I. — La mesure des ensembles

Dans le premier Chapitre, la définition de l'intégrale a été rattachée à celle de certaines aires; nous allons rechercher si, par une voie géométrique analogue, on peut arriver à la définition générale de Riemann. Nous verrons que cela est possible, de sorte que l'intégrale de Riemann apparaît comme la généralisation naturelle de l'intégrale de Cauchj, que l'on se place au point de vue analytique ou géométrique (^).

Je vais d'abord attacher aux ensembles des nombres qui seront les analogues des longueurs, aires, volumes attachés aux segments.

(^) Dans ce qui suit, je suppose définie la longueur (euclidienne) d'un segment et Taire (euclidienne) d'un polygone.

Pour éviter toute difficulté, il est commode de considérer un point comme un ensemble de trois nombres x^ y, z\ un déplacement comme un changement de coordonnées dont les coefficients sont assujettis aux conditions connues. Alors, par définition, la distance des deux points (a, h, c), (a, p, y) est

La fonction ainsi définie est, à un multiplicateur constant près, la seule fonction de deux points qui reste invariable dans les déplacements et telle que Ton ait

lorsque Q est sur le segment PR. C'est de là que vient l'importance du nombre longueur.

L'aire d'un polygone est définie par les théorèmes de Géométrie élémentaire; l'importance de ce nombre se justifie comme celle de la longueur. {Voir la Geométrie élémentaire de M. Hadamard, note D, ou encore la Géométrie de MM. Gérard et Niewenglowski.)

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aux domaines plans ou aux domaines de l'espace. C'est à M. Cantor que l'on doit la première définition de ces nombres ; je vais adopter la méthode d'exposition de M. Jordan qui a simplifié et complété la définition donnée par M. Cantor (^ ).

Soit E un ensemble borné (^) de nombres ou, si l'on veut, de points sur une droite. Soit (a, b) l'un des intervalles contenant E. Divisons (a, b) en un nombre fini d'intervalles partiels. Soit \ le maximum de la longueur de ces intervalles. Je désigne par A la somme des longueurs des intervalles partiels qui contiennent des points de E et par B la somme des longueurs de ceux dont tous les points font partie de E (^). M. Jordan démontre que A et B tendent vers deux limites parfaitement déterminées qaancl X tend vers zéro. Pour nous l'existence de ces limites est évidente, car A et B sont des valeurs approchées des intégrales par excès et par défaut de la fonction J; égale à i pour les points de E, nulle pour les autres points (^^).

(1) Dans le cas d'un ensemble de points dans l'espace, la définition qu'emploie M. Cantor {Acta Mathematica, t. IV) peut être énoncée ainsi : De chaque point M d'un ensemble E comme centre traçons une sphère de rayon p; l'ensemble des points intérieurs à ces sphères forme un ou plusieurs domaines dont on a le volume (au sens ordinaire du mot) par une intégrale triple. Soit /(p) ce volume; la limite de/(p), quand p tend vers zéro, est le volume de E.

Cette définition est équivalente à celle de l'étendue extérieure donnée par M. Jordan (t. I«^ de la 2<^ édition de son Cours d'Analyse).

M. Minkowski s'est servi du nombre /(p). Dans le cas où E est formé de

points d'une courbe, M. Minkowski considère le rapport - — ~\ s'il a une limite,

c'est ce que M. Minkowski appelle la longueur de la courbe. L'aire d'une surface

/"(o) se définit par le rapport - — ' —

On voit que le nombre /(p) peut rendre des services dans la théorie des ensembles. Ce qui précède semble montrer qu'il peut être employé de diiïerentes manières suivant le nombre de dimensions de E; d'ailleurs, M. Cantor indiquait dans son Mémoire que la notion de volume lui servait dans la définition du nombre des dimensions d'un ensemble continu. Dans beaucoup de questions, il semble qu'une telle définition serait fort utile, malheureusement M. Cantor n'a pas publié ses recherches sur ce sujet.

C") C'est-à-dire dont tous les nombres sont compris entre deux limites finies.

(^) On peut donner deux sens aux deux expressions « un intervalle contient des points » et « tous les points d'un intervalle » comme au mot « enfermé » {voir note i, p. 26). Il est indifférent d'adopter l'un ou l'autre.

C*) M. de la Vallée-Poussin définit les étendues extérieure et intérieure à l'aide de ^J;.

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La limite de A s^jypelleï étendue extérieure deE^ ec{E); celle de B estVétendue intérieure^ ^/(E).

Quand ces deux étendues seront égales, nous dirons que l'ensemble est mesurable J, c'est-à-dire par le procédé de M. Jordan, et d'étendue ( ' )

e(E) == e/(E) = ee(E):

dans ce cas, la fonction ']> attachée à E est intégrable au sens de Riemann et son intégrale dans (a, b) est e(E).

Interprétons la condition d'intégrabilité de A. Les points de discontinuité de ^ sont les points de E qui sont limites de points ne faisant pas partie de E, et les points limites de E qui ne font pas partie de E. Ces points sont appelés, par M. Jordan, les points frontières de E; leur ensemble est X-di frontière de E. Donc, pour qu'un ensemble soit mesurable J, il faut et il suffit que sa frontière forme un groupe intégrable.

