Formes mixtes. Elles renferment simultanément, en outre

des coefficients, des coordonnées points et des coordonnées lignes. En égalant à zéro une forme mixte qui comprend une seule série de chacune de ces variables, à chaque point x du plan correspond une courbe enveloppée par les lignes u, à chaque ligne u ime courbe décrite par les points x. On n'a jusqu'à présent considéré ces figures que superficiellement et l'on y était conduit par des formations covariantes en partant de formes primillNcs à coordonnées points ou à coordonnées lignes. Cependant, si l'on lient à être absolument systématique et complet, il est nécessaire de partir de ces formes mixtes ellesmêmes comme formes originaires. Nous reviendrons plus tard sur ce sujet ( * ).

Nous avons à peine besoin de faire remarquer que l'on rencontre encore des invariants absolus (2), c'est-à-dire des fonctions qui

(') Voir le dernier Chapitre du t. III.

(') Leur nombre pour une forme d'ordre n est

car, en cflectuant une transformation linéaire, on peut toujours assigner des râleur» quelconques à 9 coefficients de la forme. Voir la démonstration correspondante pour les formes binaires, p. 3 10, et Aro:<uold, Journal de Crelle, t. 62.

iTraoDCcno:! a la tbéoiib des foimes alcébrioces. 333

restent complètement invariables en cas de transformation linéaire, et qui sont donnés comme dans les formes binaires par les quotients de puissances convenables d'invariants (p. 244)« Nous comprendrons par la suite toutes ces formations sous le nom àHnvariants fonctionnels. Nous les rangerons suivant leur degré par rapport aux. coefficients de la forme primitive, suivant leur ordre relativement aux coordonnées points et suivant leur classe relativement aux coordonnées lignes.

Ici se présente naturellement la question de savoir s'il est possible de caractériser d'une manière tout à fait générale la constitution extérieure des formations semblables, ainsi que nous y sommes parvenus dans les formes binaires pour les invariants et les covariants. Ce résultat peut être, en effet, atteint et nous y serons conduits par un système de notation symbolique tout à fait analogue à celui qui a été employé lorsqu'il s'agissait de deux variables, et qui pour cette raison ne nécessitera que de courts éclaircissements. Cette notation symbolique repose sur le remplacement d'une forme ternaire du n'*"* ordre relativement aux quantités x ou a, par la n'**"' puissance d'une expression linéaire, de sorte qu'elle se présente sous la forme

OU

On a ainsi à ramener les invariants fonctionnels d'une forme primitive à ces fonctions linéaires, comme il a été fait à l'égard des formes binaires. On peut, en effet, d'une manière déterminée et sans ambiguïté, revenir de l'expression symbolique de la forme dont il s'agit à son expression effective lorsque, dans cette forme, les coefficients de a" entrent linéairement. Si maintenant la formation est du />•*"* degré par rapport aux coefficients de «", nous pouvons, par application du procédé invariant,

où les «/désignent les coefficients effectifs dey, les hi ceux d'une autre formel qui est du même ordre que^par rapport aux variables, déduire de II une autre fonction invariante qui soit du degré p — i par rapport aux coefficients dey et du premier degré par rapport

334 TOME l. — CHAPITRE III.

aux coefficients de f. En répétant p — i fois ce procédé, qui introduira à chaque fois les coefficients d'une nouvelle forme, nous obtiendrons finalement une fonction invariante simultanée qui renfermera linéairement les coefficients de chacune des /a formes différentes du n'*™* ordre, et de laquelle nous pourrons revenir sans ambiguïté à la fonction originaire H si nous remplaçons successivement les symboles des différentes formes employées par les coefficients effectifs de l'une des formesy. Si l'on imagine, d'autre part, que les différentes formes auxiliaires du n'*""" ordre soient remplacées'par les puissances de formes linéaires ^^, c", é?^. Il est représenté comme invariant simultané de formes linéaires. Ainsi ^ par exemple, l'invariant d'une section conique y= «^. = o apparaît comme invariant simultané de trois formes a^., ^j^, cj.'. Si, en effet, dans la première ligne horizontale du déterminant

nous posons a,A = «t« o-ki dans la seconde a,/; = hih^, dans la troisième aih = CiCji, il vient

ou, si nous introduisons dans la seconde ligne les ö, dans la première les h, dans la troisième les c et que nous effectuions ainsi toutes les permutations possibles,

6A= [abc) [«i^2^3 -H "î^'z^l + «3^^1<^2

— öj/>,C3 — a^b^ci — «,^3^2] = [abcy.

Le fait que le procédé de différentiation employé ne modifie pas la propriété invariante de la/onction II se vérifie de la même manière que la proposition correspondante relative aux formes binaires, caria démonstration donnée alors est, d'après ses termes, complètement indépendante du nombre des variables (p. aaS). Observons seulement que dans la forme D, si les «, sont considérés comme coefficients des formes linéaires en coordonnées points, on peut, à la place des bi, introduire aussi les déterminant?, mineurs binaires formés des coefficients a, ß des formes linéaires en coordonnées lignes : u«, Uf\ car ces déterminants mineurs se

umoDccnox a la THioiiE des fokuks algébuoobs. 335

comportent, en cas de transformation linéaire, comme les a ou les Ä, c'est-à-dire comme des coordonnées lignes. Par suite aussi l'opération

,, dn , , ^ > ()n , - -, dn , , , ,

(5) ^ («îiS, - Pi«,) -h ^^ («,p. - P3«i) + ^ («, S, - .S,«,)

n altère pas la propriété de l'invariance, si l'on suppose que les coefficients a étaient des expressions linéaires en coordonnées points. Il est à peine nécessaire d'indiquer qu'une propriété tout à fait analogue a lieu pour un invariant fonctionnel d'une forme de n'*°"^ classe u^ ou d'une forme mixte , de même aussi que pour les systèmes simultanés.

