I. — Recherche directe des fonctions primitives

Nous avons obtenu des théorèmes permettant théoriquement, dans des cas étendus, de reconnaître si une fonction donnée est une fonction dérivée et, s'il en est ainsi, de trouver sa fonction primitive. En réalité, un seul de ces théorèmes est employé couramment : toute fonction continue est une fonction dérivée. Quant au calcul effectif des fonctions primitives il ne se fait jamais au moyen de l'intégrale définie (^), mais à l'aide des procédés connus sous le nom d'intégration par partie et d'intégration par substitution. Ces deux procédés s'appliquent, qu'il s'agisse de fonctions continues ou non.

On peut aussi utiliser le théorème suivant : Une série uniformément convergente de fonctions dérivées représente une fonction dérivée.

Sa fonction primitive s^ obtient en faisctnt lasomme des fonctions primitives des termes de la série donnée^ les constantes étant choisies de manière que la série obtenue soit convergente pour V une des valeurs de la variable.

Soient

f =z m -^ Ui ^ . . . — iii -^ . . . -h u,i -\~ r,i =: Sn H- r,i^

F =. Ul -h Uo-H. . . = Ui -4-. . .-f- U,,-4- R,, :-:: S,, -+- R,,

( ^ ) CepenclanL il est parfois possible d'efiecLiier pratiquement la reclierche d'une fonction primitive à l'aide d'intégrales définies. On trouvera un exemple d'une telle recherche dans V Introduction à l'étude des fonctions d'une variable réelle de M. J. Tannery, p. 284.

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86 CHAPITRE YI.

la série donnée et la série des fonctions primitives, laquelle est, par hypothèse, convergente pour une certaine valeur Xq.

Choisissons n assez grand, pour que l'on ait, quel que soit p jDOsitif,

le théorème des accroissements finis donne, si (a, b) est l'intervalle considéré,

Cette inégalité montre que la série F est uniformément convergente dans (a, ^), puisqu'elle est convergente pour Xq. Evaluons le rapport

/•[F(a7), X, ^ H- /i] = — ^ j- ^— ^ = AF(^-),

AF =:= AS,,-+- AR,^ = AS/, -H Hm A(S„+^,— S,,).

P=lCO

La quantité A(S,i-^p— 8,^) est inférieure en valeur absolue à s, d'après le théorème des accroissements finis, donc, si l'on fait tendre h vers zéro, l'une quelconque des limites de AF ne diffère que de £ au plus de la limite s,i{-^) de AS,^. Puisque £ est quelconque, il est ainsi démontré que F (x) admet /(x) pour dérivée.

Ce théorème nous permettra d'employer le principe de condensation des singularités à la construction de fonctions dérivées.

LorsqaUine fonction dérivée est donnée par une série de fonctions dérivées non négatives on peut prendre les fonctions primitives ternie à terme à condition de choisir les constantes de manière que la série obtenue soit convergente.

Pour le démontrer, je conserve les notations précédentes, et je suppose, pour simplifier le langage, que la série F soit convergente pour l'origine de l'intervalle (a, Z?) considéré et que U^, Uo ... s'annulent pour ^ = a. Soit ^ celle des fonctions primitives de / qui s'annule par ^ == a. Tl faut démontrer que F = 5.

Tous les U/ sont positifs, donc 8,^ croît avec n. Mais, puisque/ est au moins égale à 5,^, 5'(.r) est au moins égale à S/,(x), et S/^(^) tend vers une limite F(^), au plus égale à § {x^

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l'intégrale définie a l'aide des fonctions primitives. 87

Le même raisonnement appliqué à l'intervalle positif (^, x -{- h) montre qneof(^ -\- h) — ^ (^) est au moins égale à F (^ -f- A) — F (^), et par suitey(^), dérivée de § {x)^ est au moins égale à A^F [x).

D'autre part F (^ -^h)' — F [x) est supérieure à 8,^ [x + h) — S,? (.2^), donc Â^F(^) est au moins égale à la dérivée s,i{^) de S/^(^), et, puisqiie n est quelconque, "k^F (x) estaa moins égale 'àf(x).

