IJ
Après ces développements préliminaires, nous pouvons écrire immédiatement le système complet desjormes ternaires quadratiques J et f ; car il suffit pour cela de former avec les facteurs réunis dans (8) toutes les combinaisons qui ne sont pas exclues par les explications précédentes. Nous obtenons ainsi les vingt formes ( ' ) :
' 1° Formes sans déterminant facteur.
f =al, f =«'i,
Aij2 = fla', Ai22=^öa'»
2" Formes à un déterminant facteur.
N =1 {aa' u) a-c d^, ^ = («a'ar) «, «»',
C| = [aa' u) OaöTj. «a» Tj = (aa' a:) <io' «»<ïx»
C2 = (aa' « ) «a' «!r «a', r, = {%ol X) a'e «a' «x,
D = (aa' a ) a«' a« «« «a'> A = (aa' x) a,' a'a a^ aj. ; 3° Formes à deux déterminants facteurs.
Dans les questions d'un caractère plus géométrique que nous nous proposons de traiter dans ce qui suit au moyen de la théorie des formes, notre problème principal consistera à ramener les for-
(') L'établissement du système et la manière de l'obtenir sont dus à une Communication do M. Gordan.
l!(TBODCCTIO:( A LA TBEORIE DES FORMES ALC^BIIQCBS. 363
mations que nous rencontrerons aux formes du système (9). En même temps nous apprendrons à connaître les figures représentées par ces dernières lorsqu'on les égale à zéro, ainsi que la signification des conditions données par l'évanouissement des invariants simultanés.
Dans nos recherches précédentes sur le faisceau de coniques
(lo)
^l/-i-^if = 0.
le déterminant de y-\f-^ '^ij' et l'équation en coordonnées lignes avaient une importance particulière. Le déterminant, que nous désignerons par A,, s'obtient lorsqu'on remplace dans [abcY les aïk par xi a/^ -h xa a'^. et qu'on développe d'après le théorème de Taylor; on a ainsi
xifli, -f-x,a',, X, «lî -^xjö', j X, a,3 -f-Xia'ij A, = 6 Xj a,] -4- xj a'j , X, «jj -t- Xj a^ , Xj «jj -4- Xj a'j , X, «3, -r-Xäflj, X, aji-h xjfljj xj^jj-f-x,«',, = [abcY xJ -f- 3 {aba' ;- xJ x, h- 3 [ab' a')^ /, ^ + [a' b'c'^ x»
ou, d'après notre système précédent de notation (')
A, = A,ii»î -h 3A,,,xJxj -}- BAjîî
On trouve de même pour le premier membre de l'équation en coordonnées lignes
x,a,, 4- x,«,, x,a,î -4- xjö,j x,a„-t-xjö,. X, öj, 4- Xj a j , X, a^i -h Xj a, ,
X1Ö3, H-Xjflj, X, fljj -f-X.fljj Xia33-4-Xj«3
= (aôtt)« x\ -+- [(aô' « )« H- (ôfl'«)»] X, x, H- (a' 6'«)' xJ,
(•) On a par suite, sous forme développée, si l'on désigne pour un instant par A,t les déterminants mineurs de A,,, et par A,'j;. ceux de A,.,,
3A.„ =2-^«!* = 6(Au«' . -f-A„«'„H- A„a'„ -»- 3A„«',,-l- aA^y^H- 2A„«'„ ),
3A,„=V— ;'-'aa = 6(A'.a,,-+-A',,a.,-+-A;,a,,-t-2A',a,,-4-2A',,a.j-i-2A;,«„). j6^ Oaik
364 rOUE I. — CHAPITRE III.
