TU

LA GÉOMÉTRIE SUR t'NE COURBE ALGÉBRIOUE. * 269

arbitraire et constante. Nous avons de même, pour les coupures rto, b^, b^,

(2) («I — «7),,^=0, [uX-Ul)a,— 1T:i, [uX—iq]a,= 0, .

«21, [uX—u-]o, = a.,^, {nX—u-)t,,= l ciu-^^A^,

et l'on a en même temps, en entendant par 1 l'intégrale prise le

long de la coupure entière a, et en choisissant convenablement le sens dans lequel on prend l'intégrale {'),

a/rr =: / (lUi= j du^.

Enfin l'intégrale u^ varie encore de dbaiTT à chaque circuit autour de l'un des infinis ^, yj. Les coupures c,, Co n'entrent plus en considération pour les propriétés de périodicité des intégrales.

Pour la fonction 0 qui dépend des intégrales m,, u^^ (p. 226),

nous avons d'ailleurs, comme on sait, les équations (v = i, 2)

(4) (0+:0-)a,^ = i, (0-^: 0-),,^ = e""^2"v'^ et si l'on pose

(5) (/ = »'.,-!- am^TTi + «,.,(7i -H 02-^2, on a en général

.?,t'i + 7jfj-4--(<?frt„4-29,7jn,5-H7l«si)

(•) ^ot>, par exemple, Neomans, op. cit., p. 126, note.

Actuellement le problème que nous avons à traiter consiste en ceci :

Au moyen des trois équations,

elu,,^ / du,,-^ / du,, = 11,, (Ä = I,2, 3),

détenniner les points x^^\ x'^-\ x^^^ en fonction des grandeurs données (V,, Wo, w^. D'après ce qui a été dit sur le problème d'inversion de Jacobi (p. 223), on voit immédiatement que l'on peut

obtenir une équation pour les valeurs d'une fonction algébrique -

aux points x^^\ x'-\ x^'^ si l'on réussit" à représenter comme fonction des grandeurs w^^w^^^Wz la somme des valeurs d'une intégrale de troisième espèce à infinis quelconques (^, S", c'est-à-dire la somme

(8) ^'c^A \—\ dnr^-\- dnr=}-h dur^.

II s'agit donc uniquement dans ce qui suit de fournir la représentation dont il s'agit.

On y parvient à l'aide d'une fonction &'[ui, U2, u^) ou plus brièvement 0'(m), dépendant des trois grandeurs u,, iio, "3 (quoique non symétriquement), et que nous définirons par l'équation suivante

[ ©'(m) = ©(«1 — -Al, 11^— -A2 j .e^"'

[ + 0 ( «1 + - Al, i<2 4- - A2 ] .e ^ ,

OÙ A,, A2 indiquent les intégrales désignées de la même façon dans (3). En ayant égard à (3), on a, pour les coupures b/,^ h étant égal à I, 2,

[e(„.±l.,)^.(,„.i.)-]^=/-^-K En vertu des propriétés de l'intégrale ^3 exprimées dans (3),

LA GÉOMÉTRIE SUR UNE COURBE ALGÉDRIQUE. a^I

nous avons donc, d'après {9),

(10) [log0'(«)-^- log©' («)-]/,,= «/,+ -«A/, (//=l,2),

et, en définissant ensuite v'.^ par l'équation ,

(11) i''3 = P3-4- 2g-/7rH-7,A,4- ryjAî,

et i>\, 1^2, d'autre part, encore par (5), on trouve, en général,

j log0'(t'')=loge'(p) + 5r,,.,+ 72<^2

ff£ /'o/z vejnße aisément que

Les propriétés de périodicité de la fonction 0'sont, d'après cela, complètement analogues à celles de la fonction 0 ordinaire. Au contraire, la première, sur la surface de Riemann décomposée, n'est plus, comme la dernière, une fonction qui soit partout uniforme, car, en découpant la surface le long des sections transverses, un circuit autour de l'un des points ^, n n'est pas rendu impossible, et un tel circuit change le signe de 0'. A chaque point de la surface correspondent donc deux valeurs de cette fonction; pour les points ^, rî seulement, ces deux valeurs se confondent. En ces points, en effet, Wg devient infiniment grand, comme log(x — ^ ) ou log(a: — ri) en jc = ^ ou x = -n respectivement, et par suite 0'

devient algébriquement infini, comme [x — ^) -ou(a: — r,)' . Les

points \, m sont donc des points de ramification de la fonction 0'; et, pour préciser, cette dernière (étendue sur la surface décomposée) n'a pas d^ autres points de ramification, ainsi qu'on le reconnaît d'après la manière dont elle est formée, avec les fonctions 0 ordinaires. Si donc Q'[u) s'annule en un point de la surface, c'est au moins au premier ordre, c' est-à-dire comme x — a pour X = a.

