La mesure des ensembles

Occupons-nous maintenant des fonctions 4 qui ne prennent que les valeurs o et i . Une telle fonction est entièrement définie par l'ensemble E[A(^) '.=i i] des valeurs où elle est différente de o; l'intégrale d'une telle fonction, dans un intervalle positif, est un nombre positif ou nul qu'on peut considérer comme attaché à la partie de l'ensemble E[ '-L(,z') = i ] comprise dans l'intervalle d'intégration. Si l'on traduit en langage géométrique les conditions du problème d'intégration des fonctions •];, on a un nouveau pro])lème, le problème de la mesure des ensembles.

Pour l'énoncer, je rappelle que deux ensembles de points sur

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LES FONCTIONS SOMMABLES.

une droite sont dits égaux si, par le déplacement de l'un d'eux, on peut les faire coïncider, qu'un ensemble E est dit la somme des ensembles e si tout point de E appartient à l'un au moins des e (^). Voici la question à résoudre :

/Vous nous proposons d^ attacher à chaque ensemble E bornée formé de points de ox^ un nombre positif ou nul, m(E), ciue nous appelons la mesure de E et qui satisfait aux conditions suivantes :

1'. Deux ensembles égaux ont même mesure ;

2^ U ensemble somme d^ un nombre fini ou d^ une infinité dénombrable d'ensembles, sans point commun deux à deux, a pour mesure la somme des mesures ;

3^ La mesure de f ensemble de tous les points de (o, i) est i.

La condition 3^ remplace la condition o ; la condition ^ pi'Ovient de l'application des conditions 3 et 6 à la série

dans laquelle tous les termes et la somme sont des fonctions A; quant à la condition V c'est la condition 1. Une explication est cependant nécessaire; il J a deux espèces d'ensembles égaux : ceux que l'on peut faire coïncider par un glissement de ox et ceux cjue l'on peut faire coïncider par une rotation de tt autour d'un point de ox\ c'est aux premiers seulement que s'applique la condition 1^ Je n'ai pas mis cette restriction dans l'énoncé parce que, dans les raisonnements suivants, on peut s'astreindre à ne pas employer d'autres déplacements que des glissements et cependant on obtiendra toujours pour deux ensembles égaux de l'une ou l'autre manière des mesures égales (^).

Une conséquence simple des conditions \J ^ 2', 3^ est que tout

(1) /Vvec notre définition les e peuvent donc avoir des points communs.

(2) Toutes les conditions du problème d'intégration pour les fonctions "^ sont exprimées; mais on pourrait craindre que cela ne suffise pas pour que les intégrales des fonctions quelconques, qui sont déterminées dès que les intégrales des fonctions 4^ le sont, satisfassent aussi à ces conditions. Ce qui suit montre que ces craintes ne sont pas justifiées.

On pourrait le démontrer dès à présent, sans se servir de la valeur de l'intégrale des fonctions 4^, et Ton pourrait aussi démontrer que, si l'on supprime les

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intervalJe positif (a, b) a pour mesure sa longueur b — a, que les extrémités fassent ou non partie de l'intervalle (').

Si l'on se reporte au Chapitre III, on voit immédiatement que, si le problème de la mesure est possible, on a

^/(E)^77z(E)le,(E);

pour les ensembles mesurables J le problème de la mesure est possible au plus d'une manière et la mesure est l'étendue au sens de M. Jordan.

Soit maintenant un ensemble quelconque E, nous pouvons enfermer ses points dans un nombre fini ou une infinité dénombrable d'intervalles; la mesure de l'ensemble des points de ces intervalles est, d'après 2^, la somme des longueurs des intervalles ; cette somme est une limite supérieure de la mesure de E. L'ensemble de ces sommes a une limite inférieure /^^(E), la mesure extérieure de E, et l'on a évidemment

m(E)^m,(E)le,(E).

Soit CAy(E) le complémentaire de E par rapport à AB, c'està-dire l'ensemble des points ne faisant pas partie de E et faisant partie d'un segment AB de ox contenant E. On doit avoir

m(E)-hm[CAB(E)]= m(AB;), donc

w(E)=: 7?i(ABj — m[GÂB(E)]^//^(ABj — me[GAB(E)|;

la limite inférieure ainsi trouvée pour m(E), limite qui est nécessairement positive ou nulle, s'appelle la mesure intérieure de E, /nj;(E); elle est évidemment supérieure ou au moins égale à l'étendue intérieure de E.

Pour comparer les deux nombres m^, m/, nous nous servirons d'un théorème dû à M. Borel :

Si Von a une famille cV intervalles A tels que tout point dhin intervalle i^a^ ^)'>y compris a et 6, soit intérieur à V un au moins

mots ou d'une infinité dénonihrahle dans 2', on a un nouveau problème de la mesure qui correspond complètement au problème d'intégration posé avec les conditions 1, 2, 3, 4, 5 sans la condition 6.

