VI. — La^ recherche des fonctions primitives

Occupons-nous de la recherche des fonctions primitives. Soit ^(^) une fonction ayant une dérivée f{x)^ nous savons que f{x) est mesurable, car c'est une fonction de première classe. Supposons que/*(^) soit bornée, alors 7^[r3'(^), x^ x -^ A] est aussi borné, quels que soient x et h. Et puisque /(^) est la limite pour A = o de r[cf (^), x^ X -¥- A] on peut écrire, d'après un théorème énoncé à la page i i4,

{x -^ h) — ${ X )] dx

/ f(x)dx = \\m— ==^(^) — J^(o),

Jq h=-o ti

car ^(x) est une fonction continue.

Donc les intégrales indéfinies dUine fonction dérivée bornée sont ses fonctions primitives. Nous avons résolu le problème fondamental du calcul intégral pour les fonctions bornées. De plus, nous avons un procédé régulier de calcul permettant de reconnaître si une fonction bornée est ou non une dérivée (-).

(^) Seulement on peut maintenant se servir des maxima et minima obtenus en négligeant les ensembles de mesure nulle, car si l'on modifie la valeur d'une fonction aux points d'un tel ensemble, on ne modifie pas l'intégrale de cette fonction.

(^) Comparez avec la page 82.

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LES FONCTIONS SOMMABLES. ['21

Pour aller plus loin, démontrons que les nombres dérivés sont mesurables et même mesurables B. Considérons pour cela une suite de fonctions a^^ Uo^ ..., et les fonctions u^ u égales, pour chaque valeur de x^ à la plus grande et à la plus petite des limites des a,i\ ce sont les enveloppes d^ indétermination de la limite des u. Voici comment on peut obtenir l'enveloppe supérieure u\ vi est la fonction qui, pour chaque valeur de r, est égale à la plus grande des fonctions u^^ u^-^ ..., iii\ wi est la limite de la suite croissante vt^ ^i+i, ^'/+2) •••; u est la limite de la suite décroissante w^^ (^2, .... Si les lit sont des fonctions continues, il en est de même des vt^ les wt sont donc au plus de première classe et w au plus de seconde classe (^). Un raisonnement analogue s'applique à u.

La définition des enveloppes d'indétermination aurait pu être donnée par une fonction g(^x^ li)^ où h est un paramètre remplaçant l'indice de la fonction ui. L'un des nombres dérivés de/(^) est l'une des enveloppes d'Indétermination de t\f{^)-! x^ x -\~ ]i\ quand on fait tendre h vers zéro, par valeurs de signe déterminé. Mais r\^f[x)^ x^ x -+- A] étant continue en (x^ h) pour h ^ o, on peut, pour la recherche de ces enveloppes, remplacer l'infinité non dénombrable des valeurs de h par une suite de valeurs de h tendant vers zéro et convenablement choisies. Les nombres dérivés sont donc au plus de seconde classe.

Ceci posé, soit Aie nombre dérivé supérieur à droite de /'(.2^), nous le supposons fini. Prenons arbitrairement des nombres l^ échelonnés de — oo à -i-GO quand n parcourt la suite des nombres entiers de — 00 à -h 00, et supposons que l,i^\ — 4 ne surpasse jamais s.

Prenons des nombres positifs a^^, tels que \^ a^ \ in \ soit inférieure

à £, Désignons, pour abréger, E(//^ <^ A^ //^^.i) par en^ et rangeons les e,i en suite simplement infinie e,,^^ e,,^^ .... Enfermons e,^^ dans des intervalles A^,^ et (^{e^^) dans des intervalles I,,^ choisis de manière que la somme de leurs parties communes soit au plus a,^^. Enfermons e,,^ dans des intervalles A,,, et C{e„^-^ e,,^) dans des

(^) Le même raisonnement montre que si les u- sont mesurables, u Test aussi.