OU, à cause de la permutabilité de a et b, a' et b'
(l2) Fx =: F„ y.] + 2 F,î •/., •/., -4- F2, y-l
Les coefficients de xj, x' sont donc les formes adjointes des coniques données,et le coefficient dex,X2 égalé à zéro donne, comme on sait, laconique dont leslangentes rencontrent les courbesy=o Gif=:o en des couples de points harmoniques (p. 35o). La présence au second degré du paramètre x dans (12) exprime que toute droite du plan est touchée par deux courbes du faisceau (p. 166). Dans le cas seulement où la droite passe par un des quatre points de base du faisceau, les deux points de contact coïncident. Donc, ainsi qu'il résulte immédiatement du principe de translation (p. 342), le produit des quatre points d'intersection defel def est donné par l'évanouissement du discriminant de F,
Si dans le déterminant F, on remplace les u/ de l'une des bandes par des quantités v^/, F^ = o représente le pôle de la droite t> relativement à la conique x, /-i- Xo f = o. Si l'on prend ensuite
2 \ dar, Ox,J
c'est-à-dire si l'on considère la droite t* comme polaire de x relativement à la conique X, f-j- Xo/'= o, le pôle de cette droite par rapport à x,y-l-X2/*=o est représenté par l'évanouissement de la formation suivante :
Y' ~ 2 djci' -^ ' 2 ÖJ-;)
-1 "u X, an
1 "12 •K^ flj, -f- Xj cjj Xi «1» -(- Xo a
Xo «,
OU symboliquement en vertu de (12)
!l3) \ -+-2X, X, (aa'tt)[>, (afl'c)c, -4->, (ffrt'e'jcj],
-f- x\ a.' ( >, c- c, -f- >, c'.. Cj ) .
ümoDccno!« a la tbéoiie des fokmks alcébuoces. 365
Le premier et le dernier terme ne dépendent que des coeffîcients de l'une des formes et renferment respectivement le facteur c, ouc^; ils contiennent donc respectivement le facteur effectif An, ou A222' Le coefficient de x| ?.2 est la forme B,, celui de x] 31, la forme Ba- Pour ramener aussi les autres termes à des formations simples, posons x^ = X/. Alors Bj^, = o est l'équation du pôle de la polaire de x relativement à la conique x,y-i- Xif = o, c'est-àdire que l'équation du point x et par conséquent B„ renferment nécessairement le facteur u^. Que l'on multiplie en effet les trois premières lignes horizontales du déterminant B„ respectivement parxi, JTj, 0*3 et qu'on les retranche ensuite de la troisième, tous les termes contenus dans celle-ci deviennent nuls à l'exception du dernier, dans lequel on a — Ujc au lieu de zéro. Nous obtenons par suite, d'après (i i),
Si l'on pose, d'autre part, dans (i3), x/= i/, on trouve, en égalant les coefficients des mêmes puissances des X, les relations suivantes, qui au surplus peuvent avec facilité s'établir directement de la manière précédente au moyen du calcul symbolique :
[abu] [abc] Cj. — u^c^Cj^ = - A,..!«^,
B, 4- 2 [aa' u] [aa' c) =: Anj u^, ^{aa u][aa'c']c'j.-i-Bt = AxiiU^,
La réduction aux formes de notre système se trouve ainsi effectuée. Sur la signification géométrique des équations B, = o, Bj = o, il est à peine nécessaire d'ajouter quelque chose à ce qui a été dit à propos de B,v^ = o : B, est formé de B,v en posant /, = 0, Xj = o ; Bo a la même origine pour Xj = o, x, = o.
De B,;^ dérive immédiatement une série de covariants quadratiques, si l'on remplace les u/ par {jl,/] H- fij^^'; et nous nous proposons de montrer comoient tous ces covariants peuvent se ramener
ày,y et ^,2- La formation qui procède ainsi de B,^:
X,«2,-f-X2a'2, X,Ö2j-l-/oa'2 2 X,fl23-f-X,fl',3 fij/j-l-^j/j
xirtai-hxja'a, x, «32-+- Xjfl'gj x,a33-f-X2a33 ."i/s^-f^î/s ^Ji-^hf'i \Â-^hf^ 5-1/3 + '^2/3 O
HxApt=— 2
donne, égalée à zéro, la condition pour que la polaire d'un point x relativement à la conique ^\ f-\- ^2/' = o et celle du même point relativement à la conique iXiJ'-\- [x^J^' = 0 soient conjuguées par rapport à la courbe x,J'-hy.2f^= o. Sous forme symbolique, nous avons, en vertu de (i3),
+ x|( f*i d^rd^ + iiidl,d'^ ) ( \ c^.c^ -f- >2 c^,c^ \ ,
ou, si nous désignons par P les covariants qui se rencontrent ici et que nous les distinguions par des indices correspondants,
Hx>j,= Î^H^lf^lPll -*-^lf*2Pn -l->î.^lPil -t- >-2,"iPM)
+ 2/iXj {>, f^lP*! , 4- >l /^îP', 2 -+- ^î.t^lP'î , H- >î."2 P',, )
-+- 5t^ [\ f*iP", , H- >, .UjP", j + >2 a, P'; , H- >j UjP;, ),
ce qui rend immédiatement visible la signification de chacune des quantités P-^*. Pour les ramener aux formes de notre système (9), posons d'abord X/ = X/ dans le déterminant W^^^.
