L INTEGRALE DEFINIE A LAIDE DES FONCTIONS PRIMITIVES

autre sans prendre toutes les valeurs intermédiaires et il n'en est pas de même de /] -\-f-2 7 puisque

f 1-^/2=^0 pour ^^o et /i(o) -4-/2(0) =:: 2.

La somme de deux fonctions dérivées étant une fonction dérivée, il j a lieu, d'après la remarque précédente, d'énoncer comme une propriété nouvelle ce fait que la somme de deux fonctions dérivées ne peut passer d'une valeur à une autre sans passer par toutes les valeurs intermédiaires. On peut dire aussi que la différence de deux fonctions dérivées ne peut changer de signe sans s'annuler^ ce qui, si l'on songe à la représentation géométrique, peut s'énoncer ainsi : Deux fonctions dérivées ne peu^^ent se traverser sans se rencontrer.

Voici un exemple de l'application de cette propriété. Soit A(cr) une fonction égale à la fonction ç(^), page 90, quand o(^x) n'est pas égale à x^ et égale à o quand '^{x) = x. 'h (.r), comme ^(■^), ne peut passer d'une valeur à une autre sans passer par toutes les valeurs intermédiaires, le premier théorème ne permet donc pas d'affirmer que '^{x) n'est pas une fonction dérivée ; mais, puisc[ue '^{x) traverse la fonction continue x dans tout intervalle et ne la rencontre cependant c[ue pour ^ r= o, la deuxième propriété montre que ^(.^) n'est pas une dérivée.

Avant de rechercher si la fonction o(^x) est une dérivée, je vais montrer comment un cas particulier important du théorème de Scheeffer se déduit immédiatement du théorème de M. Darboux.

Supposons que la dérivée d\ine fonction /"(x) soit toujours bien déterminée en grandeur et signe (on ne suppose pas qu'elle soit finie), alors si elle n'est pas toujours égale à un nombre donné A, l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles f{x) est différent de A a la puissance du continu. En effet, ou bieny'^(^*) est constante et la propriété est démontrée, ou bien /^(^) prend deux valeurs B et G, et alors elle prend aussi toutes les valeurs comprises entre B et C cjui sont toutes, sauf une peut-être, différentes de A. L'ensemble de ces valeurs de f'{x) différentes de A ayant la puissance du continu, il en est de même de l'ensemble des valeurs de x correspondantes.

Ceci posé, si f{x) a toujours une dérivée, et si cette dérivée est nulle, sauf peut-être pour un ensemble dénombrable de valeurs

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de x^ on peut affirmer qu'elle est toujours nulle. C'est le théorème (le Scheeffer, dans un cas particulier.

Revenons à la fonction o{x). Est-elle une dérivée? Les deux théorèmes précédents ne semblent pas fournir facilement une réponse à cette cjuestion. Une première méthode consiste dans l'application d'un théorème démontré précédemment; une fonction dérivée bornée a le même maximum c[ue l'on néglige ou non les ensembles de mesure nulle (^). Il n'est pas difficile de démontrer que ci?(j?;) n'est différente de zéro que pour un ensemble de valeurs de X de mesure nulle [voir p. 1,09), 'f (•^) n'est donc pas une l'onction dérivée.

Ce résultat peut être obtenu d'une tout autre manière. Une dérivée ne peut pas être discontinue en tout point, et '-^{x) est discontinue en tout point.

Cette propriété des fonctions dérivées résulte d'un théorème dû à M. R. Raire. f'{x) est la limite, pour A = o, de la fonction /'[/(^), x^ X -\- /z] continue en x quand h est constant; c'est donc vme fonction de première ctasse, c'est-à-dire une fonction limite de fonctions continues. Or M. Raire a démontré que si l'on considère une fonction de classe i sur un ensemble parfait quelconque, il existe des points où elle est continue sur cet ensemble parfait; en d'autres termes, elle est ponctuellement discontinue sur tout ensemble parfait (-).

ni. — L' intégrale déduite des fonctions primitives.

Dans beaucoup de cas nous savons, sans le secours de l'intégration, reconnaître si une fonction donnée est une dérivée et nous pouvons aussi espérer trouver sans intégration la fonction primitive d'une dérivée donnée. Précédemment nous résolvions ces questions en nous servant de l'intégrale définie; on peut se demander si, inversement, nous ne pourrions pas définir l'intégrale à l'aide des fonctions primitives. C'est la méthode de Duhamel et

(^) Je rappelle que ce théorème a été obtenu sans l'emploi de l'intégration. (-) Cette condition est nécessaire et suffisante pour qu'une fonction soit de classe I. Pour la démonstration voir la Thèse de M. Baire, citée page 79.