Parcelle représentation symbolique, loutes les formations invariantes sont donc ramenées à des formations semblables dérivées de formes linéaires simultanées. Nous n'aurions donc besoin que de rechercher l'expression sjoAolique de ces dernières pour obtenir la réponse à la question posée. On arrive au même résultat par un chemin plus direct si l'on suppose connu le théorème suivant, sur lequel nous reviendrons dans une occasion ultérieure, et dont voici l'énoncé :

Un système de formes ternaires en nombre quelconque dont chacune renferme plusieurs séries de coordonnées points {oCj^, . . .) et de coordonnées lignes [u, v, ...) peut toujours être remplacé par un système réduit équivalent, c est-à-dire par un autre système de formes dont chacune ne renferme plus qu'une série de coordonnées points et qu'une série de coordonnées lignes et dont toutes les formations covariantes simultanées sont identiques avec celles du système originaire ( ' ) ; el ce système réduit se compose toujours d'un nombre fini de formes.

Étant donnée, par exemple, une forme ternaire du /n"°"^ degré en X el du /i'*°" enj^, on peut la remplacer par un système réduit équivalent de trois formes. Représentons symboliquement la forme donnée par

/= a'^h", = (a, Jr, -i- a^.r^ -4- «3 r3]'"[^iJi -*- ^iXi "H ^3^3)*.

(') Foir Clebsch, Ueber eine Pundamentalaufgabe der Invariantentheorie { Abhandlungen der k. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, t. XVII, 187a), et la dernière partie de ces Levons.

expression dans laquelle le produit de chacun des m symboles a et des 71 symboles b doit être remplacé par un coefficient effectif; le système demandé équivalent à /"sera donné par

[ahu] désigne ici encore le déterminant

Oy

Étant maintenant donnée une fonction quelconque H jouissant de la propriété de l'invariance vis-à-vis d'un système simultané quelconque de formes ternaires, nous pouvons représenter symboliquement celte fonction au moyen du procédé (4), (5), comme si elle était déduite d'un système déterminé de formes linéaires. Les coefficients des formes linéaires dans lesquelles les x sont les variables peuvent donc être positivement regardés comme des coordonnées lignes, parce qu'ils se comportent de même dans les transformations linéaires, et nous pouvons d'une manière analogue considérer les coefficients des formes linéaires du type m« comme des coordonnées points. La fonction II peut donc être regardée comme une forme qui ne renferme, conjointement avec des nombres, que diverses séries de coordonnées des deux espèces.

D'après le théorème énoncé sur les systèmes équivalents, il doit être possible de déduire Tl, comme formation covariante, d'un système de formes, dont chacune, en dehors des coefficients purement numériques, ne renferme qu'u/ze série de coordonnées points et une série de coordonnées lignes. Or une forme de cette dernière espèce ne peut être, comme nous le démontrerons bientôt, qu'une puissance de Uj; = u,X| -h M2>^2 H-"3-^.i- On démontre d'ailleurs, dans la théorie des systèmes équivalents, que l'on peut déduire comme invariants simultanés les formes du système originairement donné de celles du système réduit, en effectuant sur ce dernier les opérations (4), (5) d'une manière convenable, et en ajoutant les formes ainsi obtenues après les avoir multipliées par des coefficients numériques déterminés. L'invariant H doit donc pouvoir provenir de la même manière d'expressions de la forme u^', v1,e\.c. Mais les opérations mentionnées, appliquées à ces covarianls iden-

niTBODDCTtOM A LA THÉOBIB DES FORMES ALGÉBUQCES. 33-]

tiques, fournissent toujours exclusivement des formes qui sont composées de facteurs du type

n peut donc toujours être représenté comme une réunion de formations semblables et de coefßcients numériques.

Nous avons encore à démontrer supplémentairement que tout invariant fonctionnel, qui ne renferme en dehors de coefßcients purement numériques qu'une série de coordonnées points et une série de coordonnées lignes, est nécessairement une puissance de Ux et est par conséquent de la forme u^.. Soit

n(j:j,a:j, X3; «,, «j, Uj)

l'invariant fonctionnel donné; nous pouvons dans son expression remplacer les coordonnées de la droite u par les déterminants mineurs formés avec les coordonnées de deux de ses points en posant

"t=rS«3 — -2>3» «i=r3Zl — 23^1. «3=riZ2 — «iJa-

Après cette substitution nous appliquerons à la fonction II (ar, u) la transformation linéaire spéciale qui suit :

/, = j:,T, -HrtTj-4-2,T3, 'j = ^îT, -+-7jT,-I-Z2T,, '3 ^= ^3^1 -^-^3^2 -+- »îaTj,

où les quantités ti peuvent être considérées comme les coordonnées courantes, et les quantités T/ sont les grandeurs correspondantes pour le nouveau système de coordonnées. Désignant par X, Y, Z les nouvelles coordonnées relatives aux points x, r, z, on obtient, en identifiant successivement t avec x, j-, z, les valeurs

f X, = I , Xj = o, Xj = o,

d'où, pour les coordonnées correspondantes de la ligne u,

U, = 1, Uj = o, U3 = o.