Pour la résolution du problème d'inversion donné dans les équations (7), nous procéderons exaclement comme Riemann l'a

fait pour le problème d'inversion de Jacobi ( ^ ). Nous désignerons par M|, U2, U3 nos trois intégrales dont la limite inférieure commune sera supposée arbitraire et constante, et la limite supérieure comme variable; de plus, Vx, u-2^ V3 désigneront trois constantes données d'une façon quelconque. Nous démontrerons d'abord cette proposition que Xa fonction 0'(« — v) s'éuanouit en trois points de la surface de Rieniann, à moins qu'elle ne soit identiquement nulle; mais cette dernière circonstance sera exclue pour commencer. D'après les remarques qui viennent d'être faites sur l'évanouissement de ©', il nous suffît de montrer que le carré de 0'(« — v) devient infini du premier ordre en six points; mais ces six points doivent précisément consister en trois couples de points coïncidant deux à deux pour que & [u — v) y puisse devenir infini du premier ordre. Nous désignerons, pour cette raison, dans ce qui suit, par 2V le nombre à chercher des points d'évanouissement de [0'(m — ^)]"; ^ est alors le nombre correspondant pour &{u — v).

La fonction

[©'(« — v]Y=:@^-iu,— i\ — ~ A,)e"ä-"3H-0MH,,— (',,+ - Av)e-"3-*-''3

est d'ailleurs, sur la surface décomposée par les coupures a, Z>, c, partout continue et uniforme; aux points ^ et y? seulement elle devient algébriquement infinie du premier ordre. On a donc, d'après une proposition connue,

(l4) JrfIog[0'P= 2 J^ = 2/7r(2V- , - ,) = 4.V( V- l)

si l'on prend la seconde intégrale sur le bord entier de la surface décomposée, c'est-à-dire dans les deux directions le long de toutes les coupures a, Z>, c. Cette intégrale est, d'autre part, égale à

2/</( Iog0'+ — log©'- )

prise suivant une seule direction le long des coupures a, b^ c. Mais

(') Voir RiEMAN.N, op. cit., § 22, et pour de plus amples développements, Neumanx et Prym, loc. cit.

:,.V OSOMÙISIS StH C.NE COURBE ALGÉBBIQLE. ^73

il résulte de (lo) et (12) pour les coupures a e\ c

log0'(« — <•)+ — log0'(« — <^)-z=:0,

et pour les coupures ^

/ [d\oë&' [u — i>]+ — d\oge' [a — v)-]t„^= j du,,= 2T:i\ Nous tirons conséquemment de (i4)

où V=: 3. C. Q. F. D.

Il s'agit maintenant de déterminer plus à fond comment ces trois points d'évanouissement de la fonction 0'(« — v) dépendent des constantes données v^,, v^o, ^^3. Nous aurons à montrer que cette dépendance est représentée par les équations (7) de notre problème d'inversion, à la condition d'ajouter à leurs seconds membres certaines constantes (ou, ce qui revient au même sans passer par l'intermédiaire de ces constantes, à la condition de déterminer convenablement les limites inférieures c^'^). Les trois points d'évanouissement de & [u — v) coïncideraient alors avec les points x'*^, x^-\ jc^^^ qui figurent dans (7), et en conséquence nous les désignerons immédiatement par ces lettres.