Cette condition peut se transformer si l'on remarque que, par définition, pour un groupe intégrable, A tend vers zéro. De sorte qu'un groupe intégrable est un ensemble d'étendue extérieure nulle ou, si l'on veut, un ensemble mesurable J et d'étendue nulle.

La méthode précédente ne pourrait être appliquée aux ensembles formés des points d'un espace à plusieurs dimensions que si nous avions étudié au préalable les intégrales multiples par défaut et par excès. Une telle étude ne présente pas de difficultés, mais il est plus simple d'employer la méthode de M. Jordan qui est, en somme, la démonstration de l'existence de ces intégrales dans le cas particulier de la fonction ti.

Considérons dans le plan un ensemble de points E borné, c'està-dire tel que l'ensemble des coordonnées des points de E soit borné. Un tel ensemble est tout entier contenu dans un carré convenablement choisi, d'aire R. Divisons le plan en petits carrés dont le maximum de la diagonale est A. Soit A la somme des aires de ceux des carrés qui contiennent des points de E et B la somme des aires de ceux dont tous les points appartiennent à E. A et B sont plus petites c[ue R. 11 faut montrer qu'elles tendent vers des limites

(^) C'est à dessein que le mot étendue est employé ici; le xwQlinesure, que l'on emploie souvent comme synonyme créLendue, sera défini plus loin.

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déterminées quand À tend vers zéro ; pour cela, considérons d'abord une suite de divisions D^, D2, ..., auxquelles correspondent les nombres A^, B^, A2, B2, ..., et telles que les X correspondants tendent vers zéro; et soit une suite de divisions Ay auxquelles correspondent les nombres ay et [ây, et telles que les nombres 'kj correspondants tendent vers zéro.

Comparons A/ et aj. Les carrés de Ay sont de deux espèces : les carrés d qui contiennent à leur intérieur des points des côtés des carrés de D/, les autres sont les carrés dJ. Les points des carrés d forment un ensemble qui est contenu dans l'ensemble des points distant de moins de Xj de l'un au moins des points des côtés des carrés de D/.

Si dans D/ il n'y avait qu'un seul carré de périmètre 4 ^^^ cet ensemble serait décomposable en domaines dont la somme des aires, au sens élémentaire du mot, serait 8c Ày-1- (tï — 4)^} pour c>>2)vy; plus généralement, si dans D/ la somme des périmètres des carrés est /, l'ensemble correspondant sera divisible en domaines dont la somme des aires est au plus 2 Ikj. Ce nombre est aussi le maximum de la contribution dans ay des carrés d.

Quant aux carrés d^, ils donnent évidemment une contribution au plus égale à A^. Donc, on a

et cela suffît (^) pour démontrer que ay et A/ tendent vers une même limite <À9.

Le nombre cAo, dont l'existence vient d'être démontrée, est l'étendue extérieure de E, Ce(E); mais il s'agit ici d'une étendue superficielle. Cette distinction est importante à noter, car tout ensemble de points en ligne droite a une étendue superficielle extérieure nulle et peut avoir une étendue linéaire extérieure c[uelconque.

On démontrerait de même que B/ et ^j tendent vers une même limite ili^. On peut aussi remarquer que, si à la division Ay et à l'ensemble des points du carré d'aire R, qui n'appartiennent pas à E, on associe deux nombres a'- et (3^, analogues à ay et [iy, on a

a;-H?y = R (1) Comparez avec le raisonnement de la page 28.

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4o CHAPITRE III.

et l'existence, qui vient d'être prouvée, de la limite de a!: montre l'existence de la limite de ^y. Cette limite est l'étendue superficielle intérieure de E, ^/(E).

Comme pour les ensembles linéaires, on dira qu'un ensemble est mesurable J et d'étendue ^(E) =:eÉ>(E), si les deux étendaes extérieure et intérieure sont égales.

Si nous remarquons que les carrés qui servent dans A sans servir dans B sont ceux que l'on devrait considérer pour avoir l'étendue extérieure de la frontière de E, on voit que la frontière de E a pour étendue extérieure ^^(E) — e/(E) ; de là se déduit la condition nécessaire et suffisante pour qu'un ensemble soit mesurable J.

J'ai déjà employé le mot domaine, il est utile ici de préciser ce qu'il faut entendre par là.

Une courbe est l'ensemble des formules

où x[t)^ y{t)^ ^(0 sont des fonctions continues définies dans un intervalle fini (^05 ^\)' Les points de la courbe sont ceux que l'on obtient en donnant à t une valeur déterminée quelconque; les points qui ne correspondent qu'à une valeur de t sont dits simples, les autres multiples. Si les deux points correspondant à ^0 et t^ sont identiques, la courbe est dite fermée; si le point t^^ t^ ne correspond à aucune autre valeur de ^, ce point n'est pas considéré comme multiple.