Actuellement on a, en vertu de notre définition de l'invariant

Clebsch. — Géométrie, I. 22

338 TOME I. — CnAPITRE III.

fonctionnel,

n' désignant la fonction II formée relativement aux nouvelles coordonnées, et rie déterminant de la transformation. Ce dernier est, dans notre cas,

•^1 .Tl 2l

et, à cause de (6), l'équation [y) se transforme en

n(j',,.r 2, .»-.,; «1, u,, «3) =[xjrz]'*-n{i, 0,0; 1,0,0).

Mais, à cause de l'hypothèse faite sur la nature de H, le second membre ne comprend avec une puissance de Ux qu'un simple facteur numérique; désignant ce facteur par c et remettant au lieu des coordonnées dej^ et de z celles de leur ligne de jonction, on

aura

Notre proposition est, par conséquent, démontrée, car la transformation employée est, par définition, sans influence sur la nature d'un invariant.

Nous sommes donc actuellement en mesure d'énoncer Timportant théorème qui suit :

Toute formation invariante d'un système de Jormes ternaires peut être représentée comme une réunion de produits symboliques dont les J acteur s sont des invariants identiques de Informe Ux, [xjz) ou [uvw).

Nous allons d'abord employer la représentation symbolique des formes à fixer la nature des fonctions dont l'évanouissement donne les propriétés du système des formes originaires, qui demeurent invariables dans toutes les collinéations, et nous reconnaîtrons que les invariants fonctionnels ci-dessus mentionnés suffisent à ce but. Pour plus de simplicité, nous supposerons comme donnée une forme primitive unique : on reconnaît de suite que les mêmes conclusions sont entièrement vraies à l'égard d'un système comprenant un nombre quelconque de formes, parmi lesquelles peuvent se trouver du reste des contrevariants et des formes mixtes.

IMTRODOCTIOr« A LA THÉORIE DES FORMES ALGËBRI0CE8. 33g

On voit immédiatement quune condition individuelle de l'espèce considérée ne peut être représentée que par l' évanouissement d'un invariant ('). Si, en effet, H est la fonction dont l'évanouissement fournit la condition énoncée, et que II' soit une fonction qui en dérive par collinéation, II' est nécessairement égal à zéro lorsque II est nul et alors seulement; on a donc

n' =:cn,

c dépendant uniquement des coefficients de la substitution. Maintenant, pour reconnaître dans II un invariant, nous avons à montrer que c est une puissance du déterminant r. Mais, comme nous n'avons affaire qu'à des fonctions algébriques entières, nous pouvons employer le mode de raisonnement dont nous avons fait occasionnellement usage pour les coniques (p. 162), et nous obtenons ainsi

immédiatement

Du reste, si la forme /"satisfait à la fois à plusieurs conditions (2)

lii=o, nj = o, nj=o, ...,

les n, ne renfermant aucune variable, il est possible de démontrer que ces conditions peuvent être obtenues en égalant séparément à zéro les coefficients d'un ou de plusieurs invariants fonctionnels dey dépendant des variables, ainsi que nous l'avons déjà vu à propos des formes binaires cubiques et biquadratiques (p. 283 et 3oo). Si nous imaginons, en effet, une expression II, représentée symboliquement, cette expression renfermera, en même temps que des facteurs du type {abc) qui possèdent visiblement la propriété de l'invariance, d'autres symboles isolés a/, bk ou des déterminants binaires du type aibk — ^/«ä» c'est-à-dire que l'on a

II, = X\[[abc]'> . . . a)b-l . . . [aib,, — bia,,)\ . . ].

Maintenant le système des fonctions H, doit, par l'effet d'une collinéation, se transformer dans le système des fonctions correspondantes n'^ , quoiqu'il ne soit du reste pas nécessaire que chaque fonction H,- se change en la fonction correspondante 11'^ . Nous em-

(') Voir ARONnOLD, Crelle's Journal, t. 63, p. ooi.

(•) Voir, pour ce qui suit, Gram, Math. Annalen, t. VII, p. aSo.

