LES FONCTIONS SOMMABLES. TT

mesure extérieure, il faudra démontrer qu'un carré C ne peut être couvert à l'aide d'un nombre fini de carrés a que si la somme des aires des ci est au moins égale à l'aire de C, ce que l'on peut faire élémentairement ( ' ) ; puis il faudra démontrer le théorème de M. Borel lorsc[u'on remplace dans son énoncé le mot inter<^alle par le mot carré ou le mot domaine.

La démonstration peut se faire comme pour le cas de la droite, mais je veux à cette occasion indiquer comment on peut employer la courbe de M. Peano et les autres courbes analogues (p. 44)- Soit le domaine D dont tout point (ainsi que les points frontières) est intérieur à l'un des domaines A. Nous pouvons définir, à l'aide d'un paramètre t variant de o à i, une courbe G qui remplit le domaine D et qui ne passe par aucun point extérieur (^). Chaque domaine A découpe sur C des arcs correspondant à certains intervalles de variation pour ^, soient S ces intervalles. Un domaine A peut d'ailleurs avoir des points de sa frontière communs avec G, ces points ne formant pas d'intervalles; nous négligeons ces points et nous ne nous occupons que des intervalles, (o, i) est évidemment couvert avec les 3, donc avec un nombre fini d'entre eux, d'après le théorème de M. Borel pour le cas de la droite, et, par suite, D est couvert avec les A en nombre fini qui correspondent à ces S.

Gette propriété démontrée, la suite des raisonnements et des définitions se poursuit comme dans le cas de la droite, les intervalles étant toujours remplacés par des carrés. Gomme dans le cas de la droite on définit les ensembles mesurables, les ensembles mesurables B, et l'on démontre à leur sujet les mêmes propriétés.

Il ne faut pas confondre la mesure des ensembles de points dans le plan avec celle des ensembles de points d'une droite ; nous les distinguerons lorsqu'il j aura doute en les qualifiant mesure superficielle iris 6t mesure linéaire nii (^).

(^) Pour cette question et pour tout ce qui concerne la mesure des polygones, on consultera avec intérêt la NoLe D de la Géométrie élémentaire de M. Hadamard.

(2) On pourra pour cela établir une correspondance biunivoque et continue entre les points d'un carré et ceux du domaine D, puis prendre pour courbe G celle qui correspond à la courbe de Peano remplissant le carré.

(2) Ces définitions permettent de iléfinir les fonctions mesurables de deux variables et les intégrales doubles relatives à ces fonctions. Je ne m'occuperai ni

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I l8 CIIAPIÏKE VII.

Arrivons à la définition de l'inLégrale.

A ton te fonction bornée f{x) nous avons attaché deux ensembles de points E,[/(^)], E2[/(^)] (Chap. III, p. 46); par analogie avec ce qui a été fait précédemment, il est naturel d'appeler intégrale de la fonction f\^ quantité

Etudions dans quels cas cette définition s'applique ; nous allons démontrer que c'est lorsque la fonction / est mesurable et seulement dans ce cas. Pour cela il suffira évidemment de le démontrer pour la fonction o{x) égale kf[x) quand y*(^) n'est pas négative, et nulle quand /'(^) est négative; c'est de cette fonction o{x) que nous allons nous occuper.

Quand on fait décroître a, l'ensemble E(cp>a) ne perd aucun point, de là on déduit que /?2/^/[E(cp ^ a)] et /?2/,e[E(o ^ a)] sont des fonctions non croissantes. De plus, E(cp>a) est l'ensemble des points qui appartiennent à tous les E(cp^a — h)\ de là on déduit que m/^/[E(cp >a)] et /?2/^e[E(9 ^ a)] sont des fonctions de a continues à gauche. Ceci posé, supposons que l'on ait

alors il en sera encore de même dans tout un certain intervalle (a — A, a). Considérons la partie E de E(cp) comprise entre JK = a — Il et j^ = a. Enfermons les points de E dans des carrés A, les points de G(E) dans des carrés B; on peut supposer les A et B de côtés parallèles à ox et oy. Ils ont en commun des rectangles C dont la somme des aires est au moins /?2^^^(E) — /yi^^/(E) et en diffère aussi peu que l'on veut. La section des carrés A par la droite y=K est composée d'intervalles a qui enferment E[cp(^)^K], celle des carrés B est composée d'intervalles b qui enferment CjE[cp(^) > K.]}, celle des rectangles G est formée des parties c communes aux a el b] on a donc

m/(c)^m/,,|E[o(^);^!v]|-m/,,JE[cp(^)^K]|.

nii{c) est donc supérieure à £ quand K. varie de a — h à a, et

de ces questions ni de quelques autres qu'on peut y rattacher, comme l'intégration par partie et l'intégration sous le signe somme.

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LES FONCTIONS SOWMABLES. l IQ

m^^e(E) — /^^^,/E est au moins égale à s A. E et par suite E(ç) n'est donc mesurable que si cp est mesurable.

Supposons que cp bornée soit mesurable et partageons l'intervalle de variation de cp à l'aide de nombres //. Soit E la partie de E(cp) comprise entre li^ et //, nous allons évaluer sa mesure. Enfermons dans des intervalles a les points de E(cp>//) et ceux de G[E(cp^//)] dans des intervalles 6, soient c les intervalles faisant partie des a et des b. Considérons l'ensemble X des points dont les abscisses sont points de a et dont les ordonnées sont comprises entre li__s et /;;.soit l'ensemble analogue relatif à c. L'ensemble X — 3 étant contenu dans E, on a

de là on déduit

msA^)à ( h — h-i ) m/ [E(cp ^ /,•)].

En faisant la somme de toutes les inégalités analogues, on a

En raisonnant d'une façon analogue, on voit que

Nous avons démontré que les deux quantités a- et S tendent vers une même limite quand le maximum de //+i — li tend vers zéro, donc E(c5) est mesurable et l'on retrouve la définition de l'intégrale déjà donnée.

Nous appellerons intégrale indéfinie de/(x) l'une quelconque des fonctions

Les intégrales indéfinies sont des fonctions continues. Si f{x) est une fonction bornée, cela est évident. Supposons ensuite f{x) sommable mais non bornée, alors on peut trouver a assez grand pour que les intégrales de f{x) dans les deux ensembles E(/>> a), E(/'<< — a) soient toutes deux inférieures en module à £. Posons f-z=if\ + /2, f\ étant nulle pour les deux ensembles E(/>a), E(/<— a) et /o étant nulle pour E(— a</<a). Alors rinlégrale indéfinie de f\ est une fonction continue; l'in-

tégrale de /o dans tout intervalle étant 2 s au plus, autour d'un point quelconque x^^ on peut donc trouver un intervalle dans lequel l'accroissement de F(:r) soit au plus 3 c, ce qui prouve que F(^) est continue.

Siy(^) est sommable, 1 /*(^)| l'est aussi et, dans tout intervalle, l'intégrale indéfinie de f{oo) subit un accroissement en module inférieur à celui de l'intégrale indéfinie de |y(^)l; cette dernière intégrale étant croissante, toute intégrale indéfinie est à variation bornée.

Les propositions trouvées au Chapitre V (p. 69) relativement à la limitation des nombres dérivés de F(^) à l'aide des maxima et des minima de y(^) sont encore exactes; elles se démontrent de même (^ ).