IV. — Définition analytique de U intégrale

Délinissons maintenant l'intégrale d'une fonction mesurable bornée en supposant l'intervalle d'intégration (a, h) positif. Nous savons que, s'il s'agit d'une fonction A, cette intégrale est

et que, s'il s'agit d'une fonction j\x) quelconque, l'intégrale doit être la limite commune des intégrales de o et O (p. loi) C[uand le maximum de Z^^, — // tend vers zéro. D'après les conditions du problème d'intégration, ces intégrales sont

y.=.^h{m\^{ll^,<j\x)<li\s+m\%lf{x)^li\\\

(^) Je lie sais pas s'il est possible de nommer une fonction non mesurable B; je ne sais pas s'il existe des fonctions non mesurables.

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Nous savons déjà que ces deux nombres diffèrent de moins de e[b — a) parce que O — cp est inférieure à e. Si nous faisons tendre £ vers zéro, en intercalant entre les // de nouveaux nombres, alors 0- croît, S décroit, S — i tend vers zéro ; donc cr et S ont une même limite.

Soient o-^ , S^ ; o-o, S2 5 • • • les sommes obtenues par ce procédé; soient o-'^ , S',; cr.,, S',; ... les sommes obtenues en faisant tendre £ vers zéro d'une autre manière (^); soient a-'|, S'( les sommes obtenues en réunissant les nombres // donnant cr,, S^ et cr'^ , S'^ ; soient cr!,, S^ celles obtenues en réunissant les li donnant cto, S^ ; o-'^ , 11\ ; a-'.,, S'., ; et ainsi de suite. On a évidemment

la seconde de ces inégalités montre que cr'- et 11'- ont la même limite que G-"- et S'^, car nous savons que crj et SJ ont une limite et que !>'. — g'- tend vers zéro. La première montre que cette limite est aussi celle de 3/ et S/.

La valeur de l'intégrale est donc indépendante de la manière dont le maximum de //^i — // tend vers zéro.

Nous complétons cette définition en posant

f{ X ) dx = — / f{^') dx.

Il reste à voir si l'intégrale satisfait bien aux conditions du problème d'intégration (-); il nous suffît évidemment d'examiner les conditions 3 et 6.

Lorsque l'on additionne deux fonctions ne prenant chacune qu'un nombre fini de valeurs différentes, comme les fonctions cp etO de la page loi, la condition 3 est évidemment vérifiée. Soient maintenant /^ et /2 deux fonctions mesurables bornées; nous savons que /< et /2 diffèrent de moins de e de deux fonctions o^

(^) Les /• qui donnent Op et Sjy ne contiennent pas nécessairement ceux qui ont donné (^'p-i et ^'p-\, tandis que les /• donnant a et ^il contiennent les /-relatifs à a^i et S^__,.

(2) Pour le cas où il existerait des fonctions non mesurables, il faut ajouter qu'on s'astreint à la considération des seules fonctions mesurables.

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1 r4 CIIAPHRE VII.

et cpo de la nature de celles dont il vient d'être parié, donc/, 4-/2 diffère de moins de 2£ de cp, -j-^^o; / (y^+/o)r/^ dilïère de

f (cp, 4- cpo) c/^= / cp^c/^H- / (f.^dx, a ^ a ^ a

pb ^b

c'est-à-dire de moins de 4s j^ — a | de \ f^dx-^ / f^:,dx, La

condition 3 est donc bien remplie.

La condition 6 est aussi remplie, car on a la propriété suivante :

Si les fonctions mesurables f,i{x)^ bornées dans leur ensemble, cesl-à-dire quels que soient n et x^ ont une limite f{x)^ IHntégrale de fti{oc) tend vers celle de f{x).

En effet, nous savons que f{oc) est intégrable; évaluons

[f(^)-fn{.00)\ dx.

Si l'on a toujoars \/,i{x)] < M et si / — /,^ est inférieure à e dans E/^, f ~ fn-, étant inférieure à la fonction égale à s dans E,^ et à M dans G(E/^), a une intégrale au plus égale en module à

Mais £ est quelconque, et m[C(E/^)] tend vers zéro avec - parce qu'il n'y a aucun point commun à tous les E,^, donc

/ {f-fn)dx

tend vers zéro. La propriété est démontrée (^ ).

Une autre forme de ce théorème est la suivante :

Si tous les restes dhtne série de fonctions mesurables sont en module inférieurs à un nombre fixe M, la série est intégrable terme à terme.

Les définitions et les résultats précédents peuvent être étendus

(^) M. Osgood, dans un Mémoire de V American Journal, 1897, ^^ ^^^ nonuniform convergence, a démontré le cas particulier de ce théorème dans lequel / et les /,^ sont continues. La méthode de M. Osgood est tout à fait différente de celle du texte.

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à certaines fonctions non bornées. Soit f{x) une fonction mesurable non bornée. Choisissons des nombres ..., /2, ^t, l^^ l\, 4, ..., en nombre infini, échelonnés de — go à -f-oo et tels que lij^^ — Il soit toujours inférieur à s. Nous pouvons former les deux séries

En reprenant les raisonnements précédents, on voit immédiatement que, si l'une d'elles est convergente, et par suite absolument convergente, l'autre l'est aussi et que, dans ces conditions, a- et S tendent vers une limite bien déterminée quand le maximum de lij^\ — li tend vers zéro d'une manière quelconque. Cette limite est, par définition, l'intégrale de /(^') dans l'intervalle positif d'intégration; on passe de là à l'intervalle négatif comme précédemment.

Nous appellerons /b/ic^^'on^ soniniables les fonctions auxquelles s'applique la définition constructive de l'intégrale ainsi complétée ('). Toute fonction mesurable bornée est sommable.

Les raisonnements employés montrent que le problème d'intégration est possible et d'une seule manière, si on le pose pour les fonctions sommables.

On ne connaît aucune fonction bornée non sommable, il est facile au contraire de citer des fonctions non bornées non sommables. La fonction nulle pour ^ := o et égale à

x'^ sin — - = 'IX sin - — - cos — -

en est un exemple ; cependant cette fonction peut être intégrée par les méthodes de Cauchj et Dirichlet développées au Chapitre L On pourra, dans certains cas, appliquer ces méthodes aux fonc-

(^) Je m'écarie ici du langage adopté dans ma Thèse où j'appelais /o7ic^/o/i5 sommables celles cpe j'appelle maintenant mesuj^ables. Avec les conventions du texte, le mot sommable joue dans la théorie de l'intégrale le même rôle que le mot intégrable dans l'intégration riemannienne.

I l6 CHAPITRE VII.

lions non sommables pour définir leur intégrale; je n'insisterai j)as sur cette généralisation.

Voici une dernière définition; si une fonction y(;z') est définie dans un ensemble E, nous dirons qu'elle est sommable dans E si la fonction y, , égale à f pour les points de E et à o pour les points de Caij(E), a une intégrale dans AB, qui sera, par définition, l'intégrale de / sur E. Donc, si un ensemble E est la somme d'un nombre fini ou d'une infinité dénombrable d'ensembles mesurables E/, sans point commun deux à deux, on a

cela est évident si la fonction sommable considérée est bornée ; on le démontrera sans peine pour une fonction sommable quelconque.