I -. e,[Ei(/)] - 6,[E,(/)], î = eelE,(f)] ~ ei[E,{f

Nous allons calculer ces denx limites d'indétermination et pour cela supposons d'abord que / n'est jamais négative, c'est-à-dire que E2 ne contient aucun point. Le calcul des étendues intérieure et extérieure de E (ou E^ ) se fait comme dans le cas où /est continue, c'est-à-dire que ces étendues sont les limites des deux nombres S et S. Les étendues sont donc les intégrales par défaut

et par excès de /.

Pour étudier le cas général posons / r r= f^ — f^^ où f^ est égale à y quand y est positive ou nulle, et est nulle quand / est négative. On a alors, évidemment.

dor

i fxdx-^ i — f^dx, ^ ^ I /i dx-^- j — /2

dx.

Il est, en général, impossible de remplacer des sommes d'intégrales par excès ou par défaut par les intégrales par excès ou par défaut de la somme (p. 34), parce que le maximum d'une somme est, en général, plus petit que la somme des maxima des termes de la somme, tandis que le minimum est, généralement, plus grand que la somme des minima. Mais ici, dans tout intervalle, le maximum (ou le minimum) de /= /< — f\ est bien la somme des maxima (ou des minima) de f^ et de — /s. On peut donc écrire

I== ffdx. ï= Cfdx.

Nous relroaK>ons ainsi les intégrales de M, Darboux et nous avons leur signification géométrique.

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Remarquons que E(/) est mesurable J quand E^ et Ey le sont et que, inversement, si E(/) est mesurable J, E^ et E2 le sont aussi. Ainsi, notre définition géométrique de l'intégrale s'applique lorsque E est mesurable J, mais, dans ce cas, et dans ce cas seulement, 1 et I sont égaux, c'est-à-dire que les intégrales

/ fdx et / fdx sont égales, donc :

Pour qu une fonction bornée f soit intégrable au sens de Riemann, il faut et il suffit que E(/) soit mesurable J superficiellement; dans ce cas, Von a

l=Jfdx.

La définition géométrique de l'intégrale est entièrement équivalente à la définition analytique donnée par Riemann.

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l. — Les f onctions à variation bornée.

i^a notion de mesure linéaire est une généralisation de la notion de longueur d'un segment, une autre généralisation conduit à la définition de la longueur d'un arc de courbe. En étudiant les questions relatives à la rectification des courbes, nous aurons l'occasion d'appliquer quelc{ues-Lins des résultats que nous avons obtenus sur l'intégrale; nous verrons, en même temps, l'importance d'une classe de fonctions définies par M. Jordan : les fonctions à variation bornée.

Soit une fonction /{oc) bornée (') définie dans un intervalle positif fini (a, b). Partageons (a, b) à l'aide des points

la somme

^ = \f\^H ) - /(«o) I ^ !/(«2) — /(«i ) I + . . .-f- I f\a„) - f(an-i)\

est ce que l'on appelle la variation de fÇx') pour le système de points ^0, <2i, ..., Ufi. Si, quel que soit le système des points de division, i^ est bornée, la fonction est dite à variation totale finie ou, simplement, à variation bornée; la variation totale étant, par définition, la plus grande limite de v quand le maximum \ de la longueur des intervalles partiels employés tend vers zéro. Il est à remarquer que si, entre les points de division choisis, on intercale de nouveaux points, on augmente c ou, du moins, on ne le

(1) Il est d'ailleurs évident qu'une fonction non bornée ne peut satisfaire aux définitions qui suivent.

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ditninue pas; en intercalant ainsi indéiininient de nouveaux points, de manière que A tende vers zéro, on a une suite de nombres c tendant vers une limite, finie ou non, qui est au moins égale au nombre v dont on est parti. On peut donc dire que la variation totale de f est la limite supérieure de l'ensemble des nombres ^ ( ^ ). On voit aussi très simplement que, dans les définitions précédentes, on peut remplacer v par

O ■=■ Wi -H 0)2 -f- . . . -f- W/i,

OÙ Lui est l'oscillation de /* dans (a/4 , a/), les extrémités comprises.

