LES FONCTIONS SO.M NIABLES
Si l'on a f^ o et 6 >> a, on a aussi
f{x) dx ^o.
o. On a
1 X dx = I .
6. Si fa{x) tend en croissant vers f{x), V intégrale de f,i{x) tend vers celle de f{x).
La signification, la nécessité et les conséquences des cinq premières conditions de ce problème cV intégration sont à peu près évidentes; nous ne nous y étendrons pas.
La condition 6 a une place à part. Elle n'a ni le même caractère de simplicité que les cinq premières ni le même caractère de nécessité ('). De plus, tandis qu'il est facile de construire des nombres satisfaisant à quatre quelconques des cinq premières conditions, sans satisfaire à toutes les cinq, ce qui montre que ces cinq conditions sont indépendantes, on ne sait pas si les six conditions du problème d'intégration sont indépendantes ou non (^).
En énonçant les six conditions du problème d'intégration, nous définissons l'intégrale. Cette définition appartient à la classe de celles que l'on peut appeler descriptives ; dans ces définitions, on énonce des propriétés caractéristiques de l'être que Ton veut définir. Dans les définitions constructives, on énonce quelles opérations il faut faire pour obtenir l'être que l'on veut définir. Ce sont les définitions constructives qui sont le plus souvent employées en Analyse; cependant on se sert parfois de définitions descriptives (^); la définition de l'intégrale, d'après Riemann, est
(^) Elle paraît si peu nécessaire qu'elle est généralement inconnue, même pour le cas où / et /,^ sont intégrables au sens de Riemann ou mêmes continues. Il se pourrait d'ailleurs que certaines de ses conséquences aient, au contraire, un très grand caractère de nécessité.
(^) La réponse à cette question importe peu pour les applications, mais elle présente un intérêt au point de vue des principes. S'il était démontré que cette sixième condition est indépendante des cinq autres, il y aurait lieu de chercher à la remplacer par une sixième plus simple et surtout de rechercher si, parmi les systèmes de nombres qui satisfont seulement aux cinq premières conditions, il n'y en a pas d'aussi utiles que celui qui va être étudié.
(^) L'emploi de ces définitions descriptives est indispensable pour les premiers
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constructive, la définition des fonctions primitives est descriptive.
Lorsque l'on a énoncé une définition consti^uctive, il faut démontrer que les opérations indiquées dans cette définition sont possibles; une définition descriptive est aussi assujettie à certaines conditions : il faut que les conditions énoncées soient compatibles (^). Le procédé jusqu'ici toujours employé pour démontrer que des conditions sont compatibles est le suivant : on choisit dans une classe d'êtres antérieurement définis des êtres jouissant de toutes les propriétés énoncées. Cette classe d'êtres est généralement la classe des nombres entiers (-); on admet que la définition descriptive de ces nombres ne contient pas de contradiction.
Il faut aussi étudier la nature de l'indétermination des êtres que l'on vient de définir. Supposons, par exemple, que l'on ait démontré l'impossibilité de l'existence de deux classes différentes d'êtres satisfaisant aux conditions indiquées, et que, de plus, on ait démontré la compatibilité de ces conditions en choisissant une classe d'êtres j satisfaisant; cette classe d'êtres sera la seule définie, de sorte que la définition constructive qui a servi à effectuer le choix est exactement équivalente à la définition descriptive donnée.
Nous allons rechercher une définition constructive équivalente à la définition descriptive de l'intégrale (^).
On démontrera d'abord sans peine en s'appuyant sur les conditions 3 et 4 cjue l'on a la condition S
Jr^b ^b
' kf{x)dx = k i f{x)dx,
termes d'une science quand on veut construire cette science d'une façon purement logique et abstraite. Voir la Thèse de M. J. Drach {Annales de l'École Normale, 1898) et le Mémoire de M. Hilberl sur les fondements de la Géométrie {Annales de V École Normale, 1900).
