TT
c^ El? r^
JL / ^i,J-± = 1^
On remarquera que la racine carrée du moyen carré est différente de l'intensité moyenne
par suite,
îm=:0,9 i/(^^
c'e^ à dire que les indications de l'éiecirodynamomètre doivent être réduites d'un dixième pour donner le courant moyen.
Si l'on désigne par E^ et I la force electromolrice et le courant maxima, il est facile d'exprimer en fonction de ces quantités, d'une part, la force électromotrice et le courant moyens, d'autre part, la force électromotrice et le courant efficaces.
224 INDUCTION ÉLECTROMAGNÉTIQUE,
On a en effet :
Force électromotrice moyenne, etD = - Eq.
Intensité moyenne, im = - I,
Force électromotrice effective e=: E cos^.
Force électromotrice efficace, V (^ )•" = Eeff = — =?:r-
Intensité efficace, Jl^=zJcrt=^=-=
E-ff
V' * Jr* + ll^^L'
Impédance, i / r^ H ?p2 —
Il ne faut pas perdre de vue que ces diverses relations ne se vérifient que dans le cas où la force électromotrice périodique est une fonction sinusoïdale simple du temps et où le coefficient de self-induction X est constant ; ce qui exige que la perméabilité du milieu qui entoure le circuit mobile soit invariable.
Si la fonction périodique était plus complexe, elle pourrait, suivant le théorème de Fourrier, se représenter par une somme de sinusoïdes, mais les coefficients de réduction ci-dessus seraient changés.
La chaleur moyenne développée par le courant en une seconde est
c'est le produit de la résistance réelle du circuit par le carré de l'intensité efficace. On a
i'rdt=l ,f^';., =- Eol ^ .^ z^lEoIcosy;
d'où
fm = y/ (e^jm )J (ï^Jm COSCp z= Eeff leff COS^.
On voit que la chaleur développée dans un circuit où agit une
APPLICATIONS DES LOIS DE l'iNDUCTION. 225
force électromotrîce périodique varie avec le retard de la phase du courant sur celle de la force électromotrice, par conséquent avec laself-induciion du circuit. La puissance calorifique est nulle pour
cp =- 1 c'est à dire pour un retard égal à 1/4 de période.
Dans l'expression
si£ est constant, le dénominateur est minimum pour
par suite, la valeur de la résistance du circuit qui rend maxima la puissance calorifique moyenne est
Comme alors
on a
et le retard correspondant à la puissance maxima est égal à un huitième de période. Cette puissance s'exprime par
183. — Induction mutuelle de deux circuits. — Supposons que deux circuits de forme invariable et de coefficient de self-induction constant, ayant des résistances r et r' et un coefficient d'induction mutuelle égala OÏL, § i32, se rapprochent assez lentement Tun de l'autre pour que les courants /, i' qui les traversent puissent être considérés comme constants.
On a, pour un déplacement élémentaire, en appelant E, E' les forces électromotrices des générateur^ produisant les courants .
dt .. dt
226 INDUCTION ÉLFXTROMAGNÉTIQUE.
On tire de ces équations
(Ei+E'i)dt — ( i2 r + ï'V) dt — 2 if d OÏL.
(Ef + E'f) dt exprime l'énergie fournie par les générateurs pendant un temps dt '^ [i^ r-\- ï'^ r) dt est la partie de cette énergie transformée en chaleur dans les conducteurs.
ii'dDÏL est le travail des forces électrodynamiques. Comme l'excès de l'énergie dépensée sur l'énergie transformée en chaleur est double de ce travail, on conclut qu'une partie égale à i ï dDTU s'est emmagasinée dans le système à l'état d'énergie potentielle ou intrinsèque.
On se rappelle en effet, § i32, que l'énergie mutuelle de deux circuits est exprimée par — i f OÏL; sa variation est donc bien / f d OÏL-.
184. — Induction mutuelle de deux circuits fixes. — Deux circuits de forme et de position invariables ont des résistances r et r', des coefficients de self-induction £ et £' constants et enfin un coefficient d'induction mutuelle égal à OÏL, § i32.
Si dans ces circuits agissent des piles de forces élcctromoirices E E', les courants seront à un instant quelconque de la période variable
E-AiOKi' + ti)
i= ^ , in
E'-~(D]bi + ri'}
dt . ^2)
Comme les circuits sont fixes, OÏL est une constante, de sorte qu'en multipliant (ij et (2) respectivement par i4t et i'dt^ ces deux équations donnent, parleur addition,
( E I + E' /' ) i/ — ( 1*2 r + n r)dt = Zi di + £' /' dï + OPL- ( i di' + i di).
On voit que, dans ce cas, l'excès de l'énergie fournie par les piles sur l'énergie transformée en chaleur est
£ I di + £' ïVi" + OÏL ( i dî + i" di).
Cette expression est la différentielle exacte de
APPLICATIONS DES LOIS DE l'iNDUCTION. 22/
quantité qui représente rénergie potentielle des circuits lorsque les courants ont atteint les valeurs z, i'.
Les deux premiers termes figurent les énergies intrinsèques de chaque circuit et le troisième leur énergie mutuelle.
185. — Quantité d'électricité induite. — Considérons le cas où E' = o, le courant du second circuit provient alors entièrement de rinduciion mutuelle et Téquation (2) donne par Tintcgraiion
I r ï dt=— DÏL I di - r / di , Jo Jo Jo
car le courant induit est nul au commencement et à la fin de la période variable du courant inducteur.
Par suite,
Lors de l'ouverture du circuit inducteur , on a de môme
Les quantités d'électricité induites sont égales et de signes contraires dans les deux cas.
186. — Expression du coefficient d'induction mutuelle. — On a démontré, § i52, que la somme des flux magnétiques qui traversent les spires d'une bobine annulaire à noyau , divisée par le courant de circulation , s'exprime par
lorsque le diamètre de l'anneau est très grand vis à vis de sa largeur. Si l'on suppose que la première bobine est entièrement couverte par une seconde, ayant n/ spires par unité de longueur suivant l'axe et n' spires totales , le coefficient de self-induction de cette seconde bobine est
Or, ic coefficient d'induciion mutuelle est le rapport du flux produit par une des bobines à travers les spires de la bobine voisine au courant qui parcourt la première.
On voit donc qu'on a alors la relation
D\L = ./zr.
Celte expression simple est applicable chaque fois que les lignes de force créées par Tune des bobines traversent toutes les spires de la bobine voisine. C'est donc la valeur maxima du coefficient d'induction mutuelle des deux circuits. Cette condition est réalisée dans la région moyenne de deux bobines concentriques de très grande longueur ei à axe rectiligne ( *).