A cause de cette propriété, quelques auteurs appellent les fonctions qui nous occupent fonctions à oscillation totale finie; l'oscillation totale étant la limite supérieure des o.

Une fonction à variation bornée est intégrable; elle est, en effet, à oscillation moyenne nulle, puisque cette oscillation est la limite, quand A tend vers zéro, de

S ( ai — at-i ) oj^- 1 S \(<ùi = X S w/ = X o 1 X O ,

O étant l'oscillation totale de f{oc).

L'intégrabili té résulte aussi de cette proposition évidente : les points en lesquels une fonction à variation bornée a une oscillation supérieure à a (a ;> o) sont en nombre fini et, par suite, forment bien un groupe intégrable.

Choisissons des nombres a,, ao, ... qui tendent vers zéro en décroissant. Les points en lesquels l'oscillation est supérieure à a,^ sans être supérieure à a/^, sont en nombre fini, de sorte G^vCune fonction à variation bornée a au plus une infinité clénombrable de points de discontinuité.

La réciproque n'est pas vraie; il existe même des fonctions continues à variation non bornée.

L'oscillation d'une somme f\-\-f2 étant, dans un intervalle quelconque, au plus égale à la somme des oscillations de /", et /'o dans cet intervalle, l'oscillation totale de f\-^~ f^ est, au plus, la somme des oscillations totales de f^ et f^- Donc la somme de deux fonctions ci variation bornée est une fonction à variation bornée.

(^) Et non plus la limite supérieure de la limite des nombres ç.

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Des raisonnements analogues permettraient de démontrer que les opéi-ations effectuées à la page 3o, sur des fonctions intégrables, donnent des fonctions à variation bornée quand elles sont elf ectuées sur des fonctions à variation bornée.

Mais il n'est pas vrai qu'une série uniformément convergente de fonctions à variation bornée donne nécessairement une fonction à variation bornée. La propriété qui remplace celle-là est la suivante :

La limite vers laquelle tend (^a ni for même nt ou non) une suite de fonctions à variations totales au plus égales à M est une fonction dont la variation totale est au plus égale à M.

E.YV effet, prenons une division de l'intervalle, la variation correspondante des termes de la suite tend vers la variation relative à la limite et à la division employée; donc, cette variation est au plus égale à M et il en est de même de la variation totale de la limite.

Ce qui précède nous permettrait de citer des fonctions à variation totale bornée. Une fonction croissante est, en effet, une fonction à variation totale finie et égale 'df{b) — f{(^0', de même, une fonction décroissante est à variation bornée. Par suite, la différence de deux fonctions croissantes est une fonction à variation bornée. Nous allons démontrer maintenant la réciproque : toute fonction à variation bornée est la différence de deux fonctions jamais décroissantes .

Reprenons la variation

et soit p la somme de celles des quantités f{ai) — f{ai^) qui sont positives et — n la somme de celles qui sont négatives. On a évidemment

ç =z p-^ ,1^ f{b)~ /( a)=^ p — ti, d'où

v^. 'ip-^ f{a)-~f{b), \ = ■2n-^~f{b)~f{a),

p est la variation positive pour la division choisie, n la variation négative. Les deux dernières égalités montrent que les limites supérieures V, P, N, de ç^ /?, /i, que l'on appelle variation totale^

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variation totale positi^^e, variation totale négati\'e, sont liées par les mêmes relations que ^, /?, n.

Soient V(^), P(^), N(.2^) les trois variations totales dans (a, x)^ (,z' >> a), on a

Mais P(^) et N(.2^) ne peuvent pas décroître quand x croît, donc le théorème est démontré.

On a, de plus,

yix) = P(>')-+-N(:r).

Une fonction à variation bornée peut être mise d'une infinité de manières sous la forme d'une différence de deux fonctions croissantes. Si l'on ajoute à P(^) et N(.z') une même fonction \{^x) non décroissante, on obtient deux fonctions non décroissantes Pi (^) et Ni (^) telles que l'on ait

f{x)r=.j\a)-^V,{x) -Ni(^).

On voit facilement que les fonctions non décroissantes V^ et N < les pkis générales satisfaisant à cette égalité sont celles qui viennent d'être construites.

