensions en section de chaque conducteur est simplement exprimée par fx'. Cette quantité est négligeable lorsque, fx étant égal à \l\ la distance d est grande relativement à r, ou encore lorsque la perméabilité fx est très considérable vis à vis de fx'. On a un exemple du premier cas dans deux fils de cuivre tendus dans l'air à la manière des fils télégraphiques. Le second cas est réalisé dans un conducteur en cuivre enroulé autour d'un noyau en fer de grand diamètre.

Le raisonnement qui précède a montré que le flux qui traverse la masse des conducteurs croît de l'axe à la périphérie de ceux-ci. Ce raisonnement suppose que la répartition initiale du courant est uniforme dans la section du conducteur. Si le courant est variable,* l'eff'et de l'inégale répartition du flux dans la section est de créer des forces éleciromotrices d'induction qui tendent à accroître la densité du courant vers la périphérie et, par suite, à augmenter encore le flux dans cette région. La conséquence de ces réactions est un accroissement de résistance, et si la fréquence du courant est suffisamment grande, les couches superficielles du conducteur sont seules intéressées dans le déplacement électrique.

Cet effet se manifeste très nettement lorsqu'on provoque des décharges répétées d'un condensateur dans un gros fil de cuivre. On peut allumer une lampe à incandescence mise en dérivation par rapport à une très faible longueur du fil, eu égard à la différence de potentiel créée par la résistance des couches extérieures, seules intéressées, du conducteur. Dans ces conditions, la surface du fil est seule chauffée par le courant, les couches intérieures s'échauffent par conductibilité. On s'en assure en faisant passer, pendant un temps très court, un courant de haute fréquence suffisamment

intense; le fil, échauffé un instant à la surface, se refroidit rapidement par la diffusion de la chaleur dans la masse du conducteur, M. Potier a donné la formule suivante pour exprimer le rapport entre la résistance Ra d'un fil rond pour les courants alternatifs de période T et celle de Rc du môme fil pour les courants continus. En appelant / la longueur du fil, d son diamètre et p sa résistance spécifique, on a

et

Rc ~ ^ i2R^c\T/ i8oR^c\T/ ^••"

A la fréquence 80, Taccroissement de résistance est de 2,5 pour 100 pour un fil de i5 mm de diamètre; il est de 8 pour 100 à la fréquence i33. La résistance Ra calculée par la formule ci-dessus est celle qui , multipliée par le carré de Tintensiié efficace, donne la puissance perdue par l'effet Joule. On voit que, pour ne pas conduire à des frais exagérés d'installation et d'exploitation, les conducteurs pour courants alternatifs très intenses doivent avoir la forme de tubes.

ROTATIONS SOUS L'ACTION DE COURANTS INDUITS

191. — La réaction des courants induits, régie par la loi de Lenz, permet de réaliser divers mouvements rotatifs.

Arago avait remarqué que, si un disque de cuivre tourne sous une aiguille aimantée pivotant au-dessus du centre du disque , l'aiguille est entraînée dans le sens du mouvement de celui-ci.

De môme, si l'on fait tourner un fort aimant au-dessus d'un disque métallique mobile, ce dernier tend à prendre le môme mouvement que l'aimant. En se reportant à l'explication donnée au § 187, on voit que les courants induits en avant des pcMes sont repoussés par les courants solénoïdaux équivalant à l'aimant. Les courants induits en arrière des pôles sont, au contraire, attirés.

Cette expérience permet de formuler une règle générale :

Chaque fois que les lignes de force d'un champ magnétique se

ROTATIONS SOUS L ACTION DE COURANTS INDUITS

déplacent dans un conducteur, celui-ci tend à suivre le mouvement du champ.

192. — Dispositions de M. Ferraris. — On doit à M. Ferrarîs des dispositifs ingénieux basés sur l'application de cette règle, Soit un disque conducteur, mobile autour de son axe O et

enfermé entre deux paires de bobines AA' BB', qu'on voit en coupe sur la figure.

On fait passer dans ces bobines des courants périodiques semblables, mais dont les phases diffèrent de 90°.

Une partie des lignes de force ainsi produites traversent la masse du disque en y pénétrant par la tranche. Désignons par 3C l'intensité moyenne du champ crée, à un moment quelconque, dans le disque, par les bobines AA' et dirigé suivant Taxe de celles-ci. JC,n étant rintcnsité maxima, on a

5C = 5Cm sin at.

Si Ton suppose que les. bobines BB' produisent un champ dont rintensiié maxima est aussi égale à 5C,n, mais en retard d'un quart de période, son intensité moyenne dirigée normalement à 3C est

5C =z 3Cin sin

~ I zn: — 3Cm CCS at

Les deux champs se composent suivant une résultante ayant à chaque instant pour intensité

Cette résultante se détermine graphiquement par le procédé indiqué au § 181; son intensité est constante en grandeur, mais

238 INDUCTION ÉtECTROKAGNÉTIQlIE.

sa direction varie. Pour at ^ o, K' a la même direction que K'; lorsque al croît de o à -, le champ résultant tourne autour de O ei arrive à se confondre avec se. Pour les valeurs de at comprises entre - et x, la direction de la r<3sultantc accomplit un nouveau quart de révolution ; elle revient à .'a position initiale pour ni — 2 n.

En résumii, le champ magnétique produit par l'action combinée de deux paires de bobines pivote autour du point 0. Le disque conducteur est donc parcouru par des courants induits dont la réaction l'entraîne à tourner dans le même sens que le champ.

Si les deux groupes de bobines étaient traversés par des courants de même phase, la direction du champ résultant resterait constamment dans le plan bissecteur des bobines, mais l'iniensité varierait de

+ 3Cm y I à — VLanJT.

Pour toute différence de phase comprise entre 0° et 90», on obtiendra un champ tournant; re.ttrcmité de la droite représentant l'iniensiié résultante décrira, non pas une circonférence comme dans le premier cas examiné, mais une ellipse dont le grand axe sera dirigé suivant le plan bissecteur.