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intervalles I„^, les A„^ et les 1„^ étant intérieurs aux ]„^ et ayant des parties communes de longueur au plus égale à a^^. On enfermera de même e^^ dans A,,^ et G((?„^+ ^n^~^ ^nj dans I,,^, ces intervalles étant contenus dans 1„^ et ayant pour mesure de leurs parties communes a„^ au plus (^ ).

En continuant ainsi, on enferme e^ dans A/^ et in(^K,i) — '^^ (^/O est au plus cin] de plus K,i n'a en commun avec les autres h.n^p que des intervalles, chacun d'eux étant compté une seule fois, de longueur totale inférieure à a,/.

Les deux sommes ^\l,i\ in[e,i) et ^\ln\ m[h.,i) sont convergentes ou divergentes à la fois et, si elles convergent, elles diffèrent de

moins de s. Les deux expressions / | A | <i^ et ^\l,i\m[h.,i) ont

donc un sens en même temps et, si elles en ont un, elles diffèrent de moins de e(b — a — i)^ (a. b) étant l'intervalle positif d'intégration. La même remarque s'applique aux deux expressions / h.dx etS/,, ^(A;^).

Soit un point x appartenant à Cp^ A' celui des intervalles A^ qui contient ^. JNous attachons à .2^ le plus grand intervalle {x^ x -f- h) contenu dans A' , de longueur au plus égale à s, et tel que

A l'aide des intervalles ainsi définis, on peut former une chaîne d'intervalles couvrant (a, b) à partir de a (p. 63). Cette chaîne peut servir à évaluer une valeur approchée de la variation totale de f. Cette valeur approchée ainsi trouvée (^ est comprise entre

v^ — e(b — a) et (^^ -h e{b — a) où ^^i = X l^/^i '^^(B/j), en désignant par B^; les intervalles employés dans la chaîne et qui proviennent des points de ^^. Les points de A^ qui ne font pas partie de Bp font nécessairement partie de l'un des ensembles A^|^ (^ ^ o) ,

donc leur mesure est au plus égale à cip et Ç\ diffère de /, K^^ I ^^^ (^/i) de moins de ^ <^/J ^/^ | <C s.

Donc, pour que V un des nombres dérivés dUtne fonction,

(1) On suppose que l'on choisit les A„ de manière que ceux qui correspondent à un même indice n'empiètent pas les uns sur les autres, et de naême des I,^.

LES FONCTIONS SOMMABLES.

supposé fini, soit soimnahle, il faut et il suffit que cette fonction soit à variation bornée ; sa variation totale est V intégrale de la valeur absolue du nombre déri^>é.

Si, reprenant le raisonnement précédent, on se sert des intervalles employés pour calcalerraccroissement/( 6) — /(f^) cle/(^) dans (a, 6), on voit que V intégrale indéfinie d'un nombre dérii^é sommable est la fonction f dont il est le nombre dérivé.

Ainsi nous savons résoudre les problèmes B, B^, G, 01 quand la fonction donnée est bornée ou quand on sait que la fonction inconnue ne peut être à variation non bornée.

Voici d'autres conséquences : soit une fonction / ayant ses nombres dérivés à droite partout finis, on a

Ah)-f{a)=J kAf)dx^£ A,,(/)

dx :

donc k(i — )v/ est une fonction non négative d'intégrale nulle et, par suite, elle est partout nulle, sauf peut-être aux points d'un ensemble de mesure nulle. Sauf en ces points, /a donc une dérivée à droite.

On peut aller plus loin et démontrer a^xxhcne fonction à varialion bornée et à nombres dérivés finis a une déri^^ée pour un ensemble de points dont le complémentaire est de mesure nulle] de plus une telle fonction est r intégrale indéfinie de sa dérivée considérée seulement pour l'ensemble des points oit elle existe ('). Ces deux propriétés, qui s'appliquent en particulier aux fonctions à nombres dérivés bornés (-), résultent des considérations suivantes :

Les intégrales indéfinies des fonctions sommables ont toutes, nous allons le voir, des dérivées en certains points; nous comparerons cette dérivée à la fonction intégrée /. Considérons d'abord le cas d'une fonction mesurable A ne prenant que les valeurs o et i , soit ^ son intégrale indéfinie et posons E(^ r= i) = E. Enfermons E

(^) Ces deux propriétés sont vraies lorsque l'un seulement des quatre nombres dérivés est fini.