Pour calculer la variation totale d'une fonction discontinue comme limite d'une suite de variations r, il faut choisir d'une manière très particulière les points de division; par exemple, pour une fonction cpi est partout nulle, sauf à l'origine, il faut que l'origine soit un point de division. Pour les fonctions continues on a cette propriété : la variation cV une fonction continue, relati\'e à une division quelconcjue, tend uniformément vers la variation totale de cette fonction ciuand le maximum \ de la longueur des intervalles employés tend vers zéro.

Soient, en effet, deux suites de divisions D^, Do, . . .; A^, Ao, . . . pour lesquelles les X tendent vers zéro, et soit \j la valeur de A pour Ay. Le maximum de Foscillation de f\x) dans un intervalle d'étendue \j est un nombre sy c|ui tend vers zéro avec \j. Comparons les variations Vi^ v': relatives à D/ et Ay.

Les intervalles de Aj étant toujours partagés en deux classes, soient d' ceux qui ne contiennent aucun des points de division de D/. Considérons tous ceux des d^ cjui sont entre xi et ^/+i, ils

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LES FO^ÎCTIONS A VARIATION BORTsÉE. 53

couvrent un intervalle dont l'origine est entre xt et xt + \j et dont r extrémité est entre Xij^>, — \j et ^/^,. Les valeurs de f{x) pour cette origine et cette extrémité diffèrent de Zj au plus des nombres f{xi)^ /(x/^, ). La contribution dans (^y des intervalles considérés est donc au moins

|/(^,-+l) —f{Xi)\—-2Zj,

et la contribution de tous les d' dans v'j est au moins égale à

H\J\^M)~f{^i)\ — '^'-j] = ^i — '^rizj,

si les points de division de D^- sont en nombre n. On a, à plus forte raison,

et l'une quelconque des limites des v': est au moins égale à l'une quelconque des limites des ^i. Mais on peut permuter (/ et <^i, donc les v': et les ^t tendent vers une même limite bien déterminée.

Voici une conséquence immédiate de cette propriété : les trois xKtriations totales cV une fonction continue ci variation bornée sont des fonctions continues. Il suffit de le démontrer pour V(^) puisc|ue P(^) et N(^) s'expriment immédiatement à l'aide de f{x) et de V(^).

Pour calculer V(xo), j'emploie une division K^, x,, . . ., x«, x^\ la variation v correspondant à cette division est égale à celle correspondant à a, ^^ , ..., Xn plus |/(^o) — /(-^/Ol? ^' ^^^ donc au plus égale à

et puisque /(^o) — 'f{^n) tend vers zéro, quand on fait tendre vers zéro le maximum de ^/^, — ■ xi^ V(^o) est au plus égale à V{xq — o). Mais V(^) est une fonction croissante,

la fonction est continue à gauche.

Étudions la variation totale de/\ (.sr) ==/(-— ^) entre — b et — x^ (x <C b); cette variation totale est évidemment égale à

Considérée comme fonction de — x, elle est continue à gauche

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de — Xq ; donc, en tant que fonction de x, elle est continue à droite de ^0. La fonction V(^) est donc continue.

La seconde partie de cette démonstration suppose essentiellement que la fonction est à variation bornée. Si \ (x) devenaÎL brusquement infinie pour x'^Xq, et nous verrons que cela est possible, le symbole V(^) — \(x) n'aurait aucun sens pour.r^ X(^,.

Puisque P(^) et IN(.r) sont des fonctions continues, toute fonction continue à variation bornée est la différence de deux fonctions continues non décroissantes.

La variation (', pour la division D, a été définie seulement dans le cas où D ne contient qu'un nombre fini d'intervalles; pour la suite, il est utile d'étudier un cas où D comprend une infinité d'intervalles. C'est le cas où les points de division de D forment un ensemble réductible E; alors nous appellerons variation a^ pour cette division, la somme de la série S|y(^/) — f(^Xi__^)\^ étendue à tous les intervalles (^'/i, xt) contigus (') à E.

Nous allons comparer l'ensemble des variations u C|ui viennent d'être définies à l'ensemble des variations v antérieurement définies.

