L'intégration des fonctions continues
L'intégration a été définie tout d'abord comme l'opération inverse de la dérivation; c'est l'opération permettant de résoudre le problème des fonctions primitives :
Trouver les fonctions ¥[x) ciui admettent pour dérivée une fonction donnée f{oo).
On sait que, si ce problème est possible, il l'est d'une infinité de manières, et que toutes les fonctions primitives Y[x) d'une même fonction /*(^) ne diffèrent que par une constante additive. Ce qu'on se propose, c'est de trouver l'une quelconque des fonctions F(^).
A l'époque où le problème des fonctions primitives fut posé sous la forme que j'indique, c'est-à-dire à l'époque de Newton et de Leibnitz, le moi fonction avait un sens assez mal défini. On appelait ainsi, le plus souvent, une quantité y liée à la variable x par une équation où intervenait un certain nombre des symboles
d'opérations que l'on avait l'habitude de considérer. Les principales de ces opérations étaient : les opérations arithmétiques (addition, soustraction, multiplication, division, extraction de racines), les opérations trigonométriques (avec les signes sin, cos, tang, arc sin, arc cos, arc tang), les opérations logarithmiques et exponentielles (avec les signes log, a^).
Pour un grand nombre de fonctions exprimées de cette manière on avait pu exprimer, de la même manière, les fonctions primitives, de sorte qu'il apparaissait comme certain que toute fonction admet une fonction primitive. D'ailleurs on pouvait répondre à qui doutait de cette proposition.
Soit {^fig. i) la courbe F, yz=zf{x), représentant la fonction
Fig. I.
ri
y/;...^ Xj^
! t Vf 1
7 JD
donnée /(^•); les axes sont rectangulaires. Supposons pour simplifier /(^) positive; soient a A, 6B deux parallèles à l'axe des j^, d'abscisses a et x. Ces deux parallèles, l'arc AB de F, le segment ah de Ox, limitent un domaine d'aire S(,z'). En évaluant l'accroissement ^BCc de cette aire, on voit que / (-^) est la dérivée de S(^) (\).
Remarquons que dans les considérations précédentes le mot fonction a déjà reçu une extension considérable. La relation entre S(^) et X est en effet une relation géométrique et non plus une
(^) Pour la démonsLraLion et pour le cas où f{x) n'est pas toujours positive voir GouRSAT, Cours cV Analyse mathématique^ t. I, Gliap. IV, ou Hu.mberï, Cours d'Analyse professé à l'Ecole Polytechnique, t. I, 2" Partie, Ghap. III.
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relation algébnque-trigonométrique-logarlthmique. De telles relations étaient encore considérées comme définissant des fonctions; seulement, on distinguait soigneusement entre les figures géométriques définies à l'aide de lois exprimables par des égalités géométriques et les figures qui n'étaient pas définies ainsi. Les courbes jk=/(^) de la première espèce ou courbes géométriques définissaient des fonctions f{x)\ les courbes de la seconde espèce ou courbes arbitraires ne définissaient pas de vraies fonctions. Lorsqu'on employait le mol fonction pour ces deux espèces de correspondance entre y et x^ on distinguait les premières en les appelant /o/^c^/o/^5 continues (^).
11 j avait aussi une catégorie intermédiaire de fonctions, celles qui étaient représentées à l'aide de plusieurs arcs de courbes géométriques; on les considérait plus volontiers comme formées de parties de fonctions.
Les fonctions continues étaient les vraies fonctions. On donnait ainsi au vaol fonction un sens assez restreint parce qu'on croyait que toute fonction continue, définie géométriquement ou non, était susceptible d'une définition analytique, de la nature de celles dont il a été parlé précédemment, et qu'on croyait cela impossible pour les fonctions non continues.
Mais Fourier montra que les séries trigonométriques, qui pouvaient être employées dans des cas étendus à la représentation des fonctions continues, pouvaient servir aussi à la représentation de fonctions non continues formées de parties de fonctions. En particulier une fonction nulle de o à tu, égale à i de tc à 2 7r, admet un développement trigonométrique convergent. Le seul critère, permettant de distinguer les vraies fonctions des fausses, disparaissait. 11 fallait, ou bien étendre le sens du mot fonction, ou bien restreindre la catégorie des expressions algébriques, trigonométriques, exponentielles qui pouvaient servir à définir des fonctions.
Gauchy remarqua que les difficultés qui résultent des recherches de Fourier se présentent même lorsqu'on ne se sert que d'expressions très simples, c'est-à-dire que, suivant le procédé employé pour donner une fonction, elle apparaît comme continue ou
(^) Cette continuité est connue sous le nom de continuité eulérienne.
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non. Gauclij cite, comme exemple, la fonction égale à H- ^ pour X positif, à — X pour x négatif. Cette fonction n'est pas continue, elle est formée de parties des deux fonctions continues -\-x et — x\ elle apparaît au contraire comme continue quand on la note -f- \l x- ,
Pour conserver aux mots fonction continue leur sens primitif, il aurait donc fallu ne considérer que des expressions analytiques très particulières (^); Gaucliy préféra modifier considérablement les définitions.
Pour Gauchy y est fonction de x quand^ à chacun des états de grandeur de x^ correspond un état de grandeur parfaitement déterminé de y.
Cette définition paraît la même que celle donnée plus tard par Rieiïiann, mais en réalité les correspondances que Cauciiy considère sont encore celles qu'on peut établir à l'aide d'expressions analytiques, car, après avoir défini les fonctions, Gauchy ajoute : les fonctions sont dites explicites si l'équation qui lie x k y est résolue en j^, et implicites si cela n'a pas lieu. Le fait que les correspondances sont établies à l'aide d'expressions analytiques n'intervient jamais dans les raisonnements de Gauchy, de sorte que les propriétés obtenues par Gauchy s'appliquent immédiatement ainsi que leurs démonstrations aux fonctions satisfaisant à la définition de Pûemann (-).