34o TOME I. aiAPITRE III.

ploierons dans ce but la transformation linéaire spéciale que voici :

X, = Ç,.r, -4- >3iJr, -+- Ç, JTj, «j =: ?,U, -4- IjU, 4- Ç3U3, Xj = Çj.rj -h T,iX^ -f- Ç.JT:,, «2 = »IlU, -H î^îU, -!- fijUs, X3 = Çj j:, H- /îsXj 4- i;3 JTa, «3 = ?iUi + CjUj -+- ÇjUj,

dans laquelle ^,, rjj, ?^j désignent les coordonnées de points fixes quelconques, ou après résolution, en appelant w, w, t les coordonnées respectives des lignes de jonction rî^, ^^, \r, (dételle sorte que, par exemple, t^, =^2^3 — ^nK-i), et posant r = {l^tK),

r.Ti = fiX, H- fsXa -+- «»iXa, rU, = c, u, -4- (f, «2 -f- ^11/3, /•jr, = «'iXj 4- WjX; + tï'sXj, rUj = fj«! 4- (t'a «2"+" '^»"3» r.V3 = /i Xi -h ^2 X2 -1-/^X3, /•U3 = ('3 M, + «'3 «2 4- ^3 «3-

Nous savons maintenant que les symboles ai se comportent dans la transformation comme les m,, que par suite les déterminants binaires formés des a et des b se comportent comme les déterminants correspondants formés de deux séries de coordonnées lignes, c'està-dire comme des coordonnées points. Si nous désignons donc para', b', . . . les symboles de la forme qui tire son origine dey*par l'intermédiaire de notre transformation, ilvient, par exemple,

«1 = û'i ?i ■+- «2 ?2 + «3 ?3 = «j > «2 = «', ' «3 = oç 1 [ab)„ = [a^bi — b^a^) z=w^[a'b')i -h Wi[a'b')i -\-w^[a' b')3=z [a' b'w).

La fonction TV^ ne renferme plus que des facteurs symboliques dont la propriété invariante est manifeste, et qui dépendent encore des grandeurs complètement arbitraires |, yî, Ç, v, w, t\ Jl'i est donc un invariant fonctionnel renfermant trois séries de coordonnées points et trois séries de coordonnées lignes. Comme tel, IIj possède un sjstème équivalent de formes (p. 335) dont chacune ne renferme qu'une seule série de variables des deux espèces, et inversement II', peut être composé linéairement avec des formations dérivant des formes du système équivalent au moyen du procédé invariant qui nous est connu. De là et de la circonstance que les formations précitées sont en partie identiquement nulles si l'on égale deux des coordonnées cogrédientes, on peut conclure (*)

(') Des détails plus étendus sur ce sujet ne sont pas possibles ici, parce que nous n'avons pas encore traité la théorie des systèmes équivalents; nous renvoyons donc encore à la dernière Section de la théorie des connexes.

üfTRODCCnO!« A tA TB£0KIK DES FOBMES ALCÉBIII0CE8. 34 1

que nj. s'évanouit toujours indépendamment des grandeurs arbitraires ^,/j, Ç, V, w, t lorsque toutes les formes du système équivalent sont nulles indépendamment des variables x, et u/ qui y sont renfermées, et réciproquement. On trouve ainsi que la condition de l'évanouissement identique de l'expression U'^ peut être remplacée complètement par la condition qu'un certain nombre de formes mixtes soient identiquement nulles. Mais il suit alors de là que l'on peut considérer les fonctions 11'^ comme les coefficients d'une forme mixte, et nous avons le théorème suivant (d'où résulte la démonstration de la proposition correspondante relative aux formes binaires, p. 216) :

Toutes les propriétés invariantes d'une forme ternaire peuvent être représentées par V évanouissement d'invariants, ou par l'évanouissement identique de covariants, de contrevariants ou de formes mixtes de la forme primitive ( ' ).

A la représentation symbolique des formes se rattachent les explications suivantes. Nous avons déjà fait observer que c'est sur cette représentation qu'est principalement fondée, à l'égard des formes binaires, la démonstration du théorème de Gordan sur le nombre fini des systèmes de formes (2). En outre, la symbolique nous fournit ici un principe auquel nous avons déjà renvoyé, et d'après lequel il est possible d'utiliser de suite pour les formations ternaires tous les théorèmes connus sur les formes binaires, et d'interpréter sans peine géométriquement une certaine classe d'invariants, lorsque cette interprétation a été faite pour les formes binaires correspondantes.

(*) Si l'on considère comme identiques toutes les formes ternaires qui dérivent les unes des autres par transformation linéaire, une forme ternaire est, d'après ce théorème, complètement définie par l'évanouissement de certains invariants fonctionnels, c'està-dire déterminée au moins relativement aux formes qui s'en déduisent par des transformations linéaires, et de là suit immédiatement ce théorème : Deux formes ternaires peuvent être transformées linéairement l'une dans Vautre, lorsque pour toutes les deux existent les mêmes relations entre les invariants fonctionnels (l'égalité des invariants absolus est comprise dans cette condition).

(') Pour ce qui concerne la proposition correspondante relative aux formes ternaires et en générai aux formes à n variables, voir Svlvesteb, Comptes rendus de l'Académie des Sciences, p. iSSg et 1427» i" semestre 1877, ainsi que les travaux antérieurs de GoRDAN sur les formes ternaires du troisième et du quatrième degré.