L'ensemble des u contient l'ensemble des r, donc la limite supérieure de l'ensemble des u est au moins égale à la limite supérieure de l'ensemble des v. Il suffira de démontrer que u est toujours inférieure à la variation totale pour qu'il soit prouvé que la limite supérieure des u est la variation totale \ .

Soit (a, p) un intervalle contigu à E^ Soient a^ etS, deux points situés dans (a, [5); la contribution de (a,, [B,) dans U est au plus égale à celle qu'il fournit dans V, puisque E ne contient qu'un nombre fini de points dans (a^, [3,). Faisons tendre les points a^ et j34 vers a et p, la proposition reste vraie et l'on trouve cjue (a, P) fournit dans V une contribution au moins égale à celle cju'il donne dans u.

On prouvera de même que la proposition est vraie dans un intervalle contigu à E'^ ou Yl^' ^ ... ; mais l'un des dérivés de E étant nul dans [a^b)^ la proposition est vraie pour (a, b).

Ainsi les u peuvent remplacer les i'.

(') Un intervalle (^,i, ce-) est dit contigu à un ensemble E s'il ne contient pas de points de E et si ses extrémités font partie de E ou de E'. La dénomination d'intervalle continu est due à M. R. Baire.

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LES FONCTIONS A VARIATION BORNE li!. 3

Lorsqu'il s'agit d'une fonction continue, le nombre u^ comine le nombre v^ tend uniformément vers la variation totale, quand le maximum A de la longueur des intervalles contigus à E tend vers zéro.

La série a étant convergente, la série ^\f{xi) — ■ f{^Xi^')\ étendue à tous les intervalles contigus à E, est absolument convergente. On j3eut donc parler de la somme de ses termes positifs et de la somme de ses termes négatifs, ces deux sommes peuvent servir à définir P et N.

11 est important de i^émarc[uer qu'on ne peut pas remplacer l'ensemble réductible E par un ensemble non dense quelconque sans que certaines des propriétés précédentes cessent d'être vraies. Soit, en effet, la fonction ç(.r) définie par

ai ^2 a^

■^-^^'=T^^ + ^ + ---cjuand

où les a sont égaux à o ou à 2. x appartient alors à l'ensemble Z. On vérifie immédiatement que, pour les deux extrémités d'un intervalle contigu à Z, ^ prend la même valeur; nous assujettissons \ à rester constante dans un tel intervalle. ?(^) est maintenant partout définie ; c'est une fonction croissante et, cependant, on trouvera zéro pour w, si, parmi les points de division employés, se trouvent les points de Z.

Je terminerai en donnant quelques exemples des diverses particularités cjui ont été signalées.

La fonction x sin - est éeale à ( — ^ i )*^^^ - — pour ./• 3= ?

donc, si l'on emploie ces valeurs de x pour calculer a dans l'intervalle (o, - )î on trouve

Kt: '^IvTu— - 3Kr.

et la fonction est à variation non bornée bien qu'elle soit continue. Pour une fonction continue nulle pour x négatif, égale à ^sin-

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pour X positif, la variation totale de — i k x saute brusquement de o à co quand x dépasse la valeur o.

La fonction x sin - a une infinité de niaxima et de miniraa, mais cette condition ne suffit pas pour qu'une fonction soit à variation non bornée. La fonction .r-sin— ^ admet un mais^imum ou un

minimum, et un seul, dans chacjue intervalle

si l'on remarque que la valeur absolue de ce maximum ou de ce minimum est au plus -^ on voit que la fonction est à variation

totale finie au plus égale à 2^ ■ --

Les deux fonctions précédentes n'ont une infinité de maxima et de minima que dans le voisinage de l'origine; si l'on veut qu'il en soit ainsi autour de tout point, il faut appliquer le principe de condensation des singularités. Il est nécessaire d'employer ce principe d'une façon assez particulière parce que la limite vers laquelle tendent uniformément des fonctions à variation bornée peut être à variation non bornée et parce que les maxima et minima ne se conservent pas dans l'addition.