F (x) a donc une dérivée à droite égale kf(x) ; en raisonnant de même sur l'intervalle négatif (x^ x — A), on voit que F (x) admet aussi /(^) pour dérivée à gauche; le théorème est démontré.

Nous pouvons dire aussi : si des fonctions dérivées fn tendent en croissant vers une fonction dérivée f^ leurs fonctions primitives tendent vers la fonction primitive def{x) si les constantes sont choisies convenablement .

On peut écrire en effet

et tous les termes, qui sont des fonctions dérivées^ sont positifs, à l'exception peut-être du premier.

Le théorème est encore vrai si, au lieu de considérer des fonctions fn{x) croissant avec l'entier /i, on considère des fonctions dérivées y*(^, a) croissant avec le paramètre a, et tendant vers une fonction dérivée / quand a tend vers ao-

Enfin, il faut remarquer qu'il est nécessaire de savoir que la fonction y, limite ou somme, est une fonction dérivée, pour avoir le droit d'appliquer le théorème précédent : la fonction

tend en croissant, c[uand a augmente indéfiniment, vers la fonction f{x) partout nulle sauf pour ^ = o où elle est égale à — 1 . Cependant /*(. 27, a) est une fonction dérivée et f(x) n'en est pas une.

Ces deux propriétés vont nous permettre d'effectuer la recherche des fonctions primitives dans des cas étendus.

Tout d'abord, quand une fonction est la somme d'une série uniformément convergente de fonctions dérivées, c'est une fonction dérivée dont nous savons trouver les fonctions primitives. Voici une application théorique importante.

Soit une fonction continue /'(^) définie dans (a, h). Marquons

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les points Xo~~ ci^ Xj, .ro..., x,i^=^b pris assez i^approchés pour que, dans (^/, Xi^^^ ), l'oscillation de /'soit inférieure à £.

Dans la courbe y zzrz f (^x) inscrivons la ligne poljgonalejK = ?('^) dont les sommets ont pour abscisses .^o? <^i? - - -, ^ ni f {x) et ff (^x) diffèrent de moins de t. C'est dire que 'f (^) tend uniformément vers /(x)^ quand s tend vers zéro ; il nous suffira donc de démontrer que '^ (.r) est une fonction dérivée pour que nous puissions affirmer qu'il en est de même àe f {x). Mais 'f (^), étant dans (^/, x/^< ) le polynôme da premier degré

est la dérivée de la fonction continue qui, dans (.2'/, ^'/4.i), est définie par

( a:- — ^'z )2 / ( :r,-+i ) — / ( Xi )

-(x — Xf)f(Xf)-

Xf-{-\ Xi

11 est démontré que toute fonction continue est une fonction dét'iv'ée^ et cela sans avoir recours à l'intégration (' ).

Lorsque nous saurons mettre une fonction sous la forme d'une série de fonctions dérivées toutes de même signe, nous aurons un procédé régulier de calcul permettant de reconnaître si /est une dérivée exacte, puisque la fonction primitive de /ne peut être autre que la somme des fonctions ])rimitives des terjues de la série donnée {comparez p. 82).

Ainsi les deux théorèmes sur les fonctions primitives des séries nous permettent de faire dans certains^cas, relativement à la détermination des fonctions primitives, ce que les théorèmes sur l'intégration nous permettent de faire pour les fonctions intégrables.

(1) On pourrait être tenté, pour appliquer le théorème sur les séries uniformément convergentes de dérivées, de s'appu3^er sur cette proposition, due à Weierstrass: toute fonction continue est représenlable par une série uniformément convergente de p(»lynomes. Pour que cette méthode convienne pour le but que nous avions en vue, il faut avoir soin de démontrer le théorètne de Weierstrass sans se servir de l'intégration. La démonstration que j'"ai donnée dans le Baltetln des Sciences mathématiques de 1898, dans une Note Sur l^ approximation des fonctions, satisfait à cette condition.