Sur le bord de la surface décomposée par les lignes a, b, c, nous prendrons quelque part trois points X}^\ "Q^^ C^^^- ^^ C^'^ nous mènerons un lacet /, enveloppant le point a'*' et revenant ensuite à (^^'^ 5 nous joindrons de même les points x'^-K x'^^'' respectivement aux points ^^-\ ''Q^^ par des lacets 4, 4, et nous imaginerons que la surface soit coupée le long des lignes /|, I2, h\ enfin nous mènerons encore une coupure a^ autour des points ^, yj, et nous la joindrons par une autre coupure à la courbe de bord de notn* surface. Dans la surface ainsi décomposée, log0'(a — r) est une fonction partout continue et uniforme du point variable x. Il eu est de même pour les intégrales «i, Mo, et conséquemment existe la relation

Ws^/log0'ftt — f).f/M,=z=0 (v=il,2),

si l'on étend l'intégrale qui figure dans le premier membre à toute la courbe du bord de la surface, c'est-à-dire dans les deux direc-

Clebscii. — Géométrie, III. l8

374 TOME Iir. — CHAPITRE t.

lions le long de toutes les coupures a,, «25 «S) C|, Cj, ^i, 62, /«, /a, /s- D'un autre côté, cette intégrale est égale à la somme des intégrales

W=/[loge'(« — v)+ — loge' [u — i>]-]du^

prise sur toutes les lignes a, b, c, L Mais nous avons, le long des lignes,

hi ky h, Iog0'-+-— log0'-= a/îT, Ci,C2, log©'"^ — log©'— = 0,

. «/o log0'+— l0ge'-=:2^/,/7r (// = !, 2,3), h^f l()g0'-+-— log©' ■= IL,— v^-{- - «,^+ 2/^/ir.

Les quantités g et h indiquent ici des nombres entiers qu'il est nécessaire d'ajouter, parce que les différences de logo' ne sont définies qu'à un multiple près de 2i7r. Si nous désignons maintenant par al'\ af'j a.[^^ les valeurs de u^ aux points X,^^\ ^(-^, ^^^\ par a[^\ a!-^\ a^"' celles aux points xM\ il vient

dW = iiiic I du, = ( «;'*' — «/'» ) 2 1 ît,

JdW = Ztz ig, I dUy^i-igyiTT.af^, (/t = ï, 2},

Ici / du, est égal à 2 tti ou o suivant que 7^ ^ v ou A ^ v ; l'intégrale

Ju^du, dépend seulement de la valeur initiale constante de l'in

tégrale u,; les intégrales a^' sont de même indépendantes des x^'K Si donc nous désignons par k, de pareilles constantes indépendantes des x^'\ il vient finalement, pour v =: i , 2,

o = ^Y^[ai^^ -i- «r^'H- a<^' — (',-1- CLhjTt -+- g^ai^-h gta^^^ k,)'ii-n.

On établit de la même manière pour M3 une équation complète-

LA GÉOMÉTRIE SUR OXE COURBE ALGÉBRIQUE. 373

ment analogue. Il vient donc enfin, à part un système complet de périodes ( pour V = 1 , 2, 3 ),

relation où Ä^' désigne la valeur de l'intégrale Mv aux points c^'^, et où de plus les quantités Xy sont de nouvelles constantes, et les quantités w-, doivent coïncider avec les grandeurs données dans les équations (7). Nous avons par conséquent ce théorème :

«Si l'on fait les arguments de la fonction 0' définie par (9) égaux à Uv — çVv — Xv, les y.,, étant des constantes d'une certaine espèce, et les w^ étant données par (7), la fonction 0' s'annule aux trois points x^*\ x^^\ x^^K

Pour déterminer exactement les constantes x,, v.-i, X3, nous procéderons de la manière suivante (*). La limite inférieure constante de l'intégrale étant désignée par fx, la fonction

du,, — \ du,, — 1 du,, — \ du,, — V.,, ) jUl Jc{\) Jé^) Jc(^) J

s'évanouira pour x = x'^^^ d'après la proposition que nous venons d'énoncer, indépendamment des points x^^\ x^^^ \ ou, en d'autres termes, la fonction

du,, — / du,, — 1 du,, — y.,, )

s' épanouit indépendamment de la situation particulière des points x'^^\ x^^K

Les points c>'^, c^-\ c^'^ sont encore ici tout à fait arbitraires; seulement il faut toujours faire varier convenablement en même temps qu'eux les grandeurs x,, Xo, X3. Nous déterminerons ces dernières par la construction suivante. La tangente de G4 au point ^ coupe encore C4 en deux points 5 par ces points faisons passer une conique qui touche de plus Gj en trois points et ne passe pas

(') Celte détermination des constantes est imitée de celle donnée par Weder [Journal de Crelle, t. 70) pour le problème d'inversion de Jacobi. Le résultat concorde avec celui obtenu par une autre vo ^^'(pour le ca général) par Clebscu et Gordan, op. cit., p. 184.