(^) Ceci a été déjà exprimé par l'égalité /

dx :

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LES FONCÏIO>(S SO.MMABLKS.

des A, il existe une famille formée d^ un nombre fini des intervalles A et qui jouit de la même propriété \^tout point de (a, b) est intérieur à V un d'eux].

Soit (a, j3) l'un des intervalles A contenant a, la propriété à démontrer est évidente pour l'intervalle (a, x)^ si x est compris entre a et ^; je veux dire que cet intervalle peut être couvert à l'aide d'un nombre fini d'intervalles A, ce que j'exprime en disant que le points est atteint. Il faut démontrer que b est atteint. Si x est atteint, tous les points de (a, x) le sont; si x n'est pas atteint aucun des points de (x^ b) ne l'est. 11 y a donc, si b n'est pas atteint, un premier point non atteint, ou un dernier point atteint; soit Xq ce point. Il est intérieur à un intervalle A, (a^, ^i). Soient ^, un point de (a,, x)^ x^ nn point de {x^ ,8,); x^ est atteint par hypothèse, les intervalles A en nombre fini cpi servent à l'atteindre, plus l'intervalle (a,, [3,) permettent d'atteindre x^^ x^] ^o n'est ni le dernier point atteint, ni le dernier non atteint; donc b est atteint ( ' ) .

Du théorème de M. Borel il résulte que si Von a cou^^ert tout un inten^alle (a, b) à Uaide dhtne infinité dénombrable d'intervalles A, la somme des longueurs de ees intervalles est au moins égale à la longueur de V intervalle (a, b) (-). En effet,

(1) M. Borel a donné, dans sa Thèse et dans ses Leçons sur la théorie des fonctions, deux démonstrations de ce théorème. Ces démonstrations supposent essentiellement que Tensemble des intervalles A est dénombrable; cela suffit dans quelques applications; il y a cependant intérêt à démontrer le théorème du texte. Par exemple, pour les applications que j'ai faites dans ma Thèse du théorème de M. Borel, il était nécessaire qu'il soit démontré pour un ensemble d'intervalles A ayant la puissance du continu.

On a déduit du théorème, tel qu'il est énoncé dans le texte, une jolie démonstration de l'uniformité de la continuité.

Soit f{x) une fonction continue en tous les points de (a, 6), y compris a et b\ chaque point de {a, b) est, par définition, intérieur à un intervalle A dans lequel l'oscillation de f{x) est inférieure à s. A l'aide d'un nombre fini d'entre eux, on peut couvrir (a, b)', soit / la longueur du plus petit intervalle A employé, dans tout intervalle de longueur / l'oscillation de / est au plus as, car un tel intervalle empiète sur deux intervalles A au plus; la continuité est uniforme.

Cette application du théorème complété fait bien comprendre, il me semble, tout l'usage qu'on en peut faire dans la théorie des fonctions.

(2) Si, comme je le suppose dans la démonstration, on admet que tout point de (a, b) est intérieu?- à l'un des A, on peut remplacer au moins égale par supérieure.

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on peut aussi couvrir (a, b) à l'aide d'un nombre fini des intervalles A et le théorème, étant évidemment vrai quand on ne considère que ces intervalles en nombre fini, l'est a fortiori quand on considère tous les intervalles A.

Reprenons maintenant l'ensemble E et son complémentaire GAy.(E). Enfermons le premier dans une infinité dénombrable d'intervalles a, le second dans les intervalles j^, on a

m(a) -^- A?^(^)>/7?(AB),

puisque AB est couvert par les intervalles a et ^. De là, on déduit

m,(E) + m,[GAB(E)] ^ m(AB), meiE) ^ m(AB) - /72,[Gab('E)], nieiE) £ mi{E).

La mesure intérieure n'est jamais supérieure à la mesure extérieure.

Les ensembles dont les deux mesures extérieure et intérieure sont égales sont dits mesurables et leur mesure est la valeur commune des me et mi (^ ). Il reste à rechercher si cette mesure satisfait bien aux conditions L, 2^, 3^ Gela est évident pour L et 3^, reste à étudier la condition 2^ (-).

(1) C'est seulement pour ces ensembles que nous étudierons le problème de la mesure. Je ne sais pas si l'on peut définir, ni même s'il existe d'autres ensembles que les ensembles mesurables; s'il en existe, ce qui est dit dans le texte ne suffit pas pour affirmer ni que le problème de la mesure est possible, ni qu'il est impossible pour ces ensembles.

(-) La définition géométrique de la mesure permet non seulement de comparer deux ensembles égaux, mais aussi deux ensembles semblables. Le rapport des mesures de deux ensembles semblables de rapport k est |A1. C'est une condition qu'on aurait pu s'imposer a priori; il lui correspond pour le problème d'intégration la condition S,

(S,) r f{x)dx = k f f[kx)clx.

Les conditions S (p. loo) et Sj constituent ce qu'on peut appeler la condition de similitude^ elles font connaître ce que devient une intégrale par les transformations

x,^ kx, f,{x) =zkf(x).

Peut-être pourrait-on remplacer la condition 6 par des conditions de cette nature.

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