343 TOME I. CHAPITBE III.

On est conduit naturellement à ce principe de translation par l'étude du système des points d'intersection d'une droite avec une courbe donnée. Une courbe du /z''"" ordre est, comme on sait coupée par une droite en n points (p. 67). En général, ces points n'auront aucune propriété spéciale, c'est-à-dire aucune qui soit donnée par l'évanouissement d'un invariant déterminé de la forme binaire représentant le système des points d'intersection sur la droite. Ce dernier cas peut toutefois se présenter pour certaines positions particulières de la droite considérée. Ainsi, par exemple, pour une tangente de la courbe qui est définie par la condition que deux de ses n points d'intersection se confondent au point de contact, le discriminant de la forme binaire d'ordre n dont il s'agit s'évanouira, et l'on peut de même, dans une courbe du quatrième ordre, chercher les droites dont les quatre points d'intersection avec la courbe déterminent un rapport anharmonique d'une valeur donnée. Toutes les questions de cette nature reviennent à établir les formes binaires qui répondent au système des points d'intersection, et c'est à quoi l'on arrive d'une façon simple en représentant le point mobile x de la droite de la manière connue,

au moyen d'un paramètre — comme fonction de deux points y

et z situés sur cette droite. Nous poserons donc (en négligeant le facteur de proportionnalité qui est sans influence sur ce qui suit)

Xj r:= Y-iXi -h •/.., Sj, •^2 =''•1 J2 -^ '^2 -2«

xj et X2 représentent ici les coordonnées binaires du point x situe sur la ligne de jonction de j et de z, et ces derniers points sont précisément les points fondamentaux du système de coordonnées dont il s'agit (p. 212).

Si nous portons ces expressions de x dans l'équation de la courbe, que nous supposons donnée par

les points d'intersection de la ligne j^2 seront déterminés par les n

l!«TtODOCTIOK A LA THÉORIE DES FOBMES AU.ÉBRIQl'ES. i^i

racines — de l'équation

-+-xi(a, 3, -ha,Zi -+- ajïjjj^rr: {x,a r + x.rt.'"::- o.

Ein désignant donc, pour abréger, les expressions symboliques Oy, Ug respectivement par ar|, «j, nous obtenons une forme binaire

f = («i«i -f- «««î)" = «" == pr,

qui est représentée géométriquement sur la ligne j^z par les n points d'intersection de celle-ci avec la courbe donnée J'= o. Chacune des propriétés projectives de ce système de points a maintenant pour condition l'évanouissement d'un invariant de la forme binaire 9 (' )• Un tel invariant se compose, d'après les propositions relatives aux formes binaires, d'une réunion de produits dont les facteurs individuels sont donnés par des déterminants symboliques delà forme (aß) = a« ßj — ßi ao. Si donc nous représentons cet invariant par

I = 2cn(ai3),

les c désignant les facteurs numériques qui peuvent s'y rencontrer, et que nous remplacions de nouveau a, ß parleurs expressions en Y, z, une propriété invariante du système des points d'intersection

(') II existe dans le plan un nombre de lignes doublement infini. Si donc nous imposons au système des points d'intersection une ieule condition, il y aura un nombre de droites simplement infini qui y satisferont. Au contraire, il n'existe qu'un nombre fini de droites satisfaisant en même temps à deux conditions. Maintenant une condition est toujours représentée sur le terrain binaire par l'évanouissement d'un inrariant, et les droites correspondantes du plan enveloppent, d'après les développements du texte, une courbe (contrevariante). Si l'on ajoute comme seconde condition l'évanouissement d'un second invariant binaire, les droites du plan satisfaisant à deux conditions seront données par l'ensemble des tangentes communes à deux courbes. Si, au contraire, les deux conditions sont représentées par l'évanouissement identique d'un covariant, les droites correspondantes seront données par les tangentes communes à un système de courbes, deujc courbes particulières du système ayant d'ailleurs d^autres tangentes communes. Nous en donnerons bientôt un exemple ci-dessous. Observons seulement ici que, par exemple, trois droites du plan se représentent de la manière la plus simple comme tangentes communes d'un système doublement infini de sections coniques dans lequel deux courbes ont encore une tangente mobile commune.

344 lOME I. — CHAPITRE III.

sera donnée par une équation de la forme

I = lcn [c/yb.— bya.) =o.

Nous pouvons enfin ici introduire facilement les coordonnées lignes u ; car on a

ayb.— bya.=z[aijri-\-a^y^ -f-^'sJs) (^i «i +^222 + ^s^s)

— [biJTv -h b.,Xi + èjjTs) («iZi +«'2^2 + «'323)

= («, b, — è, CTj) ( jr, 32 — 3,^2) 4- («2 *3 — *2«3) (J2Z3 — Z2J3) -4- («:,/^, — ^-jö,) (73Z, — Z3J1),

ou, en observant que les déterminants mineurs des^, z sont proportionnels aux coordonnées de leur ligne de jonction u, et négligeant le facteur de proportionalité,

Oyb. — byU. =z i^abu).

La condition pour que le système des points d'intersection d'une ligne u avec la courbey= o ait la propriété invariante

2cn{a|3) =0

est donc donnée par l'équation

2!cn [abu] =0;

cette dernière représente une courbe enveloppée par la ligne u, et dont la classe est égale au nombre des facteurs déterminants symboliques contenus dans un terme de l'invariant binaire II.

Le théorème simple et extrêmement fécond trouvé par ces développements peut s'énoncer ainsi qu'il suit :

Si une droite est assujettie à couper une courbe du n'*"^' ordre en un groupe de points qui possède une propriété projectile particulière, l'équation de la droite enveloppée par la courbe s'obtient de la manière que voici : on représente symboliquement l'invariant de la forme binaire du n'''"' ordre, dont l'évanouissement exprime la propriété demandée, et l'on remplace chaque déterminant binaire (aß) qui s^y rencontre par un déterminant ternaire (abu), les u désignant les coordonnées lignes, et lésa, b, ..., des symboles de la forme ternaire donnée ( * ).