Pour Gauchy une fonction f{x) est continue pour la valeur ^o si, cjuel cjue soit le nombre positif z^ on peut trouver un nombre
(^) C'est ce que fait M. Méray qui donne au mol fonction un sens très voisin de celui qu'on donnait autrefois aux mots fonction continue. M. Méray définit les fonctions par les séries de Taylor et le prolongement analytique; lorsqu'on adopte les définitions de M. Méra3% l'existence des fonctions primitives résulte immédiatement des propriétés des séries entières.
Mais, si l'on applique les définitions de M. Méray aux fonctions de la variable complexe, on se trouve conduit nécessairement, comme me l'a fait remarquer M. Borel, à considérer des fonctions discontinues d'une variable réelle. Par exemple, lorsqu'une série de Taylor est convergente sur son cercle de convergence, ses valeurs, sur ce cercle, peuvent définir deux fonctions réelles discontinues de l'argument.
(^) Je ne veux pas dire que la définition de Gauchy soit moins générale que celle de Riemann ; on ne connaît actuellement aucune fonction riemannienne qui n'admette pas de représentation analytique. Seulement, s'il existe des fonctions qui satisfont à la définition de Riemann, sans satisfaire à celle de Gauchy, elles ne seront pas exclues des raisonnements.
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ri (e) tel que l'inégalité | /z j ^ '^ (s) entraîne !/(^o+A)-/(^o)|^e;
la fonction J\x) est continue dans (a^ b) si la correspondance entre s et ri (t) peut être choisie indépendamment du nombre x^^ quelconque dans (a, b).
On reconnaît là les définitions aujourd'hui classiques.
Pour démontrer l'existence des fonctions primitives des fonctions continues, il suffit de reprendre la démonstration géométrique indiquée précédemment. Dans cette démonstration on a fait appel à la notion d'aire. Cette notion, déjà assez peu claire lorsqu'il s'agit de domaines limités par des courbes géométriques simples comme le cercle ou l'ellipse, le devient moins encore lorsqu'il s'agit des domaines intervenant dans la démonstration qui nous occupe.
Les courbes F qui limitent ces domaines ne sont plus nécessairement des courbes géométriques, elles peuvent être formées de parties de courbes géométriques (j/ = H- \/^"); on sait donc qu'elles peuvent être compliquées sans savoir où s'arrête cette complication. Aussi Cauchy crut devoir préciser ce que l'on doit entendre par le nombre S(^) de la démonstration précédente ('); il lui suffit pour cela de reprendre les opérations qui servaient ordinairement à calculer des valeurs approchées de S(^) considérée comme aire et de démontrer que ces calculs conduisaient à un nombre limite. On a ainsi la démonstration maintenant classicjue de l'existence des fonctions primitives.
Soit (a, X) l'intervalle que nous considérons. Divisons (a, X) en intervalles partiels à l'aide des nombres croissants
et formons la somme
S = {ai — ao)f{^i) -H {a.2—ai)f{a;2) -+-• • •+ {a„— au-\)J'{oo,,),
où Xi est un nombre quelconque compris entre a/, et a/. On démontre que S tend vers un nombre déterminé S(X) quand le
(^) C'est-à-dire qu'il crut devoir définir Taire d'une façon précise.
maximum de ai^ — ai tend vers zéro d'une manière quelconque (^ ).
Le nombre S(X) ainsi obtenu s'appelle \ intégrale définie de ]a fonction /(^) dans l'intervalle (a, X). Depuis Fourier, on le
représente par la notation / /(^) dx.
Ce symbole n'a jusqu'à présent de sens que dans les intervalles positifs (a, X), (X^a); par définition, on pose
/ f{oo) dx -f- / f{ot') dx = o.
da ' ^^X
Il est évident que l'on a, quels que soient a, 6, c,
d a du de
Remarquons encore qae si L et / sont les limites supérieure el
inférieure de f{oc) dans (a, b)^ j f{x)dx est comprise entre
L(^ — a^ et l{b — a). La fonction continue f{x) prenant toutes les valeurs entre / et L, y compris les valeurs / et L, on peut écrire
f f{x)dx = {b~a)fa),
\ étant compris entre a et Z> (2), c'est le théorème des accroissements finis.
Le nombre S(X) étant maintenant défini d'une manière précise, on démontre l'existence de la fonction primitive de/'(^) sans difficulté. En effet, on a
^h I f{^)dx=f(xo-^^h),
égalité qui démontre que la fonction S(^) est continue et a pour dérivée /(j;).
(^) Voir, par exemple, les deux Ouvrages cités page 2 ou le Tome I du Ti-aité d^ Analyse de M. Picard.
(^) Cette démonstration n'exclut pas les égalités \^=ia, \^=.h. Dans certains cas il est bon de prévoir qu'on peut choisir \ différent de a et ^; la démonstration est immédiate.
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La fonction S(X) qui figure dans la démonstration j3récédente ou plus exactement la fonction
S(X) + K==K-i- f f{x)dx=K^-^ f f{x)dx,
dans laquelle K et K^ sont des constantes quelconques et a une valeur de x prise dans l'intervalle où f{x) est définie, s'appelle
Vintégrale indéfinie de la fonction f{x) et se note / f{x) dx.
On voit que l'intégrale indéfinie d'une fonction /(^) est la fonction F(^) la plus générale telle que Ton ait, quels que soient a et [i dans l'intervalle où /(^) est définie,
(i) F(j3)-F(«)= / f{x)dx.
On voit aussi que, pour les fonctions continues, il y a identité entre les intégrales indéfinies et les fonctions primitives (^ ).
