II. — L intégration des fonctions discontinues

Dans ce qui précède, l'intégrale définie apparaît comme un élément permettant de calculer la fonction primitive ; dans la pratique, les fonctions primitives servent, au contraire, au calcul des intégrales définies. Ces intégrales définies, qui sont des limites de sommes dont le nombre des termes augmente indéfiniment tandis que la valeur absolue de ces termes tend vers zéro, se rencontrent dans un grand nombre de questions d'Analyse, de Géométrie et de Mécanique (-). Pour le calcul de certaines de ces

(^) Gela ne serait plus vrai si l'on n'introduisait pas la constante K dans la définition de l'intégrale indéfinie.

(2) L'application la plus simple de la notion d'intégrale est la quadrature des domaines plans. A cause de cette application, on a fait souvent remonter la notion d'intégrale définie à Archimède et à la quadrature de la parabole. Il est vrai que beaucoup de quadratures ont été effectuées avant l'introduction du Calcul intégral, mais les géomètres n'attachaient aucune importance particulière aux domaines bien spéciaux dont il faut calculer les aires pour avoir des intégrales définies. L'importance de ces domaines n'est apparue qu'après l'introduction de la notion de dérivée.

Hosted by

limites de sommes, par exemple pour la définition et le calcul de l'aire comprise entre une courbe et son asymptote, Fintëgration des fonctions continues ne suffisait plus; on a été ainsi conduit à s'occuper de l'intégration des fonctions qui sont infinies en certains points ou au voisinage de certains points. D'autre part, pour certaines applications des intégrales définies, par exemple pour le calcul des coefficients de la série trigonométrique représentant une fonction donnée, il semblait y avoir avantage à définir l'intégrale d'une fonction qui, tout en restant finie, est discontinue en certains points. Aussi, dès l'introduction de la notion d'intégrale définie, a-t-on étendu cette notion à certaines fonctions discontinues.

On a été conduit à la définition qui sera donnée plus loin en posant en principe l'identité, constatée dans le cas des fonctions continues, de l'intégrale indéfinie et de la fonction primitive.

Considérons la fonction f{x) qui, pour ^ ^ o, est égale à yj^'

Les seules fonctions continues qui admettent, sauf pour ^ = o,

une dérivée égale k f[x) sont données par la formule K + - \/ x- ;

on a dit que F(^*) = K 4- \/x' était l'intégrale indéfinie de/(^),

et la formule (i) donnait l'intégrale définie àe f[x) dans un intervalle quelconque (a, j3).

Soit encore la fonction f{x) (considérée par Fourier) égale à — I pour X négatif, à + i pour x positif ('). Les seules fonctions continues qui admettent f{x) pour dérivée, sauf pour la valeur singulière ^ = 0, sont les fonctions (considérées par Cauchy) ¥s.-\-sJx-] si l'on considère ces fonctions comme des intégrai es indéfinies, on en déduit la valeur de l'intégrale définie de/(^) dans tout intervalle (-).

(^) Cette fonction, non déiinie pour ^ = 0, admet, comme on sait, un développement trigonométrique; on peut aussi la noter — •

(2) Il est bon d'ajouter que les intégrales définies, que l'on peut ainsi attacher aux deux espèces de fonctions discontinues que l'on vient de considérer, permettent d'exprimer les coefficients du développement trigonométrique des fonctions à l'aide des formules d'Euler et de Fourier qui servent dans le cas des fonctions continues.

Hosted by

L INTEGRALE AVANT RIEMANN.

Gaiichy énonce d'une manière très précise la définition dont on vient de voir deux applications. Pour lui, si une fonction f[x) est continue dans un inter^'cdle {cij b)^ sauf en un point c, au voisinage duquel f{x) est bornée ou non ('), on peut définir l'intégrale de f{x) dans (a, b) si les deux intégrales

f{x)dx et / f{œ)dx

tendent vers des limites déterminées quand h tend vers zéro; alors on a par définition

f{x) dx = lim

f{x)dx-\- / f{oc) dx

Si dans (a, b) il existe plusieurs points de discontinuité, on partage (a, b) en assez d'intervalles partiels pour que, dans chacun d'eux, il n'existe plus qu'un seul point singulier; on applique à chaque intervalle la définition précédente, si cela est possible; on fait ensuite la somme des nombres ainsi obtenus.

C'est à ces définitions que se rattachent les critères connus relatifs à l'existence des intégrales des fonctions infinies autour d'un point.

Pour des recherches relatives à la théorie des fonctions et en particulier pour l'étude des séries trigonomé triques, Lejeune-Dirichlet a étendu la notion d'intégrale. Les recherches de Lejeune- Dirichlet, qu'il avait annoncées lui-même, n'ont jamais été publiées; mais, d'après Lipschitz, on peut les résumer comme il suit.