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l'intégrale définie a l'aide des fonctions primitives. 89

Je laisse de côté les remarques analogues relatives à la recherche d'une fonction admettant pour nombre dérivé une fonction donnée. Je vais indiquer quelques propriétés des fonctions dérivées qui permettront parfois de reconnaître immédiatement qu'une fonction donnée n'est pas une fonction dérivée.

IL — Propriétés des fonctions déris>ées.

Une fonction déri^^ée ne peut passer d^une valeur à une autre sans prendre toutes les valeurs intermédiaires. Supposonsj en effet, que l'on ait /^(a) = A, /^(6) = B, et soit C un nombre compris entre A et B. On peut prendre h positif assez petit pour que 7'[/(^), a, a + /z] = A/'(a) soit compris entre A çt C et que A/(6 — h) soit compris entre B et C. La fonction h.f\x) est, h étant fixe, une fonction continue de x\ cjuand x varie de a à b — Il elle passe d'une valeur comprise entre A et C à une valeur comprise entre B et G, donc pour une certaine valeur .ro de (a, b — h) on a A/(^o) = G. Le théorème des accroissements finis montre que dans [xq.^ x^^-^ h) il existe une valeur c telle que

Les fonctions dérivées jouissent donc de l'une des propriétés des fonctions continues. M. Darboux, dans son Mémoire Sur les fonctions discontinues (-), a beaucoup insisté sur cette propriété. On avait pris, en France, l'habitude de définir une fonction continue celle qui ne peut passer d'une valeur à une autre sans |)asser par toutes les valeurs intermédiaires, et l'on considérait cette définition comme équivalente à celle de Cauchy. M. Darboux, qui construisait dans son Mémoire des fonctions dérivées non continues au sens de Cauchy, a pu montrer que les deux définitions de la continuité étaient fort différentes (•^).

11 est facile de citer des fonctions discontinues qui ne passent pas

(^) Ceci ne suppose pas que f {x) soit finie, mais seulement que /'(a;) soit toujours bien déterminée en grandeur et signe.

(2) Annales de l'École N or tyiale, 1875.

(2) On me permettra de signaler qu'en 1900 on enseignait encore dans un l}'cée de Paris la définition critiquée dès 1876 par M. Darboux. Gela est d'autant plus étonnant que la propriété qui est énoncée dans la définition de Gauch}'^ est celle

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90 CIIAPITRK M.

d'une valeur à une autre sans prendre, une fois au moins, chaque

valeur intermédiaire. C^est le cas de la fonction égale à sin— pour

j)^o et à n'importe quelle valeur de l'intervalle ( — i, -\- i) pour X =^ o.

Il est assez curieux qu'une fonction puisse jouir de cette propriété qui a été prise pour définition de la continuité et être cependant discontinue en tout point. Pour construire une telle fonction, j'écris le nombre ^, pris entre o et i , dans un système de numération, le système décimal par exemple :

ai

Considérons la suite des chiffres de rang impair a, , ^3, a^, . . . . Si elle n'est pas périodique, nous prendrons o(.x) = o ; si elle est périodique, et si la première péi^iode commence à <^2/z-i7 nous prendrons

10 10- lO"^ lO'^

Il est évident que la fonction o(x) ainsi définie prend toutes les valeurs de (o, 1) dans un intervalle quelconque si petit qu'il soit, donc o(x) est discontinue en tout point; d'ailleurs o(^) ne prend pas de valeurs extérieures à (o, i), donc o(x) ne passe pas d'une valeur a à une autre h sans prendre toutes les valeurs de (o, i), et, a fortiori^ toutes les valeurs comprises entre a el b.

Il faut aussi remarquer que, avec la définition critic|uée par M. Darboux, la somme de deux fonctions continues n'est plus nécessairement une fonction continue. En effet, si

f^{x) = s\\\~ pour x^o et /i(o) — i,

et si

f^(x) = — sin— pour x^o et /^Co) = i,

les deux fonctions /i et /^ ne peuvent passer d'une valeur à une

qui intervient direclemenL dans presque louLes les démonstrations, tandis que la propriété des fonctions continues et dérivées n'est guère employée que dans le théorème des substitutions et ses conséquences.