Retranchons ensuite, comme tout à l'heure pour B,,, dans (i4) de la quatrième ligne horizontale les trois premières respectivement multipliées par Xi, x^, x^; il vient
Si l'on fait d'autre part la même substitution dans ( 1 5), on obtient,
»TROnCCTIO?! A LA TBtotlB DES rOBHKS ALCÉBBIQCES. 36-
par l'identification des coeüGcients, les relations
Les covariants en question sont ainsi réduits d'abord à quatre, mais il existe encore entre eux d'autres relations qui s'obtiennent en posant dans (i5) jc = u. Il vient alors, corrélativement à l'équation (16),
et par l'identification des coefficients on trouve
1*11=0^111/, 1*21=0 Al,,/',
Plî^^-^ïîî/» *22=2-^22îy •
Les formes Pu, P21 = P<2> P'io = ^20 ^22 ^^ décomposent donc directement en deux facteurs, et les autres peuvent toutes s'exprimer à l'aide des invariants et des formes primitivesy,y. Il ne nous reste plus qu'à donner la réduction de l'une de ces formes, telle que P*, , par exemple, à 4>,2. Or on a
et le dernier terme est ici précisément notre forme P^ , . Il en résulte par conséquent
{19) P'i.=Ai„/-^*.,.
Nous avons donc en fait ramené aux J ormes de notre système les douze covariants qui entrent dans H^v^.
A l'aide de l'équation ( 1 9) nous pouvons sans difficulté caractériser géométriquement les relations de situation de fcl àef données par An 2 = o ou A, 22 = o. Lajorme^ i2 correspond dualistiquement à la forme F42 *, *ï*42 = o représente donc le lieu des pointspar lesquels passent deux couples de tangentes àj et à f formant un système harmonique. D'ailleurs V\ , est ce que devient F22 = ul lorsqu'on pose Ui =^fi î P^ ( = o est donc la conique Jormée par les pôles des tangentes de f ~ o relativement àJ = o, La condition A102 = o exprime maintenant, en vertu de (19), que ces deux courbes sont identiques. Considérons, sous le bénéfice de cette supposition, une tangente u de y = o ; il lui correspond relativement ày^= o un pôle placé sur P" , et les deux tangentes v, w, menées de ce dernier point kf =^ o, sont harmoniques par rapport aux deux menées à/= o, c'est-à-dire sont des droites conjuguées par rapport àf:^ o ; par conséquent, les tangentes u, t», tv de^^ = o forment un triangle polaire dey=:o, et l'on peut construire un triangle de cette espèce pour toute tangente u àef. Mais, comme A,22 = «I' est symétrique par rapport aux coefficients de ajj. et de u^., on peut par correspondance de dualité, en parlant d'un point quelconque de/'= o, construire un triangle dont les sommets soient situés sur f=o et qui soit triangle polaire de f' = o. Nous avons donc la proposition suivante :
Si V invariant simultané A, 2 j = ««- des coniques a^. = o et i/^. = o est nul, il existe relativement à <2^=o un nombre simplement infini de triangles polaires circonscrits à la courbe u^. = 0 et î'elativement à u;^ =^ o un nombre simplement infini de triangles polaires inscrits dans la courbe ß^. = 0 ('). On dit que cette dernière est inscrite harmoniquement àla première, et que la première est harmoniquement circonscrite à la seconde. Le théorème corrélatif est évidemment vrai si An2 est nul; il suffit alors d'échanger les courbes y^^: o etfi' = o.
Il est également facile de fixer le sens géométrique des figures représentées par N = o, Ci = o, C2 = o, et il en est de môme à l'égard de X, F, et T^.
(') Sur les coniques qui présentent cette relation, 'vo/r Suns, Proceedingi of the London mathematlcal Society, t. 11, p. g'i ; Rosaces, Math, ^nnalen, t. VI; Darbocx, Jinlletin des Sciences mathématiques, t. I, p. 3:58.
IMTBODCCTIO:« A LA THÉORIE DBS FORMES ALGÉBRIOOKS.
