À'" ~DD

c'est-à-dire que nous avons à former une équation cubique dont les racines sont les trois grandeurs

au moyen desquelles nous trouvons alors les trois rapports anharmoniques cherchés, en ayant égard aux relations

Mais nous connaissons les fonctions symétriques de ces trois racines 7, parce que celles des racines X', X", X'" sont déterminées,

i:<TK0Dccn07( A LA THÉORIE DES roRins ALCtlUOCU. 377

et des équalions

Am

3 ^» = yi" ^vy^ >•)/.

■Aut

Ain on lire, en tenant compte de (28), les relations suivantes :

^'^'^'~ 64AÎ..AÎ,, = ö4(>-9'^.^^*)%

V V -f- V V -»- '/ V — ^^'"^în — 9A|nA,„Ai,,A„. + 27(Aî,^A„, -<-A?„A,

#1 / î ' fi /3 • #3/1 ~ ~" £• » • r~5 ' ' '

i6AÎ,,A*,, = 7^ [• — 3 -A , .1,, (1—9 -Xi — 9.V,, )],

AiuAjii

Les invariants absolus des trois couples deformes binaires quadratiques, qui sont représentées sur les côtés du triangle polaire par les intersections de ces derniers avec f etf, sont donc les racines de l'équation

et des racines de cette équation on déduit les rapports anJiarmoniques a des trois groupes quaternaires au mojen des équations {3») (•).

(') Si l'on prend l'une des deux coniques en question pour base d'une déterminatioD métrique projective dans toute sa généralité {voir la Note de la page 187), on aura à distinguer dans le plan, corrélatJTement aux deux invariants absolus qu'une conique quelconque détermine avec la conique choisie, un nombre de coniques doublement infini, difiërentes les unes des autres au point de vue métrique. On peut obtenir une classification de ces dernières d'après leurs contacts possibles avec la conique fondamentale, c'est-à-dire d'après le mode d'existence des invariants fonctionnels mentionnés au texte. Cela répondrait à la classification en ellipses, hyperboles et paraboles dans la Géométrie métrique ordinaire, car la réalité des quatre points d'intersection avec la conique fondamentale dépendra des valeurs des invariants absolus. Les rapports anharmoniques déterminés par les deux coniques sur les côtés du triangle polaire correspondent alors en un sens aux longueurs des axes dans la Géométrie métrique ordinaire.

Nous ajouterons encore quelques remarques sur le système de trois coniques. Etant données les trois formes quadratiques

le covariant simultané le plus simple qui s'offre d'abord est leur déterminant fonctionnel ou leur jacobien, c'est-à-dire le déterminant formé des premières dérivées partielles

àf

Of

*if

dr.

ôv^

ÔJ-i

Ôf

Ôy

âf

ôa-.

dp

dxi

dx^

dxj

[aa a 10^0^0,

Égalé à zéro, ce déterminant donne une équation qui peut être envisagée comme le résultat de l'élimination des y ou des x entre les trois équations

La courbe du troisième ordre représentée par V évanouissement du déterminant fonctionnel est donc le lieu des points dont les polaires relativement aux trois coniques données se coupent en un même point, et en même temps le lieu de ces points eux-mêmes. Cette courbe, ainsi qu'on le reconnaît immédiatement, se trouve dans la même relation avec trois autres coniques quelconques du système doublement infini

qu'on a coutume de désigner dans son ensemble sous le nom de réseau de coniques ( ' ) ; autrement dit, elle est une combinante du réseau (p. ajc)). C'est sur l'étude de la courbe du troisième ordre ainsi obtenue que se concentre le principal intérêt, lorsqu'on considère des réseaux de coniques. Nous ne ferons que mentionner ici quelques cas particuliers.

(') Voir, sur ces réseaux, Steiner, l'orlesungeii über synthetische Geometrie, t. Il, rédigé par SuinÜTF.n, q Aullagc; Leipzig, 187G, et Creuo^ia, Einleitung in tiie Theorie drr algebraischen Curven.

LTTBODCCnOX A LA TBÉOIIB DES FOlUfU ALCEBMQCtS.

En premier lieu, par exemple, les trois courbes peuvent être situées de telle sorte qu'elles aient un triangle polaire commun ; c'est un cas que nous avons déjà cité par occasion (p. Sjo). Nous pouvons alors supposer les équations des trois coniques sous la forme

«Il

ce*

et le déterminant fonctionnel est par suite

La jacobienne du réseau se décompose donc en les troLi côtés du triangle polaire, en supposant que le déterminant des a, ß, y ne soit pas nul, cas où I^o. Lorsqu'il en est ainsi, nous pouvons poser dans notre cas

a. = xx' ■+- Àa", ,5 = z5' H- /S", y = x-/ -4- /y",

c'est-à-dire que les trois coniques appartiennent au même faisceau. On a donc, en général, ce théorème :

«Si le combinant I des trois formes quadratiques J, o, ^ s'évanouit identiquement, les trois coniques correspondantes appartiennent au même faisceau j de telle sorte qu'on af= z5> -f- X?|>. Le cas ail les trois courbes dégénèrent en trois couples de droites à points doubles conununsjait exception.