(-) On s'explique ainsi que savoir qu'une fonction satisfaite la condition de Lipscliitz soit souvent aussi utile que savoir qu'elle est dérivable.

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dans des intervalles A^ dont la somme des longueurs est m (E) + Zp et faisons tendre £^ vers zéro. L'ensemble C commun à A| , Ao, ... contient E et n'en diffère que par un ensemble de mesure nulle, de sorte que, dans le calcul de W, on peut remplacer '|i par A' tel que E('y = i) = C 'V est la limite vers laquelle tendent en décroissant les fonctions ^^ attachées à A^, E(i^=i) = A^; soit Wp l'intégrale indéfinie de ijp. Dans tout intervalle positif, l'accroissement de W p est au moins égal à celui de W, de sorte que

A étant l'un quelconque des nombres dérivés.

Mais AW^ étant égal à i pour tous les points intérieurs aux intervalles A^, n'est différent de zéro qu'en ces points et en un ensemble de points de mesure nulle. Par suite, KW n'est différent de zéro qu'en des points de C (ou de E) et en un ensemble de points de mesure nulle. Mais, puisque A^ n'est jamais supérieur à I, que W est l'intégrale de A^F et que, si E est contenu dans (a, 6),

AW est égal à i pour les points de E, sauf pour les points d'un ensemble de mesure nulle. Gela étant vrai pour l'un quelconque des nombres dérivés, 'h est la dérivée de ^F, sauf pour les points d'un ensemble de mesure nulle.

Soit maintenant la fonction sommable /, reprenant les notations de la page loi nous considérons /comme la limite vers laquelle les fonctions cp tendent en croissant quand le maximum de //|, — // tend vers zéro. c2 est la dérivée de son intégrale indéfinie, sauf pour un ensemble de mesure nulle, car c'est une somme de fonctions ^. On déduit de là, en faisant tendre //|j — U vers zéro, que les nombres dérivés de l'intégrale indéfinie F de / sont au moins égaux à f sauf aux points d'un ensemble de mesure nulle, car dans tout intervalle l'accroissement de l'intégrale de /est au moins égal à celui de l'intégrale de o. De même, en considérant les fonctions <î> qui tendent vers /en décroissant, on voit que ces nombres dérivés sont, sauf en un ensemble de mesure nulle, au plus égaux à /, donc V intégrale indéfinie cV une fonction sommable admet

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LES FONCTIONS SOMMABLES. 125

cette fonction pour déi'wée sauf aux points d^ un ensemble de mesure nulle (^ ).

Si l'on rapproche cet énoncé de la définilion proposée à la page 94, on reconnaît cjue cette définition est exactement équivalente pour les fonctions bornées à celle étudiée dans ce Chapitre. L'intégration des fonctions sommables bornées est donc, en un certain sens, l'opération inverse de la dérivation.

VIL — La rectification des courbes.

Soit une courbe rectifiable

définie dans (a, b) par les fonctions ,T(t)., j'(i)^ z{t) à nombres dérivés bornés. Ces fonctions admettent toutes trois à la fois des dérivées, sauf pour un ensemble de valeurs de t de mesure nulle, E, et soit C le complémentaire de E. Nous allons démontrer que la lonoaeur de la courbe est

/ =z / ^x'{t)'^-^ y{tY-^z'{ty^dt.