On voit, par exemple, immédiatement que N = o est Téquation du point d'intersection des polaires de x relativement ày=o et f =zo. Nous considérerons encore seulement ici la forme C, qui est le déterminant fonctionnel de B,,yet Ux :
df ()B,
O.ri 0.C1
df dBj df dB,
C| = [aa' «ja'^tf^w, = -
Or B| = oest l'équation d'une droite v, telle que la polaire de chacun de ces points prise relativement à^^' = o est conjuguée harmo-
dB nique de la ligne u par rapport ày= o; les dérivées partielles -r— ^
sont donc les coordonnées de cette droite, et C, = o est la condition pour que la polaire de x relativement à f passe par le point d' intersection de u et de u.
Les formes D et A sont d'un plus grand intérêt pour la Géométrie. Elles ont d'abord la propriété que l'une correspond à l'autre sous le point de vue dualistique aussi bien par rapport à J que par rapport àj'. Pour le démontrer, partons de D et posons
Si l'on désigne par ly la formation ainsi déduite de D, il vient D' = {aa'b) a./ «'. c, d^' b^ c^. d^
=z- [a(^b)[a^bj.— b^> a^ ) a^ r. r/,/ c^ d^
= "'''?( i^"' A «'. <^« ^'«' ^x th-
Actuellement, par application de l'identité [a= (oô)], ö«<?x=(«'«^)<^x = («^c)a^— (rt'ôc)^j,-j- [a'ac]bj., nous trouvons
0, Cjg a'^ f , r=c^ . a'^ a^ -h 2 [abc] (a' ac ) b^ a'. Clebscb. — Géométrie, I.
OU, pour (rtc )/ = «/,
Mais le dernier terme du second membre ne diffère de l'expression qui figure dans le premier que par le facteur numérique et par la permutation de h et de c; nous avons donc
Si l'on porte le résultat dans D', il vient
Naturellement on a de même, pour Uiz=f'.,
D" = — - Ajîj.^i
et les équations réciproques au point de vue dualistique ont lieu pour le passage de A à D. Mais nous savons que les cotés du triangle polaire commun dey^ety' jouissent seuls de cette propriété que les polaires de leurs points relativement kfeif enveloppent la même courbe de troisième classe, courbe qui se compose des sommets du triangle en question. Il résulte de là que :
L'équation D = o représente le produit des trois côtés du triangle polaire commun defet def\ l'équation A = o le produit des trois sommets du même triangle ( ' ).
Le résultat était du reste à prévoir, parce qu'un seul covariant D du troisième ordre est renfermé dans notre système, et que le triangle polaire est toujours représenté par un covariant. En vertu de ce principe, Ddoit aussi représenter le triangle polaire commun de F|2 et de 4>,2, et de là résulte que :
Toutes les coniques covariantes de J et de f ont avec ces dernières courbes le même triangle polaire commun D = o, A = o
(') La (Iccoinpositiun de D ou du A en trois facteurs linéaires conduirait à une nouvelle solution pour la réduction simultancu do / et de /' à la forme canonique (p. t58). Nous apprendrons à connaître, dans la théorie des courbes du troisième ordre, un moyen d'cITecluer la décomposition.
IXTBODUCTION A LA THÉOHIE DES FOBMES ALCÉBRIODE«. 3^1
OU, en d'autres termes : Les Jormes D e£ A sont des combinants pour toutes les formes du système
y-if-h y-if'-\- xjy,
ç désignant une forme quadratique quelconque covariante de J et def\ ou si l'on 'veut 4>,2, pour plus de simplicité. Si l'on prend le triangle polaire pour triangle des coordonnées, toutes ces fonctions ne peuvent renfermer que le carré des variables. Si, en effet, nous posons
il vient pour z, = z, /..y = i , >., = )., Xj = i , /^i =.",^2=1,
•x+V o 0 (p-f-).')Çi
et dans le développement du déterminant n'entrent que les carrés des l-
Les coefficients qui se rencontrent dans f sous la forme canonique sont, comme on sait, les racines de l'équation cubique A, = o. Nous avons vu d'ailleurs (p. 168 et suivantes) que la transformation en cette dernière forme n'est plus possible sans restriction lorsque quelques-unes des racines dont il s'agit deviennent égales entre elles. Dans ce cas, les courbesyety se touchent d'une certaine manière et l'espèce de ce contact est déterminée par le mode d'existence des déterminants mineurs de Ax vis-à-vis de la racine multiple de l'équation précitée. Mais ces conditions de contact doivent aussi, d'après un théorème précédent, pouvoir se représenter par l'évanouissement d'un invariant fonctionnel des ïovmesfelj' (p. 341 )• C'est à quoi conduisent les développements qui suivent.