(') Ce théort^me peut s'étendre h un nombre quelconque de variables et a été donné BOUS cette forme dans le Mémoire cité de Clbbsch, Journal de Crelle, t. 59.

I!1TR0DCCTI0!« k LA TRÉOBIE DBS PORIIES ALGÉBRIQl'ES. 345

Quelques exemples peuvent servir à montrer la fécondité de ce théorème, ainsi qu'à caractériser le genre de problèmes dont il fournit en principe la solution.

Proposons-nous d'abord le problème déjà traité ailleurs : Représenter une conique

en coordonnées lignes. Si nous employons les notations précédentes, la courbe sera rencontrée par une droite u en un couple de points donné par l'équation

«x = («1 Xl -+- «.•''2]* = O.

Pour une tangente, les deux points de rencontre doivent se confondre ; autrement dit, le discriminant de la forme ac^ , savoir

est nul. L'équation de la conique en coordonnées lignes est donc représentée symboliquement par

[abu)- = 0.

On peut facilement démontrer l'identité de cette équation avec celle qui a été précédemment donnée. On a en effet, d'après les notations employées alors,

a^ = bj. = aiiarl+ «22-^2 + ^33-^3 -+- aa^j Xj-rj -h ^öji^s-r, 4- 2.012X1 x^. Nous avons donc à poser dans [abu)-

Le développement du déterminant symbolique donne alors

[abü]- = ul («î^j— t2«3)*-+-«i («3*1 — *3«i)^+«3 [aib^ — bia,-

H- 2«j«3(a36i — èjoi) («lèj— *1«2) -+-2«3«, («1^2— A,aj) («2*3— *2«3)

-h'XUi u^la^bj — b^a^) [a^bi — b^a^]

= 2«î (ûî2«33 — «23) + • • • -+-4«2«3 («1J«13— «11«23) H" • • • >

OU, comme on le voit facilement,

ahuÇ-

D'une manière générale, il est possible de représenter semblablement en coordonnées points l'équation d'une courbe donnée en coordonnées lignes, en partant du discriminant de la forme binaire correspondante, ce sur quoi nous reviendrons bientôt. Nous citerons encore auparavant les exemples suivants :

Nous avons vu que le discriminant d'une forme binaire cubique

était donné par

«^ = isj« = v^ = cy^

et par conséquent la condition pour qu'une ligne u rencontre une courbe du troisième ordre

a']. = (a, JT, -f- a^x^ H- «s^s)' = O,

en deux points coïncidents, ou V équation de la courbe en coordonnées lignes est

[abu]* [cdu]* [acu] [bdu] = o,

by c, d étant des symboles équivalents à a.

La courbe générale du troisième ordre est donc de la sixième classe.

Nous avons représenté le discriminant de la forme binaire biquadratique

par

/' - ßj\

expression où i = (aß)»,y = (aß)" (ßy)- (y«)"; l'équation de la courbe du quatrième ordre

est donc, en coordonnées lignes,

l:<TKODCCTION & Li TBÉOME DES rOKMCS ALCÉBKIOi;CS- 3^7

si l'on pose

J = [abu * [bcu]* {cau]\

La courbe générale du quatrième ordre est donc de la douzième classe.

Maintenant, comme on a des méthodes générales pour former le discriminant d'une forme binaire (p. aSp), on peut aussi établir l'équation en coordonnées lignes de toute courbe donnée en coordonnées points. On peut donc en particulier indiquer la classe générale d'une courbe du /i'*""" ordre ainsi que le degré de l'équation en coordonnées lignes par rapport aux coefBcients (*). Le discriminant d'une forme binaire du n''"*^ ordre est en effet du degré a (n — i) par rapport aux coefficients de celle-ci ; il renferme donc 2(/i — i) symboles différents, mais équivalents entre eux, dont chacun entre à la «'^"^ dimension. Or ces circonstances ne seront pas modifiées si l'on remplace un déterminant binaire {ab) par le déterminant ternaire {abu). Donc :

L'équation en coordonnées lignes d^ une courbe d'ordre n est du degré 2(72 — 1) par rapport aux coefficients de son équation en coordonnées points.

Nous savons d'ailleurs (p. 242) qu'un invariant binaire du degré /• par rapport aux coefficients d'une forme d'ordre s renferme toujours - rs déterminants facteurs. Il entre donc dans notre discriminant n[n — 1) facteurs du type {ah), et, comme l'application du principe de translation transforme tout facteur semblable en une expression linéaire par rapport aux u, il suit de là que : Utw courbe de Vordre n est en général de la classe n{n — i).

Nous revenons à l'exemple traité en dernier lieu. L'évanouissement du discriminant d'une forme binaire biquadratique n'est

r* qu'un cas particulier de la condition que son invariant absolu -z^

ait une valeur donnée, c'est-à-dire que les quatre points forment

( ' ) La supputation donnée ici se réfère d'abord exclusirement au cas où la courbe ne possède pas ce qu'on appelle des points multiples. Voir, sur ce sujet, le tome II de ces Leçons.

