DEFINITION GEOMETRIQUE UE L INTEGRALE

que deux quelconques de ses points puissent être joints par une courbe ne passant que par des points de l'ensemble ; nous savons en effet qu'un segment, un polygone, une circonférence, une ellipse sont d'étendue superficielle extérieure nulle.

Les courbes qui sont des groupes intégrables sont celles que nous avons appelées quarrables.

Pour avoir un ensemble non mesurable J, il suffit de prendre un ensemble partout dense qui ne contienne aucun intervalle, s'il s'agit d'un ensemble sur la droite ; qui ne contienne aucun domaine, s'il s'agit d'un ensemble dans le plan; pour un tel ensemble, en effet, l'étendue intérieure est nulle, l'étendue extérieure ne l'est pas. L'ensemble des points dont les coordonnées (ou la coordonnée) sont rationnelles n'est donc pas mesurable J.

P. du Bois-Rejmond a remarcpé qu'un ensemble peut être partout non dense sans être mesurable J. Prenons une suite de fractions a,, <X2j . . ., telles que le produit infini P = a^ x a^X- . . soit convergent et différent de zéro ; on prendra, par exemple,

ciLn= ^—, — ^— • Divisons l'intervalle (a, h) en trois parties, celle du

milieu étant de longueur {h — a)(i — a^), les deux extrêmes étant égales. Barrons les points intérieurs à l'intervalle du milieu et opérons sur les deux intervalles restants comme sur (a, 6), a^ étant remplacé par a2, et ainsi de suite. Soit R l'ensemble des points restant après toutes ces opérations. Si l'on se sert des divisions successives qui ont donné R pour calculer l'étendue extérieure de R, on voit que cette étendue est P(6 ~ (^■)^ donc qu'elle est différente de zéro. Or l'étendue intérieure est nulle, puisque R est non dense, R n'est pas mesurable J (^ ).

Une construction tout à fait analogue peut être faite dans le cas du plan; on pourra, par exemple, diviser un rectangle, par deux séries de trois parallèles à ses côtés, en neuf rectangles et barrer les points intérieurs à celui du milieu, qu'on choisira de manière que son aire soit (i — a,) fois celle du rectangle primitif. Puis on opérera sur chacun des huit rectangles restants en remplaçant a^ par ao.

(^) Si l'on avait a,^— «^j on aurait l'ensemble Z qui est mesurable J, parce que P est nul.

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Parmi les ensembles non mesurables J dans le plan se trouvent des courbes non quarrables/ c'est-à-dire dont l'étendue extérieure n'est pas nulle; mais toute courbe non quarrable n'est pas nécessairement non mesurable J.

M. Peano a construit le premier une courbe qui passe par tous les points d'un carré; M. Hilbert a ensuite indiqué une méthode géométrique simple permettant de construire de telles courbes ; toutes ces courbes sont non quarrables (^).

Pour avoir une courbe passant par tous les points du carré o^^^i, o^y^i, définie en fonction d'un paramètre t variant de o à I, je pose

I /«i «3 «5 <^2rt-l ,

quanc

où les cti sont égaux à o ou 2. Alors t fait partie de l'ensemble Z de la page 26.

Soit une valeur de t non contenue dans Z, alors elle fait partie de l'un des intervalles qui ont été enlevés dans la construction de Z ; soit (^05 ^'\) cet intervalle. Aux points ^0 et i^ de Z correspondent les valeurs x^^^ j'o; ^^, y,; alors on pose, pour tout l'intervalle

f 1 — Iq fi — fo

Dans (to^ ti) la courbe se réduit donc à un segment.

Notre courbe est complètement définie, mais, pour parler de courbe, il faut démontrer que x et y sont des fonctions continues de t dans (o, i). Il suffit évidemment pour cela de le démontrer seulement pour les fonctions x et y de t définies sur Z. Et cela résulte du fait que, si l (appartenant à Z) est assez voisin de 9

(') Peâno, Su7' une courbe qui remplit toute une aire {Math. Ann., Bel XXXVI). — Hilbert, Ueber die stetige Abbildung einer Linie auf ein Flàchens t lie k {Math. Ann., Bel. XXXVIII). La courbe de M. Hilbert est définie à la page 23 du. Volume I de la deuxième édition du Traité d'Analyse de M. Picard.