Remarquons d'abord que, dans un intervalle (^o, t,s\ l'arc .v croît au plus de M \/3(^i — t^\ si les nombres dérivés de ^, r, z sonl inférieurs en valeur absolue à M. Donc on peut enfermer les points de E dans des intervalles A dont la contribution dans s est inférieure à £ et dont la contribution dans l'intégrale / est aussi inférieure à s. Ceci posé, partageons l'intervalle fini de variation de

à l'aide de nombres U tels C[ue U^^ — It soit inférieur à s. e^ étant l'ensemble E[l,i<lp[t)^ in^i)j nous pouvons enfermer e^ dans des

(1) On pourrait déduire de ce résultat la possibilité d-intégrer par partie. Le raisonnement qui vient d'être employé conduit à une autre propriété :

Toute fonction mesurable est continue, sauf aux points d'un ensemble de mesure nulle, quand on néglige les ensembles de mesure e, si petit que soit s.

Voir BoREL, Comptes rendus, 7 décembre 190.3 ; Lebesgue, Comptes rendus, 28 décembre igoS.

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intervalles A^^ dont les parties communes avec d'autres A„^^ ont une longueur totale au plus égale à a^^ ; les nombres a,^ étant tels que la série S | 4 | a^^ soit convergente et de somme s. A tout point / de ep attachons le plus grand intervalle (^, l-hh) d'origine t^ de longueur au plus égale à s, intérieur à celui des A^^ qui contient / et tel que

A un point t de E, nous attachons le plus grand intervalle (t^ t -f- li) d'origine /C, de longueur au plus égale à s et contenu dans celui des A qui contient t.

Avec ces intervalles, on peut couvrir (o, i), à partir de o, par une chaîne d'intervalles qu'on peut employer pour le calcul de J'arc. Cela donne une valeur approchée de l'arc différant de moins de ^{h — a) -h £ de a :==.^li ni[A\)^ en désignant par A' les intervalles employés provenant des points de et. Les points de A/ qui ne font pas partie de A'^- sont des points de A ou de A/^y(y ^ o). Or les points de <C contenus dans A fournissent, dans

une contribution qui diffère de moins de e(b — a) de l'intégrale de p{t) dans A; c'est-à-dire qu'ils donnent une contribution au plus égale à e(b ■ — ■ a) -h e. D'autre part, les points des A^ qui font partie des A/^y(y ^ o) fournissent, dans o-i , une contribution au plus égale à S//| ai \ = s. Donc a-, — a- tend vers zéro avec s et comme, dans ces conditions, a•^ tend vers /, la propriété est démontrée.

La fonction s{t')^ qui représente l'arc, étant l'intégrale indéfinie dep(t)^ admet p{i) pour dérivée, sauf pour les points d'un ensemble de mesure nulle.

Ainsi lorsqu^ une courbe recti fiable est définie à V aide de fonctions de t à nombres dérivés bornés, on a la relation

sauf pour des valeurs de t formant un ensemble de mesure nulle (' ).

(^) En reprenant les raisonnements employés, on verra facilement dans quelle

LES FONCTIONS SOMMABLES.

Considérons une courbe rectifîable ; exprimons ses coordonnées à l'aide de l'arc s (^); alors on a, en général,

Soit a- ]'arc de la courbe (^, JK, o) projection sur le plan des xj; cr est une fonction de 5 à nombres dérivés bornés et l'on a

sauf pour an ensemble de points de mesure nulle.

De là résulte que l'ensemble A des points où c^ et z'^ sont nuls en même temps est de mesure nulle. Sauf aux points de A,

~ a une valeur déterminée finie ou infinie. Si o-^ est nul et z'^ non

nul, la courbe a une tangente parallèle k oz; si s n'appartient pas à A et si 0"^ est différent de o, puisque cr'/ = x'/ -hjK^", x^ et y^ ne sont pas nuls à la fois, la courbe a une tangente.