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l'intégrale défIxME a laide des fonctions primitives. 9j

Serret (^). Pour ces auteurs une fonction f{x) a une intégrale dans {a^ b) lorsqu'elle admet dans (a^ b) une fonction primitive §{x). Cette intégrale if^ est, par définition ,

V^J{x)clx^§{b) — §{a).

Cette définition n'est pas équivalente à la définition de Riemann. D'iine part, il existe, nous le savons, des fonctions intégrables, au sens de Riemann, qui ne sont pas des fonctions dérivées; d'autre part, il existe, comme nous allons le voir, des fonctions dérivées non intégrables au sens de Riemann.

Le premier exemple de telles fonctions est dû à M. Volterra (^Giornale de Battaglini, 1881); voici comment on l'obtient :

Soit E un ensemble parfait non dense qui ne soit pas un groupe intégrable, page 43. Soit {a^ b) un intervalle contigu à E, considérons la fonction

o(x, a) = {x — a j^sni :

sa dérivée s'annule une infinité de fois entre a et ^, soit a -\- c la

, Il 1 .• , a -^ h ■ ,;

plus grande valeur de x non superiCLire a — ; qui annule cp .

Ceci posé, noLis définissons une fonction F(^) par les conditions suivantes : elle est nulle aux points de E; dans tout intervalle (a, b) contigu à E, elle est égale à cp (^, a) de a à a -t- c ; de a -f- c à b — d'à. fonction F est constante et égale à cp (a + c, a)\ de b — c à 6, F est égale à — -^(.r, 6).

Cette fonction F(^) est évidemment continue. Elle a une dérivée ; ceci est évident pour les points qui n^appartiennent pas àE; soitXo un point de E, le rapport 7^[F(^), Xq^ x^-^h] est nul si x^) -i- h est point de E. Si Xq -h h n'est pas point de E, il appartient à un intervalle contigu à E, soit a celle des extrémités de cet intervalle qui est dans (x^^ Xq^ h); on a évidemment

\r[F{x), Xo, Xo-^ h]\ =

¥(xo^h)

(xo-^h — a.y ^1^

\h\ donc Fi {x) a une dérivée ntille en tous les points de E.

(') En réalité Duhamel et Serret ne considéraient guère que des fonctions continues. Pour ces fonctions, d'après ce qui précède, leur définition est équivalente à celle de Caucliy.

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La dérivée F^ de F est bornée, car la dérivée de ^-sin-, crui est nulle pour :r r^m o, et qui, pour x différent de zéro, est égale à

'IX sin cos — ?

est bornée. Cependant cette dérivée F^ n'est pas intégrable, au sens de Riemann, car en tous les points de E le maximum de F^ est H- i et son minimum est — ^i, puisqu'il en est ainsi pour x -= a et o'{x^ a); or E par hypothèse n'est pas un groupe intégrable.

Par une application convenable du principe de la condensation des singularités, on obtient une fonction dérivée qui n'est intégrable dans aucun intervalle si petit qu'il soit (').

La définition de Duhamel s'applique donc à des fonctions bornées auxquelles ne s'applique pas la définition de Riemann ; de plus, la définition de Duhamel s'applique à des fonctions non bornées, car il existe des dérivées non bornées, mais toujours finies, la dérivée de ^^sin — . par exemple.

A la définition de Duhamel et Serret on peut appliquer la généralisation employée par Cauchy et Dirichlet. Je ne m'occuperai pas de cette généralisation ni, pour le moment du moins, de la suivante, qui contient comme cas particulier la définition de Riemann et celle de Duhamel pour les fonctions bornées : Une fonction bornée f{oc) est dite sommable, s'ii existe une fonction à nombres dérivés bornés F(^) telle que ¥{x) admette f{x) pour dérivée^ sauf pour un ensemble de valeurs de x de mesure nulle. L intégrale dans (a, b) est alors, par définition, F(è)-F(a)(^).

Adoptons sans généralisation la définition de Duhamel et Serret. L'intégrale de Duhamel (intégrale D) jouit de certaines des propriétés de l'intégrale de Riemann.

(^) M. Kôpke a construit des fonctions dérivables à dérivées bornées s'annulant dans tout intervalle. Ces dérivées ne sont évidemment pas intégrables.

(2) Comparez avec la page 83, où, dès que / est donnée, on sait en quels points on n'a pas nécessairement F'(â7) ■=f{x)', ici, au contraire, on ne le sait pas.

Les différentes fonctions F(^) correspondant à une même fonction f{x) ne diffèrent que par une constante additive.

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L INTEGRALE DEFINIE A L AIDE DES FONCTIONS PRIMITIVIilS. 9^

On a

La somme de deux fonctions intégrables D est intégrable D et a pour intégrale la somme des intégrales; mais le produit de deux fonctions intégrables D n'est pas nécessairement intégrable D (< ).

