VII. — Les formes ternaires quadratiques

Nous nous proposons actuellement d'appliquer aux formes quadratiques ('), c'est-à-dire à la théorie des sections coniques, les idées acquises dans ce qui précède relativement aux formes ternaires. Nous avons déjà traité des courbes du second degré, quoique à un autre point de vue, et nous pouvons par suite être brefs en ce qui concerne les résultats géométriques. Conformément aux exigences de la théorie des invariants, nous n'avons à rechercher ici que les propriétés des coniques qui restent invariables dans une transformation linéaire quelconque, c'est-à-dire qui sont communes à toutes les projections perspectives d'une courbe de cette nature. Donc, suivant notre manière actuelle de poser la question, toutes les différences entre l'ellipse, l'hyperbole et la parabole disparaissent, car ces différences reposent sur le caractère des courbes en question relativement à la droite de l'infini. Or, comme nous pouvons toujours, par collinéation, transformer cette dernière en une droite à distance finie, et qu'inversement une droite quelconque du plan peut être projetée suivant la droite de l'infini, cette dernière n'a plus ici rien de particulier. A l'ellipse et à l'hyperbole nous joignons la conique que nous avons appelée ellipse imaginaire et qui est caractérisée par cette circonstance que

(') Voir surtoat, pour cette théorie, en outre des Memoirs upon Quantics, plusieart fois cités de Cayley, Salmo:«, Lessons introductory to the modem higher Algebra, ainsi que la Théorie des sections coniques du même auteur, Chap. XVill, de la traduction française, par Resal et Vaocueret ( Gauthier-Villars ; i8yO).

Clebsch. — Géométrie, I. "i-i

tous ses points sont imaginaires et que pourtant les coefficients de son équation sont réels. Mais nous pouvons, ainsi qu'il a été observé plus haut (p. 216), supposer que les coefficients soient des grandeurs complexes sans que la valeur des développements algébriques en soit influencée en rien. Nous aurions donc ainsi une nouvelle classe de coniques. Mais il est clair que ces dernières peuvent être transformées linéairement en courbes réelles, et que réciproquement les courbes réelles peuvent être transformées en courbes imaginaires, si l'on assigne des valeurs complexes aux coefficients de la transformation. En ce sens, nous pouvons énoncer d'une manière tout à fait générale le théorème suivant :

Une conique proprement dite n'a pas de particularités projectiles; toute conique peut être transformée en une autre quelconque par collinéation.

En particulier, une forme ternaire quadratique ne peut avoir d'invariant absolu , car alors il ne serait possible de transformer les unes dans les autres que les coniques pour lesquelles la valeur numérique de cet invariant serait la même. Nous nous convaincrons directement de ces résultats par l'examen des diflerenles formations invariantes possibles.

L'équation de la conique

f=za].z=bl = 22 a il, xi x^ — o

en coordonnées lignes a déjà été établie plus haut sous sa forme symbolique, lorsque nous avons exposé le principe de translation; elle est représentée par l'évanouissement de la forme adjointe

(a) F = {aÄ«)*=: — 2

Remplaçant dansy les coordonnées u par les déterminants mineurs qui leur sont proportionnels, formés avec les coordonnées x, y, nous obtenons, à cause de l'identité

l'équation du produit des deux tangentes menées du point j^ à la

«Il

fl,ï

«il

au

lüTKODCCnO;« a la théorie des rOKHES ALCÉBKIQCBS. 355

conique, sous la forme connue (p. i34)

L'équation des points de contact de ces deux tangentes s'obtient facilement, parce que ces points sont les points d'intersection de la conique et de la polaire de^, dont les coordonnées sont données par

I à/ir)

2 àji

bybi = ejCi.

Il suffit de porter ces valeurs dans l'équation des points d'intersection de la ligne v avec la courbe y = o

pour obtenir le produit des points de contact. Comme ici les coordonnées V entrent au second degré dans {avu)-., nous devons introduire par le procédé de différenliatlon connu (formation polaire) d'autres symboles w de même sens, et remplacer alors les vi par bi by, les Wi par c< c,- : l'équation cherchée devient par suite

(ai'tt) {(cuvu) = [abu] [neu] byCy = o.