Nous savons c^nefeif se touchent, si deux racines de A,= o, sont égales, c'est-à-dire si le discriminant de la forme cubique A, est nul (p. 169). La condition du contact simple est donc
(20) 4(AiiiAij2 — Aj,j )(A,„A„,— AJj^)— (AiiiA,,j — A,i,Ai„)* = o.
Si, au contraire, A,=: o a trois racines égales, il y a osculation
enivefelf : d'un autre côté, la forme hessienne de la forme cubique binaire A, doit être identiquement nulle (p. 283).
Les condiUons du contact biponctuel sont par suite I \ -Aiii Aiij A]j|
Ans -^122 ^222
Si f et y se touchent en deux points différents, le faisceau y-\J-i-''-2j'= o se correspond dualistiquementà lui-même : par tout point passe une courbe de ce faisceau, et toute droite est touchée par une des courbes qui lui appartiennent. Cette dernière circonstance est rendue possible par le fait que F, = o admet pour — une
racine indépendante des m,, à savoir précisément la racine double de A, = G. En cfFet, le faisceau /ii/i + /.o /' renferme une droite double, la ligne joignant les deux points de contact, laquelle est touchée par toute droite du plan (p. i33); et cette ligne double est déterminée par la racine double de A^ = o. Or cette dernière est donnée comptant deux fois par l'équation A^=o, A^ étant la forme hessienne de A,; par conséquent, le résultant des deux formes quadratiques F„ et A^ est nécessairement nul. Mais ce résultant se réduit ici à l'invariant (AF)-, si l'on pose pour l'instant
parce que A^ est un carré parfait. Après avoir effectué le calcul de l'invariant (ÛF)-, nous avons ce théorème :
Sifetf se touchent en des points séparés, on a, indépendamment des Ui et conjointement avec (20), la condition
(AiiiA,î2 — A^,,)Fj, — (A,,,Aîî, — A,,,A,„)F,, -H (A,,,Ai2, — Afjj)F,, = o.
Le cas du contact Iriponctuel dey et dey' peut être envisagé comme une combinaison des deux derniers cas : A, a un facteur linéaire triple, et F, renferme le même facteur à la première puissance. Maintenant, comme A, = (A| x, -j- Aaxa)' est un cube parfait, la condition posée est satisfaite lorsque le covariant binaire linéaire (AF)*A, s'évanouit indépendamment des quantités x. Si
INTRODI'CTIOX A LK TUËORIG DBS FORllES ALCEBRIQCCS. i';'^
donc nous introduisons les valeurs effectives des coeflîcients de Xi, Xj, nous avons ce théorème :
Si J" et font un conctact iriponctuel, on a, conjointement avec (21) et indépendamment des «/, les conditions
, ,, , AnîFj, — 2A,„F„ + A,îjF,i=ro,
AjtiFij — 2A,j,F,2 -H AjjjFh = o.
Les positions remarquables énumérées ici à l'égard de deux coniques se réfèrent seulement aux cas saillants indiqués par la Géométrie. En parlant du point de vue de la théorie des invariants, nous devons distinguer rigoureusement un système quelconque de deux coniques de tout autre système, lorsqu'il n'est pas possible de transformer linéairement les deux systèmes l'un dans l'autre. Or cette possibilité dépend de la valeur des invariants simultanés absolus des deux coniques (*), et la position des coniques vis-à-vis l'une de l'autre est donc caractérisée par cette valeur. Le nombre des invariants absolus est facile^à déterminer. Les deux coniques dépendent en effet ensemble de dix constantes ; or nous pouvons déterminer les huit constantes d'une transformation linéaire, de telle sorte que huit des dix premières constantes prennent des valeurs quelconques; les autres sont alors absolument fixées, c'està-dire que deux coniques ont deux invaj'iants absolus. Nous avons à former ces derniers au moyen des quatre invariants Ahi, Ana, A,22j A222> de telle sorte que les coefficients àefeX. àef y entrent à la même dimension au numérateur et au dénominateur, et c'est sur ces bases que l'on établit de la manière la plus simple les deux fonctions suivantes :
Maintenant notre tâche est d'exposer la connexion de ces invariants absolus avec les rapports anharmoniques qui se rencontrent
(') Cette transformation est toujours possible si les invariants absolus dans les deux systèmes ont les mêmes valeurs et si, dans tous deux, les mêmes covariants, contrevariants et formes mixtes sont identiquement nuls; par conséquent, en {jénéral, si, dans les deux systèmes, les mêmes invariants fonctionnels s'évanouissent (uo/rla Note de la page 3'|i}.
