III. — Les fonctions mesurables

Pourque les considérations précédentes nous permettent d'attacher une intégrale à une fonction /(x), il faut que, si petit que soit £, nous puissions trouver les nombres // (p. loi) tels que, ou les fonctions 'i/ correspondantes, ou les Wi^ soient associées à des ensembles mesurables. Supposons que les ensembles correspondant aux ^/ soient mesurables, et soient a et ^ deux nombres quelconques. A un nombre s correspond an certain système de nombres //; soit Ip le plus petit de ceux qui sont compris entre a et p et Ipj^q le plus grand. L'ensemble

est mesurable ; or quand on donne à s une suite de valeurs décroissantes tendant vers zéro £^, So, . . ., on a

donc E[a <</(^) j^ [3] est mesurable.

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LES FONCTIONS SOMMABLES. I 1 I

Nous dirons qu'une fonction bornée ou non est mesurable si, quels que soient a et [^, V ensemble E[a <;/(^) < [3] est mesurable. Lorsqu'il en est ainsi Fenseinble E[/(^) = a] est aussi mesurable, car il est la partie commune aux ensembles E[a -- A <;/(cr) << a -f- /^] quand h tend vers zéro. On verrait aussi que, pour qu'une fonction soit mesurable, il faut et il suffit que l'ensemble E[a</(^)] soit mesurable, quel que soit a.

La somme de deux fonctions mesurables est une fonction mesurable. Soient les deux fonctions mesurables /^ et /s; à tout nombre s faisons correspondre une division de leur intervalle de variation, fini ou non, à l'aide de nombres //, tels que //+^ — U soit au plus égale à s, et considérons les ensembles E/y de valeurs de x^ tels que l'on ait

h<f\{oc}, lj<f2((r), li-{- lj> ce,

La somme E(£) des ensembles E/y est mesurable, puisque chacun d'eux l'est; et si l'on donne à s des valeurs s /tendant vers zéro, on a

E[a</i.-/2J-E(sO + E(s,)+-.-,

donc fi -h f 2 est une fonction mesurable.

On démontrerait de même cjue l'on peut effectuer, sur des fonctions mesurables, toutes les opérations dont il a été parlé au sujet des fonctions intégrables (p. 3o) sans cesser d'obtenir des fonctions mesurables. Mais il y a plus : la limite dhuie suite coni>ergente de fonctions mesurables est une fonction mesurable; si fn tend vers /, l'ensemble E[/(^) > a] est la somme des ensembles E/^ , E,^ étant la partie commune aux ensembles E[/,^(^) > a], E[//i+i {x) > a], . . ., et tous ces ensembles sont mesurables si les fonctions //^ sont mesurables.

Appliquons ces résultats; les deux fonctions /-= const., /'= x sont évidemment mesurables, donc tout polynôme est mesurable. Toute fonction limite de polynômes est aussi mesurable : donc, d'après un théorème de Weierstrass, toute fonction continue est mesurable. Les fonctions discontinues limites de fonctions continues, que M. Baire appelle fonctions de première classe, sont mesurables. Les fonctions qui ne sont pas de première classe et qui sont limites de fonctions de première classe (M. Baire les

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I 12 CHAPITHE Vil.

appelle fonctions de seconde classe) sont des fonctions mesurables.

Remarquons encore que les fonctions ainsi formées de proche en proche sont mesurables B, c'est-à-dire que les ensembles qui leur correspondent sont mesurables B; ce sont ces fonctions que nous rencontrerons uniquement (^).

On peut souvent démontrer qu'une fonction est mesurable en se servant de la propriété suivante : si en faisant abstraction d'un ensemble de valeurs de x de mesure nulle ^ la fonction f{x) est continue, elle est mesurable. Car les points limites de l'ensemble E[a^/(^)] qui ne font pas partie de cet ensemble font nécessairement partie de l'ensemble de mesure nulle négligé, donc ils forment un ensemble de mesure nulle. L'ensemble E[a^/'(.x')], étant fermé à un ensemble de mesure nulle près, est mesurable. On voit ainsi, en particulier, que toute fonction intégrableau sens de Riemann est mesurable; on voit aussi c|ue la fonction '/{oc) de Dirichlet, qui est non intégrable, est mesurable.