Nous sommes conduits ici au premier exemple d'une forme mixte; si nous y supposons j' constant, elle nous donne égalée à zéro le produit des deux points de contact; si nous prenons u constant, elle représente l'équation des deux tangentes menées kj^ par les points d'intersection de la ligne u avec celte courbe. Cette forme mixte peut du reste, par l'application des identités qui ont lieu pour les formes ternaires (p. 352 ), être représentée comme fonction rationnelle et entière de formations plus simples. En premier lieu, l'identité (IV), à cause de

F = [abu )* = [acu ) * = [bcu]\

donne, si nous écrivons x au lieu de^ et que nous posions

k=[abcY, 1 [abu) [acu) b^Cj^ =/F — A «^ -t- 2 [abc) [bcu) w^. a^.

Si nous permutons ensuite dans le dernier terme de cette équation les symboles équivalents a, b, c, nous pourrons remplacer ce terme par le tiers de la somme des expressions ainsi obtenues; il devient alors

[aùc] ibcu) Uj.aj.=^ ^ [abc] u^. [{f'cu) a.^ — [acu] bj. + [abu]c^.

Faisant enfin usage de l'identité (IH), nous obtenons [abc] [bcu ) u^a^=:^A u^,

et nous avons par conséquent, pour notre forme mixte, (3) 2.[abu) [acu] b^c j,=^fF — -Auj..

Comme la conique n'a pas d'invariant absolu (p. 354) et ne peut conséquemment avoir qu'un seul invariant, l'invariant A, qui se rencontre ici, doit, d'après ce qui précède, être identique, à un facteur numérique près, avecle déterminant dont l'évanouissement est la condition pour que la conique se décompose en deux droites. Nous trouvons en effet, suivant le calcul effectué plus haut {p. 334)

(4) A = {abcY=6

Maintenant, avec les formes/*, F, A, le cercle des formations possibles est fermé. La démonstration de cette affirmation se fonde sur les deux théorèmes suivants ( ' ) :

Tout produit symbolique qui renferme le facteur symbolique [abc) renferme le facteur eßectij" K.

Tout produit symbolique qui contient un facteur symbolique [abu)f mais point de facteur sjnibolique du type [abc), se décompose en termes qui renferment les uns le facteur effectif F, les autres le facteur effectif Kux.

Pour la démonstration du premier théorème, il suffit de remarquer qu'une expression multipliée par le facteur [abc) peut, dans

(') Foir Clbbsob, Zur Theoti&der Charakteristihcn {MmI\. AnnaUn, t. VI, p. i).

«il

IMRODCCTION A L\ THÉORIE DES FORMES AIAÉBRIOCES. 357

tous les cas, être représentée comme une somme de termes particuliers dont chacun est de la forme [abc) a, b/^ci M, M ne renfer" raant plus les symboles a, b, c. Parmi ces termes, tous ceux dans lesquels deux des indices i, /r, / sont égaux, s'évanouissent parce qu'ils changent de signe si l'on permute les symboles, et chacun des autres termes est, à cause de la permutabilité de a, b, c, égal

à rï (aÄc)-, et par conséquent renferme le fadeur effectif A.

Si, au contraire, un produit symbolique contient un facteur [abu) sans renfermer en même temps un facteur [abc], les symboles a, b se présentent encore une fois en l'une des quatre combinaisons suivantes :

Un déterminant [abu] ; le facteur F est alors immédiatement

mis en évidence :

Ou deux déterminants : (acw) (bdu); Ou un déterminant et une forme linéaire : [acu] bjc\ Ou deux formes linéaires : Oxbx-

Dans ce dernier cas, l'expression s'évanouit identiquement, car le facteur [abc) ax Archange de signe si l'on permute a et b. Dans le second cas, à cause de la permutabilité de c et de c? et à cause de l'identité (II) (p. 352), si dans celte dernière on remplace d elf par M et e par rf, nous avons, en désignant par M un facteur qui ne renferme plus a, b,

M [abu ) [acu )[bdu) = - [abu ) [•(««/) [bdu] — [adu ) [bcu )] M = i. [abu )» (crf« ) M = - ¥[cdu) M.

