Tome III, pages

Pour le troisième Volume, M. Lindemann a bien voulu revoir la traduction elle-même. C'est une garantie de plus que la pensée de l'Auteur dans ces matières difficiles a été fidèlement rendue. J'ai pu ainsi terminer la tâche que je m'étais imposée, sans avoir, je l'espère, dépassé mes forces.

Chalon-sur-Saône, décembre 1882.

Nous croyons devoir reproduire ici quelques indications données dans la Préface de l'édition allemande, sur la composition des Tomes II et III. Ces indications font suite à celles qui figurent au commencement du premier Volume.

TomeII. — Les quatre premières Sections du Chapitre P'' (p. 1-91) sont une rédaction de la première moitié du Cours n° 2 (voir t. I, p. vu), modifiée en quelques passages à raison de la théorie des formes algébriques exposée auparavant, mais intelligible pour la plus grande partie sans le secours de cette dernière. On a ajouté les théorèmes de Nöther sur l'équation /= A cp + Btl» (p. 45 et suiv. ), les démonstrations effectuées au moyen du calcul symbolique du mode d'existence de la hessienne aux points singuliers de la courbe primitive (p. 70), la détermination directe des tangentes d'inflexion de la steinérienne (p. 82) et une extension du théorème sur les points de rebroussement de cette dernière. Les Sections sur les systèmes de courbes, sur le principe de correspondance étendu et sur la correspondance unidéterminative de deux plans superposés sont été, dans toute leur étendue, composées d'après les Mémoire

AVERTISSEMENT DU TRADUCTEUR

originaux; l'étude algébrique des systèmes élémentaires de coniques ( 1 17- 1 20) est seule empruntée à une Leçon de Clebsch pendant l'hiver de 1 870-1 871. Quant aux transformations de Cremona, Clebsch en a donné un court aperçu dans ses Leçons sur les fonctions abéliennes (hiver 1870-1871) et dans celles sur la Géométrie de l'espace (hiver 1868-1869). Dans les Sections précitées on trouvera peut-être quelque chose de nouveau, sinon dans les résultats, du moins dans les démonstrations; nous croyons devoir mentionner ici : la détermination du mode d'existence de la jacobienne aux points communs des trois courbes primitives (p. 97), le calcul de la courbe de coïncidence pour les cas les plus simples de la correspondance sur une courbe de genre quelconque (p. iSa et suiv.), les recherches sur les systèmes de courbes qui touchent une même courbe fixe (p. 63 et suiv. ) et l'établissement de la loi de réciprocité de Bull relativement à ces systèmes, au moyen du principe de correspondance.

Le Chapitre II renferme dans ses trois premières Sections la continuation du Cours n° 2. M. Lindemann y a ajouté les recherches sur les réseaux ponctuels et tangentiels de coniques (p. 248 et suiv. ) d'après Rosanes, et les remarques sur la connexion du mode de description de Grassmann avec celui de Chasles. La théorie des formes ternaires cubiques est une exposition de la partie correspondante du Cours n° 3, prolongée toutefois au delà des limites de ce dernier et élargie par l'intercalation de recherches géométriques. La sixième Section formait, quant à son contenu géométrique, là fin du Cours n" 2. Les Sections sur l'application des fonctions elliptiques et sur la représentation paramétrique ont été composées personnellement par M. Lindemann. Clebsch n'a fait qu'aborder brièvement ce dernier sujet à la fin de son Cours sur les fonctions elliptiques (été de 1 872) ; l'introduction des fonctions H de M. Hermite a été empruntée directement à cette source (p. 387). Mentionnons la tentative de résoudre certains problèmes algébriques d'élimination par l'usage des équations de division des fonctions elliptiques (p. 422 et suiv.).

Tome III. — Le Chapitre lest une rédaction, complètement personnelle à M. Lindemann, des matières qui y sont contenues; l'auteur s'est cru d'autant plus autorisé à l'entreprendre que la connexion de la théorie des fonctions abéliennes avec la Géométrie

AVERTISSEMENT DU TRADUCTEUR

est une des plus belles découvertes que nous devions à Clebsch et que ces applications n'ont été traitées qu'incidemment dans l'Ouvrage de Clebsch et Gordan sur les fonctions abéliennes. Les recherches purement algébriques qui s'y trouvent doivent être pour partie considérées comme complémentaires des Sections correspondantes du Chapitre I du Tome IL On trouvera peut-être ici encore des points de vue et des démonstrations nouvelles; nous citerons l'exposition de la démonstration directe de la conservation du genre dans les transformations unidéterminatives (p, 3 et suiv. ), l'établissement des formules de Brill pour les correspondances simultanées sur une courbe (p. 176 et suiv. ), la décomposition des expressions différentielles algébriques en sommes de différentielles normales (p. 102 et suiv.), la déduction du théorème de Jacobi et celle du théorème d'Abel comme conséquence de ce dernier (p. 2o4 et suiv.), la résolution du problème d'inversion étendu, pour le cas dep= 2, basée sur les principes de Riemann (p. 267 et suiv.) et l'étude des courbes du genre zéro (p. 287 et suiv.).

Dans le Chapitre II la théorie des connexes a été exposée en prenant pour base le Cours n" 3 et un manuscrit laissé par Clebsch. M. Lindemann a ajouté quelques résultats numériques (p. 355, 377), l'établissement des propriétés des courbes désignées par F = o et <î> =: o (p. 392), les exemples relatifs à la détermination des courbes de coïncidence (p. 399 et suiv.), une étude détaillée du connexe (i-i) basée sur les Mémoires cités dans le texte, les théorèmes généraux sur le connexe (i, n) et les recherches de Godt sur le connexe (i, 2). Sont empruntés en particulier au manuscrit de Clebsch : le calcul du connexe conjugué d'un connexe (2, 2), les remarques sur les différentielles d'intégrales algébriques multiples elles développements de la page 4o3. Les notions sur l'intégration d'une équation différentielle ainsi que l'étude des transformations de contact de Lie ont pour base une esquisse manuscrite de M. Klein qui a bien voulu permettre à M. Lindemann d'en faire usage.