Soit une fonction f(x) définie dans un intervalle fini (a^ Z>), dans lequel il faut l'intégrer; soit e l'ensemble des points de

(^) Cauchy ne se préoccupe pas de la valeur de la fonclion pour x = c. D'ailleurs, pour lui, si f{x) tend vers une valeur déterminée quand x tend vers c, ceuLe valeur limite est/(c); s'il n'eu est pas ainsi, /(c) est l'une quelconi|ue des valeurs comprises entre la plus petite et la plus grande des limites de f{x). Dans quelques Mémoires, P. du Bois-Reymond a repris ces conventions.

(") Cauchy s'occupe aussi du cas où le second membre de cette égalité aurait un sens, sans que les deux intégrales qui y figurent aient des limites. Dans ce

cas, il appelle ce second membre la valeiw principale de l'intégrale I f{x) dx.

Hosted by

lO CHAPITRE I.

discontinuité de f{x). Si e ne contient qu'un nombre fini de points, nous appliquons les définitions de Caucliy.

D'après Lipscliitz, le cas qu'étudie Dirichlet est celui où le dérivé e' de e ne contient qu'un nombre fini de points, comme

cela se présente, par exemple, pour la fonction -•, où e' ne cousin —

tient que \3? = o.

Les points de e' divisent alors (a, h) en un nombre fini d'intervalles partiels, soit (a, |3) l'un d'eux. Dans (a + A, [3 — /f), il n'y a qu'un nombre fini de points de e. Si dans cet intervalle les définitions de Cauchy ne s'appliquent pas, on dira que la fonction n'a pas d'intégrale dans (a, b). Si au contraire elles s'appliquent,

on considère l'intégrale / f{^) dx et l'on fait tendre simulta-

nément h et k vers zéro suivant des lois quelconques. Si l'on n'obtient pas une limite déterininée, f(x^ n'a pas d'intégrale dans (a, 6); si au contraire on a une limite déterminée, on pose

/ f{x)dx— lim / f\x) dx.

L'intégrale dans (a, b) est, par définition, la somme des intégrales dans les intervalles (a, (3).

On voit c[ue la définition de Diriclilet repose sur les mêmes principes que celle de Cauchy; la définition générale qui découle de ces principes peut s'énoncer ainsi :

Une fonction f{x) a une intégrale dans un intervalle fini (a, b) s^il existe dans (a^ b) une fonction continue F(^), et une seule à une constante additive près^ telle cjue Von ait

dans tout intervalle où f{x) est continue. ¥ [x) est U intégrale indéfinie de f{x) et Von a

b f{x)dx^ ¥(b)~¥{a).

Pour que cette définition s'applique, il faut d'abord c[u'il existe

Hosted by

l'intégrale avant RIEMANN. I l

une fonction continue F(^) vérifiant la formule (i). Ceci revient, dans les deux cas traités par Cauchy et Dirichlet, à supposer l'existence des limites qui ont servi dans la définition. Nous supposerons cette condition remplie et nous allons chercher comment doivent être distribués les points singuliers de f{x) pour que cette fonction ait une intégrale. Au point de vue qui nous occupe, les points singuliers de/(^) sont ceux qui ne sont intérieurs à aucun intervalle dans lequel /(^) est continue; ce sont donc les points de e et ceux de é ^ ces points forment un ensemble que nous désignerons par E. Tout point limite de points de E, par sa définition même, est aussi point de E; E contient donc tous ses points limites. C'est un des ensembles que M. Jordan ^J^^^^e parfaits et M. Borel relativement parfaits; nous appellerons un tel ensemble un ensemble fermé.

Pour que la formule (i) définisse entièrement F(,r), il faut que, dans tout intervalle, il en existe un autre où f{x) est continue. L'ensemble E doit donc être tel que, dans tout intervalle, s'en trouve un autre qui ne contienne pas de points de E ; c'est ce que l'on exprime en disant que E doit être non dense dans tout intervalle (^).

Cette propriété de E n'est nullement suffisante ; pour énoncer la propriété nécessaire et suffisante que doit vérifier E, il faut avoir recours aux propriétés des ensembles dérivés.

L'ensemble fermé E a des dérivés successifs E', E'^, . . . , E^, ... ; on sait que, si l'un des dérivés est nul, E est dit réductible, c'est un ensemble dénombrable ; sinon l'un des dérivés est parfait, E et tous ses dérivés ont la puissance du continu (2).

Ce sont ces propriétés qui vont nous servir. Supposons qu'il existe une fonction ¥ [x) satisfaisant à l'égalité (i) dans tous les

(^) P. du Bois-Reymoad, auquel est due la distinction des deux classes remarquables d'ensembles, que nous appelons ensembles denses dans tout intervalle d'une part et ensembles non denses dans tout intervalle d'autre part, appelle les premiers systèmes pantachiques ou pantachies et les seconds systèmes apantachiques ou apantachies. C'est aussi du Bois-lHeymond qui a donné le procédé général de formation des ensembles fermés et des apantachies, procédé qui consiste à enlever d'un intervalle des intervalles en nombre fini ou dénombrable convenablement choisis. Au sujet des ensembles fermés et des ensembles non denses, voir Borel, Leçons sur la théorie des fonctions, Chapitre III.