Dans le troisième cas, nous obtenons, d'après l'identité (IH), [abu] (acu) ôj-M = - [abu] [[acu] b^ — [bcu] a^]M z= -[abu]\[abu)c^— [abc)ux]M = - F c^ M [abu] {abc]uj,M.

Ici le second terme contient le facteur effectif A d'après le premier théorème, et le second théorème se trouve aussi démontré à cause de la divisibilité de tous les autres termes par F.

Toute formation invariante appartenant kj et ne renfermant qu'une seule série de coordonnées points et une seule de coordonnées lignes se compose ainsi de facteurs symboliques de la forme [abc), [abu), a^, m^. Nous pouvons, par le procédé de décomposition précédent, isoler des parties renfermant des facteurs A, F, ou A Ux jusqu'à ce qu'il ne se rencontre plus de facteurs symboliques du type [abc) ou [abu). Le produit restant ne peut plus être qu'une somme de termes de la forme a^b^., . . . , u^. et ne peut se composer par suite que d'une puissance defel d'une puissance de Uj. Par là se trouve démontré le théorème suivant :

7'out invariant, covariant, forme adjointe ou forme mixte d' une forme ternaire quadratique renfermant au plus une série de X et une série de u, est une fonction entière des formes

Le nombre des formations invariantes devient incomparablement plus grand si l'on considère le système simultané de deux formes quadratiques, autrement dit si l'on étudie les relations respectives de deux coniques. Nous allons établir le système complet relatif à ce cas, c'est-à-dire indiquer les invariants fonctionnels simultanés en fonction entière et rationnelle desquels tous les autres peuvent s'exprimer, et nous abordons d'autant plus volontiers ces explications que nous n'aurons plus dans la suite à revenir sur des questions de cette nature.

Ce qui suit peut donc, en général, être considéré comme l'exemple le plus simple de semblables recherches.

Soient

f — «J — h'^=...= Ha)^. XiX^

les deux formes données. Nous avons d'abord, d'après ce qui précède, les formes adjointes

et les invariants

Par l'introduction, à titre d'éléments principaux, des symboles

lüTBODCCTIO!! A LA THÊORIB DES FORMES ALCÉBRIOCES. 35g

employés dans ces formes, savoir :

a, = ij C3 — /5>3 Cj, ai = ^jC, — ^iCj, «3 = i, Cj — Ä,c,,

les considérations suivantes sont notablement simplifiées. On a d'abord ce théorème :

Si un produit symbolique II renferme le facteur [abw) = ^'a, ce produit peut être transformé de telle manière qu'il s'y trouve aussi un facteur (^abw), v, w étant des coordonnées lignes ou des symboles deformes quelconques et par conséquent des grandeurs tout à fait arbitraires.

On a en effet alors

n = [abv] a y b. M,

M ne renfermant plus les symboles a, b, et y, z ayant une signification quelconque. On aura par conséquent, d'après l'identité V

an = [abv] [ûyb. — bya.)'M.= [abv] [abw] M,

si Ton pose Wi= {yz)i. c. q. f. d.

Maintenant nous supposerons toujours que les symboles a, b aient été réunis autant que possible dans les symboles a ; et, lorsque nous parlerons des svmboles a, nous entendrons par là uniquement ceux qui ne peuvent être réunis à d'autres symboles b de manière à former un symbole a. Une convention analogue aura lieu à l'égard de a\ b' et a'.

D'après cette supposition, il ne peut plus entrer dans un produit symbolique de facteur du type [ab^') ou (a'^V) j car alors il est toujours possible, ainsi que nous l'avons démontré, de transformer ce produit de manière qu'il renferme encore un facteur [abw) ou (a'è'w); or nous pouvons poser (aè) = a, ce qui donne naissance à des facteurs du type ^^a w« ou UatWa'- Il en est aussi absolument de même à l'égard des symboles a, a'. Tout facteur {(x^y) entraîne un autre facteur (aß^), et, d'après le théorème sur les déterminants adjoints, on a alors (p. 14^)

3 [apjr) {aß z] z= Am Oy a..