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DÉFINITION GÉOMÉTRIQUE DE l'iNTÉGRALE. 45

(appartenant aussi à Z), les 2 /z premiers chiffres a^^ a^^ ..., a^n de t^ écrits dans le système de base 3, sont les mêmes que pour 9, c'est-à-dire que les n premiers chiffres àe x[t) el x{^) d'une part, de y{t) et de y{^) d'autre part, sont les mêmes quand on écrit ces coordonnées dans le système de base 2.

Notre courbe remplit bien tout le carré, elle passe même plusieurs fois par certains points. On démontre facilement qu'il n'en peut pas être autrement (^ ).

Ce qui vient d'être fait dans le cas d'une et de deux dimensions peut évidemment être répété dans le cas d'un nombre quelconque de dimensions.

En particulier, dans le cas de trois dimensions, on définira le volume d'un domaine. Cela exigerait, au préalable, la définition précise d'une surface fermée et, pour la définition des domaines, des études analogues à celles de M. Jordan sur les courbes fermées.

TL — Définition de l' Intégrale.

Soit une fonction /'(^) continue positive, définie dans un intervalle positif (a, b)^ et le domaine a^BA que nous lui avons attaché {fig. i, p. 2). Cherchons si ce domaine est quarrable. Pour cela, divisons (a, b) en intervalles partiels (î^, §2, . . ., 8^. Le plus grand rectangle, de base 8/ et dont tous les points font partie du domaine a6BA, a pour hauteur la limite inférieure // de / dans 8/. Le plus petit rectangle, de base 8/ et qui contient tous les points du domaine qui se projettent sur 8/, a pour hauteur la limite supérieure L/ de / dans 8/.

De ceci résulte que les deux sommes

(1) On trouvera, au Chapitre Vil, § V, un exemple de l'emploi qu'on peut faire dans certains raisonnements de la courbe de Peano et des courbes analogues.

La courbe de Peano est mesurable J et d'étendue non nulle, elle ne peut servir à limiter un domaine. Il existe des courbes sans point multiple et non quarrables; ces courbes ne sont pas mesurables J, elles peuvent servir à limiter des domaines non quarrables. FoiV W.-F. Osgood, A Jordan curve of positive area ( Titans, of tlie Amer. Mat. Soc, igoS) ou H. Lebesgue, Sur le problème des aires i^Bull. de la Soc. math, de France, \(^o3).

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4^ CHAPITHE III.

tendent, quand le maximum des S tend vers zéro, vers des limites déterminées qui sont les étendues intérieure et extérieure du domaine. Or S — S tend vers zéro, caries fonctions continues sont à oscillation moyenne nulle, le domaine abBA. est donc quarrable.

Si nous employons la méthode du début, si nous appelons intégrale définie de f dans (a, b) Faire de aèBA, nous retrouvons l'intégrale de Cauchy. Il n'y a, entre cette définition et celle de Cauchy, que des différences de forme.

Dans le cas où f{x) n'est pas toujours positive, la courbe AB rencontre l'axe des x un nombre fini ou infini de fois et l'on a deux espèces de domaines, les uns au-dessus de ox^ les autres au-dessous. Chacun de ces domaines est quarrable d'après ce qui précède.

La somme des aires de ceux qui sont au-dessus de ox^ diminuée de la somme des aires de ceux qui sont au-dessous, est, par définition, l'intégrale de/(^) (^).

Considérons maintenant une fonction f{x) quelconque, définie dans l'intervalle positif (a, b). Soit £(/) l'ensemble des points dont les deux coordonnées sont liées par la seule condition que y ne soit pas extérieur à l'intervalle positif ou négatif [o, f{x)\. En d'autres termes, on a

jK/(^)èo et ol72S/(^) .

L'axe des x partage cet ensemble en deux autres : les points situés au-dessus de ox forment E^[/(^)], ceux qui sont audessous forment E2[/(^)]. Quant aux points situés sur ox, on les mettra indifféremment dans E^ ou Eo, cela importe peu dans la suite, car ils forment un groupe intégrabJe du plan.

Par analogie avec la définition précédente, il est naturel d'appeler intégrale de f\^ différence