376 TOSIE III — CHAPITRE I.

par le point double. Il existe des coniques de cette espèce en nombre fini, et nous fero7is d'abord coïncider les points c^*', c^*^, cf'^ avec les trois points de contact de Vune d'' elles d'abord arbitrairement choisie. Cette conique doit toutefois être une conique proprement dite, c'est-à-dire ne pas se décomposer en la tangente du point IUI lui-même et en une tangente double de C4. La ligne qui joint x'^^^ et a:^^) coupe encore C, en deux points que nous désignerons par j^-', j)"^^^ On a alors, d'après le théorème d'Abel, pour h = 1, 2, 3,

pix /.x(-') /»XÎS) pjii) />|-(3)

(16) 2 / «-/m/jH- / ^«A + / du,,-\- 1 <lu,t'h j r/M/j=o.

J cW t/d?) Jc3) Jc'^i) Jc(3)

Il résulte de là, puisque 0' est une l'onction paire, que, conjointement avec l'équation donnée par l'évanouissement de (i5), a lieu aussi l'équation

(l'>h — / ^ ^^"A — / ^ 'If^U + y-h 1 = O,

et cela indépendamment de j^'^\ y^'^^. On peut donc, dans la dernière équation, poser aussi j'^-^ = x'^^,j'^^^ = x'^^, et alors l'équation (17) se confond avec (lo), au signe près de ha-

Au lieu de poser x z=z x''^\ on aurait pu aussi prendre x égal à xS-'^ ou à x^3^ Il résulte de là que, indépendamment du signe de la quantité x-^, la fonction

/ r*x /ïxd) /->j;<2l /-»jji^) \

©'( / du,,— 1 du,,— I du,,— I du,,±: ■/.,,]

\J,j. Jcii) JcH) Jci-ii J

s'évanouit pour x =. x^'^\ x -= x^-\ x = x^^^ Or cela n'est possible que si les arguments de la fonction 0' qui dépend de x et de celle qui dépend de — >c diffèrent uniquement d'un multiple des systèmes de périodes, c'est-à-dire que nous avons

■/.■^■=i ~ \1^yT.i -{- Y-i-O -f-e/j.O + Vi'^ii -4- 72^22)1

y.2 = -(^wi.o 4- at/^TTi -f- «3.0 H- 7i«2i + 72<^22Ji

■''■s = - (:^i-0 +y-2.0 -\ "î.^^s/t: 4-7iAi + 72Aa),

LA GÉOMÉTRIE SLR UNE CQL'RDE ALGÉBRIQUE. 2-7

les nombres p., y ayant des valeurs données d'une manière complètement déterminée (^omod. 2) et étant précisément définis

par cette circonstance que la fonction ö'( | duk-hy.h ) s'éva

nouisse aux trois pomts c<

Si l'on fait passer par les deux autres points où la tangente de (x rencontre C, une autre conique tangente à C, aux points a^^^ a'-^, a^3^, on a, d'après le théorème d'Abel,

(Iu,,-h \ du,,-h I du,,

C(l) c/ff^) Jc^^)

lih désignant un système déterminé de périodes. La fonction

0'( / H — hh -\ — y-h ) s'évanouit alors aux trois points a^*^ aS-^

Vf- '^ /^ 1 a^^^ Mais par là se trouve spécialement caractérisé le système de

points a^'^ pour lequel kh = x^ et qui possède en conséquence la propriété que la fonction S'I j duh ) devient nulle aux points

a^^\ a^-\ a^^^ Il est donc avantageux de choisir ce système déterminé de points pour les limites inférieures de l'intégrale dans les équations (7), ainsi que nous le ferons par la suite (conformément à nos remarques précédentes sur le problème de Jacobi (p. 225 et suiv.). Faisons encore observer que la conique tangente en ces points a^'^ ainsi caractérisés ne peut pas, en général, se décomposer en la tangente de fi et en uJie tangente double rfe C,. Alors, en effet, le point ^i serait compris parmi les points a^'^, et il faudrait que la fonction 0'l / duh ) s'annulât pour x =■ i*., c'est-àdire qu'on eût l'équation

ce qui, évidemment, n'a pas lieu en général.