dans la figure formée par les deux coniques. Nous observerons d'abord que les lignes qui joignent un point quelconque àc f=: o aux quatre points d'intersection de y et dey*' forment un rapport anharmonique constant pour tous les points dey(p. 63). Un autre rapport anharmonique constant est également donné par la ligne joignant un point dey aux quatre mêmes points. Nous nous proposons d'exprimer ces deux rapports anharmoniques au moyen dce^i ou rA.2. Remarquons d'abord dans ce but qu'en chacun des quatre points d'intersection [j] àejeiàef, les tangentes aux courbes du faisceau
donnent un faisceau de rayons dans lequel chaque rayon est déterminé par les coordonnées binaires correspondantes x.,, x^ : par suite, la tangente de^au point j^ sera donnée par zo = o, celle de y par K, = o. Conséquemment, A, nous représente une forme binaire cubique telle que les rayons correspondants du faisceau sont les tangentes menées par j^ aux trois couples de lignes, c'està-dire les lignes qui joignent j' aux trois autres points d'intersection. Ces trois lignes forment alors avec la tangente de y en j', c'est-à-dire avec la ligne y.., = o, le rapport anharmonique en question, qui est constant pour tous les points dey. Nous avons, par conséquent, à résoudre le problème qui consiste à déterminer le rapport anharmonique d'une forme binaire biquadratique se décomposant en la forme cubique A, et en une forme linéaire Xa, et l'on y parvient d'une manière connue avec le secours des invariants i'ety de la forme biquadratique (p. 299). Soit maintenant cette dernière donnée par
et posons
K* = a^a[ = [ao-A\ -t- 3^,xJ x^ -f- Sfl-jZ, xj-l- «jx^ ) (c/, •.•., -f- fi'.,Y.,] ;
nous devons, dans
/ = 2(aoat — 4«i«3 + 3«|)
et
IXTRODCCnON A LI THÉORIE DES FORIIES ALCÊBRIOCES. ">; >
subsliliier
Pour notre but, nous avons en particulier à choisir u^ ■= o, «2 = 1 , et nous obtenons ainsi pour al = A,
a/ = 3{Aj,, — AhîAhi)
07 ^= 3A,n AnîAjjî ^\i\ ^m ^A, , ,, et par conséquent, pour le rapport anharmonique cherché a,
o ( 3A-^^ — 3 A|t»Ani ^
9 i^AiiiAujAijj A,,j Aj2i aAj , j]
ou, après une transformation simple du dernier membre,
Le rapport anharmonique et des lignes qui joignent un point de J" aux quatre points d'intersection de f et de f est donc donné par l'équation (aa), et de même le rapport anharmonique ß des lignes qui joignent un point de J"' à ces quatre points sera donné par l'équation
Par suite de ces équations, nous pouvons, en ayant égard aux relations
énoncer en particulier le théorème suivant :
Si les invariants A, 1 2 ^^ A, 00 sont nuls simultanément, le rapport anharmonique des quatre points d' intersection est équianharmonique j'elalivement aux deux coniques.
376 TOME I. CDAPITRE lil.
Une queslion voisine est celle de la recherche des trois rapports enharmoniques déterminés sur les côtés du triangle polaire par les points d'intersection de ces côtés avec les coniques y*et y^. Pour établir l'équation cubique correspondante, prenons /" et/"' sous la forme canonique
Sur le côté ^i = o sont situés les deux couples d'intersection
|^ + Ç^=o et y'^+',!"çl = o,
et au système de ces formes binaires quadratiques appartiennent les invariants (p, 267)
Al'aide de ces derniers, on calculera le rapport anharmonique a, des quatre points correspondants au moyen de l'équation (p. 269)
'D^~ 4).")/" («1 — ij"
donc, pour trouvera,, nous avons uniquement besoin de connaître l'invariant absolu