Les courbes rectifiahles ont donc en général des tangentes, les points où il n'y a pas de tangentes correspondent à un ensemble de valeurs de l'arc dont la mesure est nulle (-). Ce sont ces points que l'on peut négliger dans le calcul de l'arc à l'aide de l'intégrale de y/^^2 j y2^^'2^

Soit/(^) une fonction à variation bornée continue, appliquons la propriété qui précède à la courbe j/ =y'(^). Cette courbe a, en général, des tangentes (^); si s est son arc, x^ et jk'^ existent sauf pour un ensemble de valeurs de 5 de mesure nulle. Sauf aux points de cet ensemble et à ceux de l'ensemble E où x'^ est nulle, y\^ existe et est finie. Je dis que E est de mesure nulle.

inesLire les résultats précédents sont indépendants de Phypothèse que.r(^), y(^), z^f) sont à nombres dérivés bornés. On verra aussi que les nombres dérivés peuvent remplacer les dérivées dans l'expression de l'arc lorsqu'ils sont bornés. Gomme

cas particulier, on trouvera que la variation totale de l f dx est 1 \f\ dx .

(1) Gela n'est possible que si x^ y tl z ne restent pas tous trois constants dans un certain intervalle.

(^) Malgré la restriction signalée dans la Note précédente cet énoncé est tout à fait général.

(2) Car X ne restant jamais constant, puisque c'est lui le paramètre, nous ne sommes pas dans le cas d'exception signalé aux notes précédentes.

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S'il n'en était pas ainsi, les points où l'un, eonvenablenient choisi, des quatre nombres dérivés de f{oo) serait infini, formeraient un ensemble de mesure non nulle. On pourrait alors reprendre le raisonnement des pages 121 et i 22 pour évaluery(^) à l'aide de ce nombre dérivé Kf(x)^ mais parmi les // figurerait l'un des nombres l^ = — oc, /^^ '-= -j- 00, et l'on aurait les ensembles e^, e^^, l'un d'eux étant de mesure non nulle (^). L^intervalle que l'on attacherait au point x de e^^ serait le plus grand intervalle (,x', x' -h h) de longueur au plus égale à £, contenu dans celui A^,^ des \^^ contenant x et tel que l'on ait

M étant choisi arbitrairement. La chaîne d'intervalle correspondante donnera une valeur approchée de la variation totale qu'on

pourra faire croître indéfiniment avec M et - si /^^ est de mesure

non nulle et si l'on a pris

ceci est contraire à l'hypothèse, E est de mesure nulle.

Or, par hypothèse, /{x) est variation bornée, donc x\ est nul pour un ensemble de valeurs de s de mesure nulle, y',^ existe donc et est finie sauf pour un ensemble de valeurs de s de mesure nulle . Mais aux valeurs de 5, formant un intervalle S, correspondent des valeurs de x formant un intervalle o^ au plus égal à 5; si l'on enferme les valeurs de s d'un ensemble E dans des intervalles de longueur totale /, les valeurs correspondantes de x forment un ensemble El qu'on peut enfermer dans les intervalles correspondants de longueur totale au plus égal à /. A un ensemble de valeurs de s de mesure nulle correspond donc un ensemble de valeurs de x de mesure nulle.

// est ainsi démontré que toute fonction à varicition bornée f{x) a une dérivée finie sauf pour les valeurs de x dUtn ensemble de mesure nulle. Le raisonnement de la page 122, tel qu'il vient d'être complété, montre même que cette dérivée

(') Les nolaLions sont celles indiquées à la page 121.

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LES FONCTIONS SOMMABLES. 129

est sommable dans l'ensemble des points où elle est finie, mais sa fonction primitive n'est pas nécessairement ,/(^), comme le montre l'exemple de la fonction ^(x) de la page 55. Le théorème qui vient d'être démontré est donc différent de celui concernant la dérivation des intégrales indéfinies; en d'antres termes, il existe des fonctions continues à variation bornée, ?(^) par exemple, qui ne sont pas des intégrales indéfinies (^).

(') Pour qu'une fonction soit intégrale indéfinie, il faut de plus que sa variation totale dans une infinité dénombrable d'intervalles de longueur totale /, tende vers zéro avec /.

Si, dans Pénoncé de la page 9^, on n'assujettit pas /{ce) à être bornée, ni F (x) à être à nombres dérivés bornés, mais seulement à la condition précédente, on a une définition de l'intégrale équivalente à celle développée dans ce Chapitre et applicable à toutes les fonctions sommables, bornées ou non.

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