(^) C'est-à-dire qu'aucune de leurs conséquences ne soit de la forme : A est non A. Il y a lieu aussi, comme je l'ai déjà dit, de rechercher si les conditions sont indépendantes.
(2) Voir le Mémoire déjà cité de M. Hilbert. C'est parce que l'on peut démontrer la compatibilité des conditions énoncées dans les définitions descriptives des premiers termes de la Géométrie à l'aide du système des nombres entiers qu'il est légitime de dire que la Géométrie peut être tout entière construite à partir de l'idée de nombre.
(3) En se plaçant au même point de vue, on peut dire que les travaux exposés dans cet Ouvrage ont pour but principal la recherche d'une définition constructive équivalente à la définition descriptive des fonctions primitives.
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LES FONCTIONS SOMMABLES.
lorsque k est une constante. Ceci posé, soit ,/(^) une fonction quelconque, nous désignerons par E[a << /(^') << [3] l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles on a a<^y(^)<<P, et par E[y(^) = a] l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles on a /(^) = a.
Soit (/, L) l'intervalle de variation de y*(.^) (^); partageons cet intervalle en intervalles partiels à l'aide des nombres
supposons que //^, — U ne soit jamais supérieur à s.
Désignons par 'i;(/=o, i, 2, ..., u) la fonction égale à i quand x appartient à E[y(^) = //], ou à E[// ■< /(^) <; //+i], et nulle pour les autres points ; désignons par W/(i = o, 1 , . . ., /2) la fonction égale à i quand x appartient à E[//, <^f\x) <^ //], ou à E[f[x) = //] et nulle pour les autres points. On a évidemment
i — i=zO
Lorsque nous saurons intégrer les fonctions ^j; qui ne prennent c|ue les valeurs o et i , nous en déduirons, grâce aux conditions 3 et S, les intégrales des 'f(x) et <ï>(^), lesquelles comprennent l'intégrale de/(^) (conditions 3, 4) (^).
De plus o(x) et<ï>(^) diffèrent de f(x) de e au plus, donc tendent uniformément vers f{x) quand £ tend vers zéro ; il est facile d'en conclure que leurs intégrales tendent vers celle de/(^).
En effet, si les limites inférieure et supérieure de g{^') sont /
et L, d'après 3 et 4, / g{^) dx est comprise entre
^b pb .^b ^b
j l dx ^= l j dx et / L ^^^ ~ ^ / ^^^ ^
faisons maintenant
on a
(^) En d'autres termes, / etL sont les limites inférieure et supérieure de f{x). (^) On suppose ici, pour quelques instants, le problème d'intégration possible.
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donc l'intégrale de g{x) est inférieiire en modale à £ / dx^ qnan-
tité qui tend vers zéro avec s.
Pour savoir calculer l^ intégrale (V une fonction quelconque, il suffit de savoir calculer les intégrales des fonctions 'i qui ne prennent que les valeurs o et i .
11 faut remarquer que nous avons démontré incidemment la possibilité d'intégrer terme à terme les séries uniformément convergentes, si le problème d'intégration est possible.
La quantité / dx qui figure dans la démonstration précédente
se calcule facilement; en se servant de 1, de 2 et de 5, on voit qu'elle est égale k h — a.
Si la fonction f{x) est comprise entre / et L, son intégrale dans (a, b) est comprise entre l[b — a) et L(6 — a)] c'est le théorème de la moyenne.
Si nous appliquons ce théorème après avoir décomposé (a, b)
en intervalles partiels, nous trouvons que / f{x) dx est comprise
du
entre les sommes c|ui servent à définir les intégrales par défaut et par excès; U intégrale est donc comprise entre les intégrales par défaut et par excès. En particulier, si le problème d'intégration est possible, pour les fonctions intégrables au sens de Riemann, il n'admet pas d'autre solution que l'intégrale de Pûemann.
