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ff

(*) La recherche des tangentes doubles dune courbe du quatrième ordre à point double a été donnée par Brill (Math. Annalen, t. VI, p. 66), comme annexe à son étude, pour le cas de /; = 2, de l'extension du problème de l'inversion. Comparer la note de la p. 267; voir aussi Reçu {Journal de Crelle, t. G6, p. u4 et suiv.).

LA CÉOMÊIRIE SUR USE COURBE ALCÉBRIOL'E. 28 1

Les points de contact de ces seize tangentes doubles sont aussi, ainsi qu'il a déjà été observé, compris parmi les solutions des équations

du,, -+- / du,, + / du,, = - /■/„

qui déterminent les points de contact des coniques de contact passant par les autres points d'intersection de la tangente de ft. On peut ici précisément faire coïncider l'un des points x^^^ avec le point [JL si la condition (^S) est satisfaite à l'égard des nombres m, <7, g qui entrent dans les grandeurs k/,. Si cette condition n'est pas satisfaite, on obtient néanmoins, au moyen des équations (24)1 les points de contact d'une conique proprement dite. Le nombre de ces derniers est par suite égal à 2---+' — 16 = 16.

On parvient (comme dans le cas de /? = 3) à d'autres propositions sur le groupement respectif des tangentes doubles, en partant des systèmes de coniques de contact (actuellement non adjointes). Les points de contact j:^*^, ...,x^''^ d'une courbe de cette espèce se déterminent, c^'^, . . . , c^'^ étant les points de rencontre de G4, avec une droite quelconque (laquelle comptée deux fois donne une conique de contact), se déterminent, disons-nous, au moyen des équations

£a-(l) /.x(î) ^x('') px\'>) ^

du,,-\- 1 du,,-^ l du,,-{- j ditt,^ - h/,, 1) c/fl«) Jc'(3) Jc(4l

les quantités hh étant encore définies par (22). Il est, d'ailleurs, plus avantageux pour la solution du problème de l'inversion de prendre pour base d'autres équations dans lesquelles les points «^'^ qui répondent à fx entrent comme limites inférieures. Or, par les deux autres points d'intersection de la tangente de yi passent deux courbes du quatrième ordre dont l'une consiste en la conique tangente en a^'^, a.^'^\ a^^^ comptée deux fois, l'autre est formée par la conique tangente en x^^^, . . . , x^*^ et par la tangente de y. comptée deux fois. Nous pouvons donc aussi déterminer les points x^^^ au moyen des trois équations suivantes :

du,, -H / du,, + / du;, -i- / du,, -h 2 / du,, ^ - fi,, ,

a"» ./a(S) Ja(» Ja'2' ^a'3) ^

où les hh sont différents des systèmes de périodes ainsi désignés

aSa TOME ni. — cdapitre i.

dans (aS), quand même tous deux appartiendraient aux mêmes limites supérieures. Dans ces équations, on peut toujours prendre encore un point x à volonté ; les trois autres, d'après les lois du problème de l'inversion étendu, se trouvent par là fixés; en effet, les équations (26) se confondent avec les équations (20), à la condition qu'on choisisse convenablement Vh dans ces dernières. Il existe, comme nous l'avons déjà énoncé, trente et un systèmes de coniques de contact proprement dites; il faut y joindre le système doublement infini des droites comptant double dont les points d'intersection s'obtiennent au moyen de (26) pour /r, = Ao = ^3= o. En fait, toute droite forme, ensemble avec la tangente de ^, une conique, en sorte qu'on a, d'après le théorème d'Abel,

(lu,, + / du,, + I ilu,, -h I du,, H- 2 1 du,,=z o.

a'i) t/a(2) Ja(i) »/a's) t/ais)

Si maintenant une semblable conique de contact, dont les systèmes de périodes hf, sont donnés par les nombres m,, mo, qi, q^, g, doit se décomposer en deux tangentes doubles caractérisées respectivement par les nombres m\, m'..,^ q\^ q\, g' etm'j, m'^, ^",, q\, g", on aura nécessairement (mod. 2)

m, ^Eiin. -f- m. , in^^ m.

On reconnaît facilement par là que chacun des trente et un systèmes, à l'exception de celui déterminé par les nombres q^ =. q^=. m, = nu =0, g = i^ comprend quatre couples de tangentes doubles [par conséquent huit tangentes doubles) ; et ces trente systèmes se rangeront ensuite deux à deux suis^ant la 'valeur de g, de telle sorte que deux systèmes comprennent toujours la totalité des seize tangentes doubles. Chaque tangente double peut, par conséquent, suivant la manière dont elle est groupée avec les autres, être considérée comme appartenant à quinze systèmes, comme le fait apercevoir le tableau suivant. Ce tableau a été simplifié par la désignation des tangentes doubles au moyen des nombres 1,2, . . . , 16 introduits dans le tableau précédent. Les chiffres romains se rapportent aux quinze couples, de deux systèmes de co-

LA GÉOMÉTRIE SCR UNE COURBE ALGEBRIOIE

niques chacun, qui correspondent aux quinze couples de systèmes de valeurs m, q, g, les derniers nombres différant dans chaque couple uniquement par la valeur de g. Les tangentes doubles placées l'une sous Fautre forment deux à deux un couple ; à côté des chiffres romains sont placées entre parenthèses les valeurs des nombres correspondants m,^q,y ma, q^i tandis que les valeurs de g sont notées à ffauche sur le bord. On obtient le tableau :

Il 12 i4 i6