Il résulte de ces développements que, dans un produit symbolique

de l'espèce considérée, on doit supposer uniquement des facteurs appartenant aux types suivants :

«a, «a, fla', «'a'.

[aa u), [ucf! x).

La combinaison la plus simple consiste à composer une forme simultanée avec deux facteurs égaux de ce tableau ; ce qui, en outre des formes contenues dans (6) et (7), donne naissance aux suivantes ( * ) :

Aii2 = o;-, A,22 = «a'' F,2 = («fl'«)S *,,= (aa'x)».

Pour une forme composée de facteurs différents, nous pouvons

maintenant montrer que, parmi les facteurs des types indiqués

dans (8), jamais il ne peut entrer deux Jacteurs différents du

mêm.e type dans un produit symbolique, c' est-à-dire que toute

forme

a^ a y b. bc ou a^ a y b'. b'i

peut être représentée comme une réunion d'autres formes qui se décomposent directement en formations moins élevées, ou dans lesquelles les symboles a^ b [ou a', b'] peuvent être réunis en un symbole ce [ou a').

Si la forme a^ayb^by ne doit pas se décomposer directement en deux facteurs, nous aurons, d'après le tableau (8), pour que deux facteurs de même type se présentent, les trois hypothèses possibles qui suivent :

(on peut écrire aussi j: à la place de ^ et î à la place de z).

Dans le premier cas, on a identiquement pour ßi == (a^)/, d'a-

(') D'après le système de notation suivi ici, 4,, et 4„ représentent respectivement les formes (a)3x)', (a'/3'a:)'; mais on a (p. 142)

niTRODCCTIOM A LA TnÉOlIB DES FOBMES ALCÉBRIQt'ES. 36 1

près V (p. 352),

«o ^a «X l>t =^a^t{ ^o Oj. — a» ft.r ) + «a f'x ^t

= i^c^l^t — *a fl^r ) ( K Ox — «a /^x ) -H «« /^:r ^/

= -(|3ax) (Pa/) + A,,, 6j,if. c. Q. F. d.

Dans le second cas on a de même, pour a, = [ab)i, Oa.' h^i üj. ht -=i 0^1 hf (aa' x) -h aX- b^bf^^ - («a' t) (aa' x) -\- A,« ij bt.

Enfin, dans le troisième cas, si nous faisons usage de l'identité [aa' u) bi= [abu] a\ — [aba' ) u, + ( ba' u] a^, il viendra

aj.ayb.bt =«x (*«'«) [u^a\ — a\ Ut] ->r {ba' u)- a^Ot

= - (a'„ u-, — «a a'j- ' ( «a«/ — o'a «/ ) H- F,2 Oj, a^,

et les termes du dernier membre se décomposent ici effectivement en facteurs séparés. Notre proposition se trouve par là démontrée, car il est clair qu'un produit cî^ a, b'. b\ peut être traité absolument de la même manière; à l'aide du théorème sur les déterminants adjoints, on transforme d'ailleurs d'une manière correspondante les expressions de lajorme

Mais les deux facteurs a,, a\ ou a^y d^. ne peuvent non plus jamais se rencontrer ensemble; car, d'après ce qui précède, il ne pourrait plus s'ajouter à a« «a, parmi les termes du tableau (8), que deux facteurs tels que a^, d^ (ou a^.-, a^.), ou bien un facteur tel que [aa'u) par exemple. Or on a, pour «/ = (èc)/,

a^a'^[aa' u) = l [abc)[[a' bc] [aa' u) - [a' ac) [ba' u]] = [abc] [a' ba) [ca' u) z= — Ca,a'^ [ca' u)\ cette quantité est donc nulle, et des équations (17) résulte a««;o^fl'^ = P,j= -A,,,/'. c. Q. F. D.

Nous pouvons enfin ajouter une restriction à la combinaison de deux facteurs appartenant à des types difierents; jamais les deux déterminants facteurs i^aa' u), (^txa'x) ne peuvent se rencontrer réunis. La démonstration de ce fait est donnée immédiatement par l'identité

fx