(^) Voir la Note placée à la fin du Volume.

Hosted by

intervalles où f{^x) est continue et recherchons si F(^) est bien déterminée; lorsqu'il en sera ainsi, l'égalité (i) servira de définition à l'intégrale.

Nous nous appuierons sur cette remarque évidente : si Tintera grale / f{x) dx^ qui figure au premier membre de (i), a un sens

dans tous les intervalles qui ne contiennent aucun des points .r<, ^o, ..., x,i^ en nombre fini, les différentes fonctions continues F(^) satisfaisant toujours à l'égalité (i) ne peuvent différer que par une constante.

Si E ne contient qu'un nombre fini de points, F(^) est donc bien déterminée, d'où la définition de Cauchy.

Le premier membre de (i) a maintenant un sens dans tout intervalle ne contenant pas de points de E^; donc, si E^ n'a qu'un nombre fini de points, F(^) est bien déterminée, d'où la définition de Dirichlet-Lipschitz,

On passe de là au cas où E^^, E'^^, ..., E^' ne contient qu'un nombre fini de points.

Dans tout intervalle où E^ n'a pas de points, F(^) est donc bien déterminée (') et, par suite, le premier membre de (i) a un sens dans un tel intervalle; de là on conclut que F(^) est bien déterminée quand E^ n'a qu'un nombre fini de points. On passe ensuite au cas où E^^% E^+-, . . . n'a qu'un nombre fini de points; puis au cas où c'est E-^ qui jouit de cette propriété, et ainsi de suite.

Nous voyons ainsi que, si E est réductible, F(^) est bien déterminée, de sorte que notre définition s'applique; il existe alors une intégrale que l'on obtient par l'application répétée de la méthode de Cauchy-Dirichlet.

Pour avoir des exemples de fonctions auxquelles s'applique cette méthode, il suffit de prendre un ensemble réductible E, de ranger ses points en suite simplement infinie, ^27,, ^o? • • •? et de former la

J{X) — S 1 11 1 S 1 II h ... H SI 11 h . . . ( 2 ) .

X — Xi 1 X X^ -iP X — Xp-^i

(') Car, clans un tel intervalle, l'un des E'' n'a qu'un nombre fini de points. (-) D'après les propriétés des séries uniforniément convergentes, y (v?7) a tous

Hosted by

l'intégrale avant RlEiMANN. [3

Supposons maintenant que l'ensemble E des points singuliers de /(^) ne soit pas réductible. Nous allons voir que, s'il existe une fonction ¥ (x) satisfaisant à la condition (i) dans tout intervalle oiif(x) est continue, il en existe une infinité.

Soit E^ celui des dérivés de E qui est parfait; E^ s'obtient en enlevant de l'intervalle considéré (a, b) les points intérieurs à des intervalles Si, O2, . . ., qui forment une suite dénombrable si E est non dense dans tout intervalle, ce qui est le seul cas qui nous intéresse ( • ) .

Définissons une fonction 'o{^x) par la condition d'être nulle pour X ■=. a^ égale à 1 pour x:=^b. En tous les points de 3^,

cp(.r) = -• En tous ]es points de ôo, 'f (^) = 7' si Sg est entre a

et S^ ; et ç(^) = » si o^ est entre S^ et b. D'une façon générale,

ayant attribué à 'f(^), dans Si, 82, ..., S/^^, les valeurs A^,

A2, ..., A/^.„i, on attribue à 'f (^), dans S,^, la valeur ~ -y ^et

y étant les indices des deux intervalles ô^, S2, ..., S/^, qui comprennent S/;.

Tout point de E^ est limite de points de certains intervalles S/^ ; il est facile de voir que si des points de S^^^, S^,, . . . tendent vers x^ Aoij, Aq^^, . .. tendent vers une limite déterminée; on prend cette limite pour valeur de o (x). c^ (x) est ainsi partout déterminée, c'est une fonction continue non constante dans (a, b) et, cependant, constante dans tout intervalle ne contenant pas de points de E. De sorte que, s'il existe une fonction F (:^) satisfaisant à l'égalité (1), dans tout intervalle où il n'y a pas de points de E, F (x) + 'f ('^') satisfait aussi à cette condition.

Maintenant, si l'on remarque que E et ^ sont réductibles en même temps (-), on voit que, pour que la définition adoptée

les points de E pour points de discontinuité. On verra facilement que la série précédente est intégrable ternie à terme.

Pour des exemples d'ensembles réductibles, voir la ÎSote.

(/) Car si E est dense dans un intervalle, F(^) est certainement indéterminée.

(2) Il faut bien remarquer que e peut être dénombrable sans que E le soit, e est alors un ensemble dénombrable non réductible; c'est le cas de l'ensemble des nombres rationnels.

Hosted by

l4 CHAPITRE I.

s^ applique y il faut et il suffit que V ensemble des points de discontinuité de la fonction et intégrer f(^x) soit réductible et qu'il existe une fonction continue F(^) vérifiant (i) dans les intervalles oiif{x) est continue.

Hosted by