II. -- Les courbes rectifiables

Soit une courbe G définie dans {a^ b)

Considérons un polygone P inscrit dans cette cour]3e et dont les sommets, dans Tordre où ils se rencontrent sur P, correspondent

à des valeurs croissantes de ^ (').«, a^, ao, a^, b. On peut

considérer P comme une courbe définie dans (//, b) à l'aide de fonctions i(/), y,(/), 'C(l) égales à x[t), y{t), z{t) pour les valeurs a, t^^ t-,, . . ., tp^ b de /.

Ceci posé, soient deux suites de polygones inscrits dans C, P/el Tc/, et tels que le maximum des différences telles que th— ^a-j tende

vers zéro avec - d'une part, avec - d'autre part. La longueur d'un

polygone étant la somme des longueurs de ses côtés, nous allons comparer la longueur si de P/ à celle o-y de iry.

Supposons que deux sommets consécutifs m,, m^ de P/ correspondent à ^==64 et ^ = 82. Les points de tu/, [j.,, [x^-, q'^^ii correspondent à ces valeurs de t tendent, quand y augmente indéfiniment, vers m,, ^2 ; la plus petite des limites, pour y infini, de la lonueur de l'arc [x^ |j,2 est donc au moins égale à la longueur du côté nu f^^i' Mais ceci est vrai pour chaque côté, et la plus petite limite des o-y est au moins égale à si. Par suite les longueurs si et o-y tendent vers la même limite quand i et / augmentent indéfi- nimeiit, et elles sont toujours inférieures à leur limite.

Lorsque le maximum de la longueur des côtés d^ un polygone inscrit dans une courbe tend vers zéro, la longueur de ce polygone tend vers la limite supérieure des longueurs des polygones inscrits dans la courbe. C^est cette limite que l^on appelle la longueur de la courbe.

Une courbe est dite rectifiable si elle est de longueur finie. L'étude des courbes rectifiables a été entreprise par LudAvig

(^) Quand nous parlerons d'un polygone inscrit dans une courbe, nous supposerons toujours cette dernière condition remplie.

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6o CIIAPITllE IV.

Scheeffer ('), puis continuée pai^ M. Jordan (-) à qui Ton doit le résultat suivant :

Pour q IL' une courbe soit rectifiahle^ il faut et il suffit que les fonctions x{t)^y[t)^ z(t) qui Ici définissent soient à variation bornée.

En effet, un côté quelconque d'un polygone inscrit dans la courbe est de longueur au moins égale à chacune des projections ô^, 5^, 0^ de ce côté sur les axes, et de longueur au plus égale à S^^+ôj+o^;. Mais la somme des projections 5^ est la variation r^ de la fonction xf) pour les valeurs de t correspondant aux sommets (^). La longueur du polygone est donc supérieure à Vxi ^'r 6t s^z 6t inférieure ^ '^x-^- ^^r+ ^'z\ la propriété est démontrée.

De plus la longueur de Varc de tç^ à t (f^to) dUine courbe rectifiable est une fonction continue non décroissante de t, puisque l'accroissement de cet arc, dans un intervalle quelconque, est compris entre les accroissements de \^x et c^^-j- ^jH- ^z-

Pour calculer la longueur d'une courbe, on pourra se servir de polygones ayant une infinité de sommets correspondant à des valeurs de t formant un ensemble réductible; car le raisonnement du début s'applique à ces polygones.

Une courbe rectifiable plane est quarrable, car si on la divise

en 71 morceaux de longueur égale à -, chacun d'eux peut être

enfermé dans une circonférence de rayon --—? et la somme -^

des aires de ces cercles tend vers zéro avec -•

Supposons que x{t)^ y((t)^ z(t) aient des dérivées intégrables;

alors \xft)\^ \y'(t)\^ l^'(^)l sont aussi intégrables, car on peut

écrire

(^) Allgemelne Untersuchungen iïber Rectification der Curveii {Acta matlieinatica, t. V ).

('-) Cours cV Analyse, t. I, 2^ édition. Scheeder et M. Jordan ont aussi examiné le cas où x{t), y {t), z{t) ne sont pas continues.

(■'^) La (^^urbe x = x{t). y — 0, ;:; = o, qui sert dans ce raisonnement, est dite la projection sur ox delà courbe donnée; la projection sur xoy est x =■. x{t).

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LES I ONCTIONS A vauiation «ohnéi:. 6i

eL si l'on élève au carré ou si l'on prend la racine carrée arithmélique d'une fonction intégrable on ne cesse pas d'avoir des fonctions inlégrables.

Si /, A?z, /?, L, M, N sont les limites inférieures et supérieures de \x'\^ \.y'\-) 1^1 dans un intervalle (^, , t.y)^ les sommes telles que S (^2 — ^i)(^ — 0' étendues à une division quelconque de (<2, b) en intervalles partiels, tendent vers zéro quand les intervalles employés tendent vers zéro.

La corde [t\^ t^) sl une longueur 5 qui vérifie les inégalités

Donc un polygone inscrit a une longueur comprise entre les sommes Sa, SA correspondantes. Si l'on fait tendre vers zéro, les longueurs des côtés du polygone SA et Sa tendent vers une même limite, car l'on a

SA — XalS(^,— ^i)(L — /)-f-S(^2— ^i)(M — ni)

La limite de SA et Sa est la longueur de la courbe. Mais,

puisque l'intégrale / \lx'-\-y--^d'di^ qui existe d'après nos

hj^pothèses, est toujours comprise entre Sa et SA, nous pouvons conclure que, si x' ^ y' j z' existent et sont intégrables, la longueur de Pare (a, b) est

s/x''^-^ y''- -h z'- dt.

Le raisonnement précédent montre aussi que si f\x) existe sans être intégrable, et nous verrons que cela est possible, la longueur de la courbe y ^=z f[x) est comprise entre les intégrales par défaut

et par excès de \/ 1 -]- f'-^.

Nous obtiendrons la généralisation de cette proposition, ainsi

qu'un résultat relatif au cas oùy/V^ + y''^ -H z'- est une dérivée, à l'aide des considérations qui suivent.

On suppose que x' ^ y' ^ z' existent; alors, du point x\^^ )'o, Sq, /q? quel qu'il soit, comme origine, on peut tracer une corde dont la longueur sj^x'l -\- S ; j; -h ùz'i diffère de s S/^ au plus de la quantité

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