Nous reviendrons incessamment sur les tangentes doubles de C4. Auparavant nous ferons usage des résultats précédemment obtenus pour la solution du problème d'inversion donné dans les équations (7). On en vient très simplement à bout si l'on emploie la

ajS TOME III. — CHAPITRE I.

fonction 0'. En effet, on vérifie aisément l'exactitude de l'équa-

tion

®'{^h— du,, j.e'f / ^ duu

"«<••' =îxr''"^^' ■■■"=îxr*-

il suffit, pour cet objet, de comparer les propriétés de périodicité, ainsi que les zçros et les infinis, dans les deux membres de l'équation. Par là, d'après des remarques précédentes [t^. 270 ), se trouve résolu le problème de V inversion étendu.

On peut faire usage de ce problème pour la détermination de courbes de contact qui ne passent pas par le point double, ce qui n'a pas besoin d'être développé plus longuement [voir p. 229 et suiv.). Observons seulement que, dans le cas actuel, ainsi qu'on l'aperçoit facilement, les équations

du,, + / du,, -+■ / du,, = - ( P,j H- ^Vj ),

OÙ les Vf, désignent des constantes et les hh des systèmes de périodes, admettent 7*^ = /•2p+' solutions ('). Pour r= 2, il résulte de là qu'z7 existe 3i systèmes composés chacun d'un nombre simplement infini de coniques proprement dites qui ne passent pas par le point double et touchent la courbe G,} partout oîi elles la rencontrent; car, parmi les 82 systèmes primitivement trouvés, est compris celui des droites dont chacune compte double.

Un intérêt particulier s'attache ici encore au problème des tangentes doubles déjà traité au cas de p = 3 et à la solution duquel nous passons maintenant. Si a^'^, a^-^, a^^^ ont de nouveau la signification indiquée et que x^^\ x^-^ doivent être les points de

(') Ce nombre est au contraire encore égal à r'P si le point double se transforme en un point de rebroussement, car alors l'intégrale de troisième espèce se transforme en une intégrale de deuxième espèce, et cette dernière n'a plus de période logarithmique.

LÀ GÉOMÉTRIE SDR UNE COURDE ALGÉBRIQUE. 379

contact d'une tangente double, cette dernière forme, ensemble avec la tangente de {J.y une conique pour laquelle, suivant le théorème d'Abel, ont lieu, semblablement à (i8), les équations

r/«,,4- / du,,-h I du,-=-hj, (Är=I,2, 3),

les hh étant des systèmes de périodes. Mais ici nous avons trois équations pour la détermination des fZcMX inconnues j:^'^, x^^). si ces trois équations doivent coexister, il faut qu'une relation entre les constantes qui y figurent soit satisfaite. Or cette dernière est immédiatement donnée par la proposition démontrée plus haut et d'après laquelle la fonction

s'évanouit indépendamment des points j^^*\ j^(2) gj donc nous posons jy^*^ = j;^'^, y^-^ = x^-^, nous avons la condition moyennant laquelle est satisfaite l'équation

Q'I ^ du,, + / ^ du,, 4- J ^ du,, ] = &' Il /c,A = 0.

Nous devons donc nous demander s'il existe des systèmes de demipériodes -ÂTi, -Â^2? -^3 pour lesquelles, comme arguments de la

fonction 0', le premier membre de cette dernière équation s'annule. Posons

La fonction S'i-kA se forme alors de Q'I kA lorsqu'on

augmente les arguments de cette dernière d'un système entier de périodes k/,, et par suite il vient, d'après (12),

loge' fi A„\ = loge' (-- i X- J

= loge' / — 1 A-Ä j -7r'(wi7iH-W272— g').

Mais, comme 0' est une foncticn paire, on a aussi

Ces deux équations ne peuvent subsister ensemble que si est un nombre pair, ou bien si l'on a

Mais cette dernière circonstance se présente toujours si

"hli + 'fhÇu— g est un Jiombre impair, c'est-à-dire si (23) f"i9i -^ '"i<l2 — ö^f (iiiod. 2).

C'est donc seulement dans le cas où la congruence ( 23) est satis-" faite que les équations (21) peuvent servir à la détermination des tangentes doubles.

Par là nous obtenons le nombre des tangentes doubles et leur groupement respectif ( * ). Quant à leur nombre, il est égal à seize, ce qui est d'accord avec les formules de Plücker (t. II, p.' 68), et, pour préciser, nous avons, pour les tangentes doubles désignées ])ar les chiffres 1,2,..., 16, les systèmes suivants de valeurs des nombres m^ q :

li. 1