348 TOMK I. — CHAPITRE III.

un rapport anharmonique déterminé. Corrélativement, réquation

dans laquelle k est considéré comme un paramètre, représente, d'après notre principe de translation, un système de courbes de la douzième classe en nombre simplement infini, dont chacune a la propriété que toutes ses tangentes rencontrent la courbe donnée du quatrième ordre en un groupe quaternaire correspondant à un certain rapport anharmonique, et ce rapport a se détermine au moyen de l'équation (p. 297)

de la manière connue, en fonction du paramètre k. Si nous donnons en particulier à k les valeurs o et 00 , nous obtiendrons successivement les théorèmes suivants :

Les lignes droites gui coupent équianharmoniquement une courbe donnée du quatrième ordre a]. = o enveloppent une courbe de la quatrième classe

1= (ai«)*=r:0.

Les lignes qui coupent harmoniquement cette même courbe enveloppent une courbe de la sixième classe ( * )

J = [abuY [bcuY [cauf — o.

(') En anticipant sur les développements du texte et en supposant la notion des tangentes d'inflexion et des tangentes doubles {i^oir le tome II), nous ajouterons ici comme complément de la note de la p. 3.^3 les observations suivantes :

La courbe a' =0 a un nombre fini de tangentes d'inflexion, c'est-à-dire de tangentes qui rencontrent la courbe en trois points consécutifs. La forme binaire qui correspond au système d'intersections d'une telle tangente a nécessairement une racine triple, c'est-à-dire que l'on doit avoir simultanément i =:0 et/ = 0 (p.agg); le principe de translation donne par suite ce théorème :

Les tangentes d'inflexion de la courbe du quatrième ordre sont les tangentes communes aux courbes

l = (aÄ«)* = o, J =(a*a)'(*ca)'(ea«7= o;

leur nombre est donc i^.

Si l'on pose le problème correspondant à l'égard des courbes du troisième ordre, la forme binaire cubique corrélative «^ doit être un cube parfait; autrement dit, il faut que sa forme hessienne A — («,3)'a^;3^ s'évanouisse identiquement. Si maintenant, en général, deux conditions sont données pour le système des points d'intersection

»THODCCnON A LA THÉOBIE DES FORMES ALCËBRIQGES. 349

Le même principe trouve aussi son application à l'égard des invariants simultanés de plusieurs formes binaires. Étant données, par exemple, deux formes quadratiques

«; et a;,

ces formes seront représentées par deux couples de points dont le rapport anharmonique a se détermine au moyen de l'équation

D"(a — l)» — DD"(aH-l)»=0

(p. 269), dans laquelle D' désigne l'invariant simultané (ûa)^, D et D" respectivement les invariants [ab)-, (aß)-. Notre principe de translation donne ici immédiatement ce théorème :

Les lignes droites^ dont les points d'intersection avec deux

par l'évanouissement identique d'un covariant binaire

cette équation devient, par l'application du principe de translation, si l'on remet x^ à la

place de x^Jri -i- x.z,,

X étant un point situé quelque part sur la ligne u. Nous exprimerons cette condition par la substitution

les Vi étant des grandeurs complètement arbitraires. Nous obtenons alors ce théorème :

Si pour le système des points d'intersection d'une ligne u avec une courbe oJJ 1= o un covariant binaire ll{xß)oi^ß^ doit s'évanouir identiquement, u sera touchée par toutes les courbes du système doublement infini {^ayant pour paramètres •',:»',: »>,)

n (aétt) (^auv) ( buv^ = 0.

Il en résulte en particulier ceci pour l'exemple proposé :

Les tangentes d'inflexion dune courbe du troisième ordre a^ = 0 sont les tangentes communes du sjstème de courbes de la quatrième classe

(abu)' {auv) {buvj =: 0.

Comme ensuite pour une forme binaire biquadratique/" la condition de la présence de deux racines doubles est donnée par l'évanouissement identique du covariant iH — jf, nous avons cette proposition :

Les tangentes doubles d'une courbe du quatrième ordre a* = 0 sont les tangentes communes du système de courbes de la dixième classe

{aiuy[cduy{cuy)\duvy — {abuy'^bcu)\cauY{duvy = o. Voir, sur ce sujet, Gcndelfinger, Math. Annalen, t. VI, p. i6.

35o TOME I. — CHAPITRE III.

coniques

0^ = 0 et a;. = o

forment un rapport anharmonique déterminé a, enveloppent une courbe de la quatrième classe, donnée par l'équation

D» (a — 1 )* — DD" (a -+- 1 )« = o, si l'on pose

D' ^ («a«)*, D = [abuY, D" ■= {ußu]\

Cette courbe se compose en particulier de la conique

[aa.u)- = o,

comptée deux fois si le rapport anharmonique cité doit être harmonique.

Nous pouvons de même écrire immédiatement Inéquation du

produit des quatre points dHntersection de deux coniques sous

forme symbolique. Si la ligne u doit passer par un de ces points,

les deux formes binaires al et al ont nécessairement un facteur

linéaire commun, et la condition pour qu'il en soit ainsi est,

d'après ce qui précède, en désignant par D, D', D' les invariants

binaires connus,

D'2 — DD" = o.

