VII. — Les formes ternaires en général
Avant de passer aux théorèmes généraux sur les formes ternaires, nous présenterons préalablement quelques remarques sur la nature des formations qui s'y rencontrent. Plus tard, nous nous occuperons surtout de leur représentation symbolique, et de la translation sur le terrain ternaire des résultats obtenus dans la théorie des formes binaires, translation qui découle de cette représentation.
Considérons d'abord une forme linéaire
cette forme, égalée à zéro, représente, comme on sait, une ligne dont les grandeurs Ui sont les cooidonnees. Nous énoncerons mieux le même fait conformément au principe de dualité en disant que l'équation
est la condition pour qu'il y ait réunion de situation entre le point X et la droite u (p. 88). Nous voyons déjà par là que notre forme linéaire doit avoir la propriété de l'invariance; car nous avons vu que la réunion de situation du point et de la droite ne peut être détruite par une collinéation. Soit donc une transformation de cette nature donnée par les équations
( I ) p X/ = «/, .r j + «,2 Xj -4- a/3 X3 ;
les équations correspondantes en coordonnées lignes deviennent
Sous le bénéfice de ces relations, et en appliquant le théorème sur la multiplication des déterminants, on reconnaît d'abord que le déterminant
X, ri -
a la propriété de l'invariance tout comme dans les formes binaires le déterminant {xj). Nous avons, en effet, immédiatement, si Y,
Xj
Xa
«lî
«îi
INTRODCCTIOX A LA THÉORIE DES FORMES ALCÉBRIQCES. 33 1
Z sont les coordonnées des points dans lesquels se transforment Yf z, en vertu des équations (i),
•'1 Ji 3i
.1:, )\ ^2 •'■3 Xz ^3
OU, si nous désignons, pour abréger, par {xyz) le déterminant formé de X, jj z et par r. p^ le déterminant de la substitution formé avec les quantités a,>,
Maintenant les coordonnées d'une droite sont proportionnelles aux déterminants binaires mineurs de deux points quelconques situés sur cette droite, et nous imaginerons que les facteurs de proportionnalité qui interviennent aient toujours été déterminés de telle sorte que l'expression U,X| H-UoXo -\- U3X3 se transforme sans facteur en if , x, -+- UoXo -\- ih^ii c'est-à-dire que nous posons
/-Ui = Y.Zj — Y3Z2, «j =72^3 — J3'2» /•Us = Y3 Z 1 — Yj Z3 , H , = >-3 3i — Xi 33 ,
rU3 = YjZ. — YoZ,, «3=:jr,Z2 — j2Zi; et nous obtenons ainsi, en notation abrégée,
(4) Ux = «..
Nous désignerons dans la suite sous le nom de covariant identique cette expression Ux qui ne dépend que des coordonnées points et des coordonnées lignes sans renfermer d'autres coefficients.
La diversité des figures géométriques, causée par la présence des coordonnées lignes dans le domaine ternaire, nous force à élargir corrélativement le cercle des formations invariantes. Tandis, en effet, que dans les formes binaires nous avons rencontré seulement des invariants et des covariants, nous avons ici-, dans les formes homogènes à trois variables, les classes suivantes de fonctions possédant la propriété de l'invariance.
1. Invariants. Ils ne dépendent que des coefficients de la forme originaire (ou des formes originaires dans les sys-
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tèmes simultanés) et donnent par leur évanouissement des propriétés spéciales de la figure (courbe) représentée par la forme originaire.
2. Covitiidiils. Ils renferment, en outre des coefficients de la
forme originaire, les coordonnées d'un point variable ou môme de plusieurs. Dans le premier cas, ils donnent, égalés à zéro, l'équation d'une courbe qui présente à l'égard de la courbe originaire une relation invariante.