Une série uniformément convergente de fonctions intégrables D est une fonction intégrable D et l'intégration peut être effectuée terme à terme; c'est la proposition de la page 85. De celle de la page 86 on déduit que si des fonctions intégrables D, y^(^), tendent en croissant vers une fonction intégrable D, f{oc)^ l'intégrale de fji tend vers celle de/*, en croissant s'il s'agit d'un intervalle d'intégration positif.

La proposition analogue pour les intégrales de Riemann est vraie. Nous calquerons la démonstration sur celle de la page 86.

Conservons les notations de cette page 86. y, u^^ «2? ••• sont maintenant des fonctions intégrables positives. ^, U^, U2, . . . sont celles de leurs intégrales indéfinies qui s'annulent pour l'origine a de l'intervalle considéré.

On a évidemment/*^ 5^, d'où cf ^S;^, et puisque les S;^ croissent la série des U est convergente. L'accroissement de §^ dans un intervalle positif quelconque, est au moins égal à celui de S;^, donc à celui de F et F est à nombres dérivés bornés. Pour montrer que F = of , il suffit de montrer que ces deux fonctions ont même dérivée partout, sauf pour un ensemble de valeurs de x de mesure nulle. En tout point où y, u^^ u^^ . . . sont toutes continues, ^, U,, Uo, ... ont des dérivées et le raisonnement de la page 8^ montre qu'en ces points F a même dérivée que S . Mais les points où f n'est pas continue forment un ensemble de mesure nulle E(/), les points de discontinuité de ut forment l'ensemble de mesure nulle E(i//); la réunion de tous ces ensembles donne un ensemble de mesure nulle E. Et l'on a F^= «S'^, sauf peut-être aux points de E.

De là se déduit le théorème :

Lorsque des fonctions intégrables fn tendent en croissant

(1) Par exemple le produit x (^-sin — \ n'est pas intégrable D.

gG CHAPITRE VI.

vers une fonction intégrable J\ V intégrale de fn tend vers celle

de /(>)'.

INous devons nous demander maintenant quels services peuvent rendre les intégrales au sens de Duhamel et Serret.

Ces intégrales ne peuvent rendre aucun service dans la recherche des fonctions primitives, puisqu'elles supposent cette recherche effectuée, mais les intégrales au sens de Riemann servent surtout à calculer les limites de sommes.

Le raisonnement de la page 78 montre qu'une intégrale D est une limite de somme; on peut donc espérer se servir de ces intégrales pour le calcul des limites de somme. Nous avons vu, page 63, que cela était effectivement possible, puisqu'il a été démontré que la longueur d'une courbe était l'intégrale D de \^x''^ -^-y'- -r- z'^^ toutes les fois que cette intégrale existe (^).

De nouvelles études sur l'intégrale sont cependant nécessaires, car nous n'avons pas encore résolu le problème de la recherche des fonctions primitives ; d'ailleurs, pour le calcul de la longueur d'une courbe ayant des tangentes, l'une et l'autre intégration sont insuffisantes ('^ ).

(^) On peut remarquer que cette propriété reste vraie s'il s'agit de fonctions intégrables d'après la généralisation indiquée page 94.

(-) Je ne puis que signaler une autre application des intégrales D : lorsqu'une fonction dérivée bornée admet un développement trigonométrique, les coefficients de ce développement sont donnés par les formules connues d'Euler et Fourier, les intégrales qui figurent dans ces formules étant des intégrales D.

J'ajoute qu'il existe elïectivement des fonctions dérivées bornées, non intégrables au sens de Riemann, qui admettent un développement trigonométrique. Pour la démonstration de ces propriétés, on pourra se reporter à un Mémoire Sur les séries trigonométriques que j'ai publié dans les Annales de l'Ecole Normale ( novembre igoS ).

(3) Il est facile de voir que i / n- (^^sin -- 1 n'est pas une dérivée exacte. On

pourra pour le voir, soit développer ce radical en série de Laurent, soit utiliser les résultats qui seront obtenus plus loin. Partant de là, on démontrera sans peine que la quantité \/i -f- F' (^)'^, où F est la fonction à dérivée non intégrable de M. Volterra, n'est intégrable ni au sens de Riemann, ni au sens de Duhamel.

La courbe y = ¥ {x) ne peut donc être rectifiée ni par l'une, ni par l'autre des deux méthodes employées.

Pour l'application indiquée dans la Note précédente, les deux intégrations sont aussi insuffisantes, comme on le voit en considérant la somme d'une dérivée non intégrable représentable trigonométriquement, et d'une fonction non dérivée représentable trigonométriquement.

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l'intégrale définie a l'aide des fonctions primitives. 97

J'ajoute encore que si les deux intégrations que nous avons étudiées paraissent en général suffisantes, cela tient uniquement à ce que, presque toujours, on se restreint de parti pris à la considération des fonctions continues et même souvent à la considération des fonctions analytiques.

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