La même équation représente donc aussi le produit des quatre points d'intersection si par D, D', D" nous entendons les déterminants ternaires mentionnés renfermant une série u. En général, on peut donner de la même manière l'équation des points d'intersection de deux courbes du m'' "'" et du «'""^ ordre

11 suffit de former symboliquement le résultant des formes binaires «"', a" et de compléter chacun des déterminants symboliques par l'addition de u, de manière à en faire des déterminants ternaires. Nous pouvons de cette loi de formation de l'équation déduire sa classe et par suite le nombre des points d'intersection des deux courbes. Le résultant binaire est, en effet, du /i'^""' degré par rapport aux coefficients de a'"\ il renferme donc n symboles différents a,b, c, ... entrant chacun m fois : il contient par suite en tout mn grandeurs a, b, c,... entrant linéairement et autant de gran-

ixraoDccno!« a la thémic des formes ALcteaiocEs. 35 1

deurs ec,ß,y, — De ces nmn grandeurs deux sont réunies en un déterminant facteur : le résultant se compose donc de m.n déterminants facteurs symboliques (p. 242) et, par conséquent, l'équation des points d'intersection est de la classe mn. De là résulte la proposition connue sous le nom de théorème de Bezout ( * ) :

Deux courbes du m'""' et du n"'"' ordre se coupent en mn points. Naturellement tous ces points ne sont pas nécessairement réels.

Les exemples présentés suffiront provisoirement à montrer la fécondité extraordinaire du principe de translation que nous avons établi (2), et dont nous aurons d'ailleurs à faire itérativement usage dans nos considérations ultérieures. En même temps apparaissent à nos yeux les grands avantages qu'apporte avec elle la notation symbolique; en effet, on n'a qu'à jeter un regard sur les formations effectives correspondantes pour se convaincre de leur extrême prolixité. De même, dans nos recherches géométriques subséquentes, cette symbolique nous procurera des facilités considérables ; nous rassemblerons donc ici quelques équations identiques qui sont

(') Voir Bezoct, Théorie générale des équations algébriques, 1769. Dans cet Ouvrage les équations des deux courbes du m'*"* et du «-"n" ordre sont prises sous la forme

/ et ç> étant respectivement des degrés p, r eo x et des degrés q, s en r : le nombre indiqué pour les points d'intersection est

La réduction apportée aux nombres du texte vient de ce que les courbesy-= o, 9 = 0, prises sous la forme donnée, ont respectivement sur l'axe X un point multiple d'ordre m —p et un point multiple d'ordre n — r et sur l'axe Y un point multiple d'ordre m — 7 et un point multiple d'ordre n — s, et que les interjections situées en ces points ne sont pas comptées. Si l'on veut avoir uniquement le nombre des intersections à distance finie, on doit encore retrancher du nombre précédent les points situés sur la droite de l'infini ailleurs que sur les axes. Observons d'ailleurs que le théorème de Bezout peut être démontré Irès-simplement au moyen du principe de correspondance (p. 261) (voir Chasles, Comptes rendus, t. LXXV, 1872, et Focret, Bulletin de la Société mathématique de France, 1. 1).

(*) Voir encore spécialement les applications de ce principe à la théorie des formes binaires du cinquième ordre dans le travail de Clebsch, Das F'ànfseit und die Gleichung fünf ten Grades (Math. Annalen, t. IV, p. 284). H y est démontré incidemment, à l'égard des courbes mentionnées plus haut 1* — AJ' = o, qu'elles se décomposent en six coniques si la courbe donnée du quatrième ordre se compose de quatre lignes droites.

souvent d'une grande utilité pour la transformation des expressions symboliques.

Il est évident que le déterminant

s'évanouit identiquement, car si l'on multiplie les trois premières lignes verticales respectivement par or, , x^, J:^3 et qu'on les retranche de la dernière, tous les termes de la ligne ainsi formée seront nuls. Le développement du déterminant nous donne donc l'identité

( I ) [ahc] dj. — [ahd^ Cj. + («crf) b^ — [bcd ) «^ = o.

On peut fixer facilement cette relation dans sa mémoire en observant que les trois lettres se succèdent dans chacun des déterminants individuels suivant l'ordre de l'alphabet, et que les signes sont alternativement positifs et négatifs. De cette équation on en déduit une autre en remplaçant les x par les déterminants binaires des grandeurs

^1. ^2i ^3> J\i J%y Ji-

On a alors identiquement

(H) [abc] [def] — [abd] [ce/) -f- [acd] [bef) — [bcd] [aef] — o.

Si nous remplaçons ensuite dans (I) la lettre d par la lettre u, il viendra l'identité suivante, qui a le même sens :

( III ) [abu] Cjc — [acu] i^ = [abc ) Uj. — [bcu] Oj.,

d'où résulte, par élévation au carré,

[abuYcl — 1 [abu] [acu) bj.c^ ■+- [acuY b^ = [abc)*ul — 2 (aie) (icu)«^a^ + [bcu]* al

;ivi

Ajoutons enfin l'identité déjà démontrée plus haut et dont il a été fait usage (p. 344)

[abu) —a^br — b^a^..

qui existe lorsque l'on a u^- = o, w, r= o et u, = {xy)i.