Considérons les deux fonctions, définies dans ( — 1, -f- i),

a{x) = X sin— 7 h{x) = x- sin -^ ;

l'une et l'autre s'annulent pour — 1 et + 1 , la première est à variation totale V infinie, la seconde à variation totale V bornée. fi (x) désignera l'une ou l'autre de ces deux fonctions.

f\{^) a une infinité de maxima et de minima qui se présentent quand x appartient à un certain ensemble E,.

f'2{^) est une fonction continue qui s'annule aux points de E^ et qui, dans l'intervalle (a, ^3) de deux maxima et minima consécutifs, est égale à

f^i''^) a même variation totale qLie /i(^) parce que, dans (a, [^),

3 rj,

la variation totale de f-i{''^) est V.

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La fonction f\-\-—fi a, clans chaque intervalle (a, [S), une

infinité de maxima et de minima; en effet, si f^-=a^ elle est à variation non bornée dans (a, j3) et si /, == b^ /^ a une dérivée bornée dans (a, P), tandis que la dérivée de /o prend toutes les valeurs positives et négatives. Soit E2 l'ensemble des valeurs de .x

pour lesquelles /^ -\ f^ est maximum ou minimum.

En opérant, à partir de £4 -}- E2, comme à partir de E,, on formera /3, d'où/, -j- ~f. + ^/î et E3 (^).

En continuant ainsi, on défmit les différents termes de la série

f{x) = Mx) + ~M.cc) -f- ±/3(;z0 -f-. . .,

qui est uniformément convergente, car \fi\ est inférieure à i .

La fonction continue f{x) a des maxima et des minima dans tout intervalle. Dans un intervalle quelconque (/, m)^ en effet, pourvu que n soit assez grand, il y a plus de deux points de E^^. Supposons qu'il y ait les trois points consécutifs r, 5, t de E^, /étant égale k fn pour ces trois points, / aura un maximum ou un minimum, au moins, entre r et ^, suivant que s correspond à un maximum ou à un minimum.

De là résulte aussi que la variation totale de / est au moins égale

à celle de s,t = f\-\ r /o 4- . . . H fn, donc /'est à variation non

bornée dans tout intervalle si /*, = a. Au contraire, si /, = ^, la variation totale de Sn étant finie et inférieure àV( i -h — +...H — i)'

f est à variation bornée dans tout intervalle (voi/' p. 5i).

Occupons-nous maintenant des fonctions discontinues à variation bornée.

Voici une propriété des points singuliers, qu'il était facile d'ailleurs de mettre directement en évidence, et qui résulte immédiatement de la construction de la fonction à variation bornée la

(^) Pour être tout à fait rigoureux, il faudrait démontrer que la somme des longueurs des intervalles contigus à EjH-E^, intervalles qui jouent le rôle des (a, i^), est égale à 2 comme la somme des différences ^ — a. Cela est presque évident et résulte, si Ton veut, de ce que E^-\~ E^ est d'étendue extérieure nulle.

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plus générale à partir de deux fonctions croissantes : tous les points de discontinuité d^ une fonction à variation bornée sont de première espèce.

Soit Xq un point de discontinuité; la quantité

est le saut de la fonction à gauche de X(^ ;

^d ( ^'<^ ,) = /( -^0 -+- o ) — /( .r ) est le saut à droite de x^^ enfin

^ ( ^'0 ; = fi .^0 -f- o ) - /( ^0 — o )

est le saut au point ^o-

Ceci posé, considérons hi fonction des sauts de f{x)

OÙ chacune des séries contient tous les xi C|ui satisfont à l'inégabté placée au-dessous du signe S correspondant. On verra aisénient que ces deux séi^ies sont absolument convergentes et que, si l'on pose

à(x) est une fonction continue à variation bornée; la variation totale de /étant la somme de celles de o et de à.

La fonction discontinue la plus générale qui soit à variatioii bornée s'obtient donc, soit en faisant la différence de deux fonctions discontinues croissantes, soit en ajoutant à une fonction continue à variation bornée la fonction des sauts '^(x). Cette seconde méthode montre qu'on peut choisir à volonté l'ensemble dénombrable des points de discontinuité, et même les sauts de droite et de gauche s^ et 5^., pourvu que les séries I.S(i(x)^ IiSo-{x) soient absolument convergentes.

Par exemple, l'ensemble des points de discontinuité pourra être

l'ensemble des nombres rationnels, les sauts étant, quand x s'écrit j sous forme irréductible,

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