Pour le démontrer, multiplions la forme I par Mj-, les quantités a/ étant des grandeurs tout à fait arbitraires, m^ étant seulement assujetti à ne pas être nul. Si l'on fait usage de l'identité III (p. 35a),

il vient

[aa* a" Uj. = («* a" u) a^ — aa' «) a'^ -h [aa' u) a'j^,

et si, conformément à nos notations précédentes, nous posons la condition I ^ o se transforme en

Cette relation doit avoir lieu pour toutes les valeurs de x et de u. Si donc on a simullanémenty=o et (j> = o, il en résulte 4' = o ouNyy = 0, c'est-à-dire que t|/ = o passe par tous les points d'intersection àef= o et 9 = o, de telle sorte qu'alors y=r xo H- X(|>, à moins que N^y ne soit également nul. Ce dernier cas exige quelques explications supplémentaires.

La condition N^y = o est équivalente aux trois conditions

dans lesquelles x n'est plus quelconque, mais désigne un point d'intersection àefei de 9. Elles expriment que les coniquesy=o et 9 = 0 se touchent en x. Or, en vertu de I^o, existent pour tout point X des relations de la forme

les grandeurs «^. ^f" sont donc proportionnelles aux coordonnées de la tangente de f et de 9 en or; les trois coniques se touchent par conséquent toutes les trois en x, et Von a encore J' =^ y.o -\- 1^ . On résout d'une manière semblable le cas où N^/ est nul, parce que les quantités «r ai sont nulles séparément, c'est-à-dire le cas oùj a un point double en x.

Si, au contraire, les courbes 9 ety ont simultanément un' point double en x, cas où l'on a a^ai = o et aj.a\ = o, on peut, au lieu des quantités x, introduire de nouveaux covariants ^, en sorte que

«!c* = Vî-^-2Ç37r-^-?* = 7oçÎ4-27,?,?J-^-7i^i4-2Ç3('/,;,^-7;?J)-^-?.^ Le déterminant I deviendra égal, à un facteur numérique près, à

Vr/i-*-?3'/i 7;Vj-

(aß) aißz désignant le déterminant fonctionnel des formes binaires «f, |5?. Si donc on doit avoir I=jo, on aura ou bien (a|3)«5ßj^o, ce qui ne peut être satisfait que si af et ß? ne sont pas différents l'un de l'autre, ou bien ^3 = — y\ ; alors a-^ ne dépend plus que des coordonnées binaires ^1, $a» c'est-à-dire que la conique ij> = o se

hp.

-^hy\

INTBODIXTIOM A LA TDtOBIE DES FORMES ALCÉBBIOIES. 38l

réduit égalemenl à un couple de lignes, dont le sommet se confond avec le sommet commun de^* = o et o = o. Dans ce cas, I s'évanouit sans que l'on puisse poser f-=. xç -f- Xt^ ; cette dernière circonstance ne serait possible que si les trois formes binaires af, ß?, }f appartenaient à une seule et même involution ('). Le théorème ci-dessus se trouve par là démontré.

Nous avons déjà mentionné aussi, à l'occasion de la théorie du cercle, un autre réseau de coniques d'un caractère spécial. Ce réseau se distingue par la circonstance que toutes les courbes ont en commun deux points fixes. On montre facilement dans ce cas, par une forme spéciale d'équation, que la jacobienne se décompose en la ligne qui joint les deux points et en une conique passant par ces derniers, ainsi qu'il résulte au surplus de théorèmes généraux qui seront donnés plus tard sur les déterminants fonctionnels. Si, en particulier, les deux points signalés coïncident avec les points circulaires, la jacobienne se compose de la droite de l'infini et du cercle orthogonal des trois cercles donnésy = o, o = o, <} := o, ce qui peut de môme se démontrer sans difficulté.

Nous abandonnons ici ce sujet, parce qu'une théorie complète de ces réseaux suppose une étude plus détaillée des courbes du troisième ordre: nous y reviendrons pour cette raison en traitant de ces dernières courbes.

(') La condition pour qu'il en soit ainsi est donnée par l'éranouissenient de l'inrariant binaire («)8)Ci3)')(y«). (^o/> Clebscb, Theorie der binären Formen, p. 208.)