Si l'on remplace t par une fonction toujours croissante ou toujours décroissante de 9, on obtient une nouvelle courbe qu'on ne considère pas comme différente de la première ; mais deux courbes, auxquelles correspondent le même ensemble de points, peuvent être différentes; c'est le cas des deux courbes, définies dans

Dans le cas d'une courbe fermée, on peut faire la transformation

Q ;:=: 2. et considérer les fonctions de obtenues comme pério-

ti ^0

diques et de période i . Alors, pour définir la courbe, il suffira de se les donner dans un intervalle quelconque d'étendue i et non plus nécessairement dans (o, 1); enfin l'on pourra, dans cet inter-

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valle, remplacer 8 par une fonction toujours croissante ou toujours décroissante de t. Toutes les courbes ainsi obtenues sont regardées comme identiques.

M. Jordan a démontré rigoureusement, dans la deuxième édition de son Cours d' Analyse, qu'une courbe fermée sans point multiple sépare le plan en deux régions (^); nous admettrons ce résultat.

Les points de la région intérieure constituent ce cjue l'on appelle le domaine limité par la courbe. Relativement aux points de cette courbe, on peut faire deux conventions, les considérer comme points du domaine ou non, cela a peu d'importance.

La frontière d'un domaine est constituée par la courbe fermée qui sert à le définir.

Lorscjue les deux étendues extérieure et intérieure d'un domaine sont égales, le domaine est dit quarrable et son étendue superficielle est appelée son aire (-).

Pour qu'un domain,e soit quarrable, il faut que sa courbe frontière soit d'étendue extérieure nulle ; une telle courbe est dite une courbe quarrable. Un carré est évidemment quarrable.

De la définition des domaines quarrables, il résulte que rien n'aurait été changé si l'on avait supposé que la division Ay (p. Sg) était une division en domaines quarrables de diamètres inférieurs à \j.

Voici maintenant des exemples des diverses circonstances qu'on vient d'envisager.

Les groupes intégrables nous fournissent un premier exemple d'ensembles mesurables J linéairement. En particulier, l'ensemble Z (p. 26) est d'étendue extérieure nulle. Il en sera de même, a fortiori, Aq tout ensemble formé à l'aide des points de Z; tous ces ensembles sont donc mesurables J et d'étendue nulle. Gomme Z a la puissance du continu, il est possible d'établir une correspondance bi-univoque entre les points de Z et ceux d'un intervalle, de sorte c[u'à tout ensemble de points de cet intervalle correspond un ensemble de points de Z; donc l'ensemble des ensembles mesurables J a une puissance au moins égale à celle de

(^) Voir aussi le Traité d'Analyse de M. de la Vallée-Poussin. (^) D'ailleurs, quelques auteurs emploient toujours, à la place des mots étendue linéaire et étendue superficielle, les mots longueur et aire.

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l'enseinJole des ensembles de points et, comme il ne peut évidemment avoir une puissance supérieure, il a exactement cette puissance (^ ).

Un autre exemple d'ensemble mesurable J linéairement nous est fourni par un nombre fini d'intervalles. Si d'un tel ensemble on retire un groupe intégrable, il reste un ensemble mesurable J, l'étendue n'a pas varié.

On verra facilement que l'ensemble mesurable J le plus général ne diffère d'un ensemble mesurable J, formé par une infinité dénombrable d'intervalles, que par l'addition d'un certain groupe intégrable G^ , et par la soustraction d'un autre groupe intégrable Go (2).

Il est aussi facile de citer des ensembles mesurables J superficiellement. Tout ensemble Z^, se projetant sur l'axe des x suivant l'ensemble Z, de manière qu'à cbaque point de Z ne corresponde cju'un point de Z,, est un ensemble mesurable J de mesure superficielle nulle. Les ensembles de mesure superficielle extérieure nulle jouent, dans la théorie des intégrales doubles, au sens de Riemann, le même rôle que les groupes intégrables sur une droite ; on peut les appeler les groupes intégrables du plan.

Un carré est un ensemble mesurable J superficiellement. A partir de carrés et de groupes intégrables dans le plan, on construit tout ensemble mesurable J du plan comme on l'a fait dans le cas de la droite.

Les groupes intégrables du plan peuvent être assez différents des groupes intégrables de la droite. Tj\ est, comme Z, un ensemble discret; c'est-à-dire qu'on ne peut passer par un chemin continu d'un point à un autre de cet ensemble qu'en passant par des points qui ne sont pas de l'ensemble. Mais un groupe intégrable dans le plan peut être un ensemble continu, c'est-à-dire un ensemble tel

(^) Il est fait usage ici d'un théorème très important sur la comparaison des puissances dont on trouvera dans la iNote I des Leçons sur la théorie des fonctions de iM. Bore! une démonstration due à M. Bernstein. Ce théorème est souvent utile; on peut renoncer ainsi :

Si un ensemble E contient un ensemble Ei et est contenu dans un ensemble E2, E, et E2 ayant même puissance, E, Ej, Ej ont même puissance.

(^) Si par points d'un intervalle on entend les points intérieurs à cet intervalle, la considération de G, est même inutile.

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