XII. — Courbes du genre p — o

Dans nos précédentes recherches relatives à la Géométrie sur une courbe algébrique, nous avions d'abord exclu les cas p = o et p = I , au moins dans tous les problèmes qui se référaient à des courbes adjointes du (« — 3yème ordre, car il n'existe pas de systèmes de courbes de cette espèce si p est inférieur à 2. Ces deux cas vont être examinés l'un après l'autre dans ce qui suit. Nous allons, en particulier, nous occuper avec soin de la représentation de la courbe primitive, au moyen d'un paramètre, représentation que nous exposerons aussi en détail

^•) Foir Cifiasca et Gordan, op. cit., p. 296.

2»ö TOME III. — CHAPITRE I.

pour le cas de /:> = 2 et en général pour les courbes hyperelliptiques.

Nous commencerons par les courbes du tz'^""^ ordre du genre

p ■= o, lesquelles possèdent par suite -[n — i)(n — 2) points

doubles ou cuspidaux (' ). Nous nous proposons de montrer d'abord que ces courbes peuvent toujours être transformées unidéterminativement en une ligne droite (*).

Nous considérerons les points doubles et 2/z — 3 autres points arbitrairement choisis sur la courbe comme points de base d'un faisceau de courbes d'ordre n — 1 . Ce faisceau est ainsi complètement déterminé, car parles \-[n — \)[n-\-'i) — i points fixes

les constantes d'une courbe d'ordre n — i sont données, à l'exception d'une seule. Cette dernière constante qui demeure arbitraire étant désignée parX, l'équation du faisceau est delà forme

(1) îj, + ).-^ .-= o,

a> et 4* étant des fonctions d'ordre n — i qui, égalées à zéro, représentent deux des courbes du faisceau.

En joignant l'équation ( 1 ) à l'équationy^ o de la courbe donnée et à une équation Ux=^ o, nous obtenons par l'élimination des Xi le produit des n[n — i) points d'intersection en coordonnéeslignes, produit qui est du degré n par rapport à ). et du degré n[n — i) par rapport aux quantités ui. Or les n[n — i) points d'intersection se composent des -[n — i)(/z — 2) points doubles et

cuspidaux fixes de/comptés chacun deux fois, des 27ï — 3 points fixes choisis arbitrairement et de

n[n — I ) — [n — i ) ( « — 1) — [in — 3 ) =1 points d'intersection mobiles, c'est-à-dire dépendant de \. Du ré-

(') Nous admettrons toujours que ces points soient séparés. Pour ce qui concerne les singularités élevées, voir ce qui a été dit t. II, p. 210 et suiv., et t. III, p. 22.

(') Il n'en est toutefois ainsi qu'à l'égard des courbes irréductibles; ainsi, par exemple, une cubique générale C, forme, ensemble avec une droite, une courbe du quatrième ordre de genre zéro; cependant les coordonnées de ses points ne peuvent s'exprimer rationnellement au moyen d'un paramètre. Quant à la méthode de transformation que nous allons appliquer, voir Clebscii et Gordan, "/^ cit., p. 67 et suiv.

LA GÉOHLTRIE SDR UNE COURBE ALGËBRIOCE. 30^

sultat de l'élimination, on doit donc pouvoir isoler un facteur du degré [«(« — i) — i] par rapport aux a/ et ne renfermant pas X; et la séparation une fois effectuée, l'équation d'élimination prend la forme

\esfi étant des fonctions du n"^™'' degré en }.. C'est là l'équation du point d'intersection mobile; ses coordonnées sont donc entre elles dans le même rapport que les quanti tésyj-, et l'on a les coordonnées Xi du point d' intersection mobile représentées comme fonctions rationnelles du w"""« degré d'un paramètre X à l'aide des équations

(2) 9^1= fi, p-'--i=Â, ?^i=A,

p étant un facteur arbitraire.

Posant encore X = — ? nous avons les quantités x/ représentées

comme fonctions homogènes du n'*^*"" ordre àej^^y^. Considérons maintenant^ ,,j> 2j J 8 comme coordonnées d'un point de la courbe transformée; nous pouvons envisager les Xi comme des fonctions des j7 dans lesquelles j's = o; cette dernière équation est donc l'équation de la courbe transformée, c'est-à-dire que celle-ci est une droite comme cela devait être.

Nous pouvions ainsi transformer toute courbe à-[n — i) (n — 2)

points doubles ou cuspidaux en une droite à l'aide de la transformation (2) qui est du n"""^ ordre et unidéterminativement réversible.

Que réciproquement toute courbe telle que les coordonnées de ses points puissent se représenter rationnellement au moyen d'un paramètre est du genre p = o^ cela est évident; car cette représentation n'est précisément pas autre chose que la transformation unidéterminalive de la courbe en une droite (*); or, dans une

(') Cependant, si la représentation paramétrique rationnelle est donnée pour une courbe, il ne s'ensuit pas qu'à tout point de la courbe réponde une valeur unique du paramètre; mais on peut alors toujours introduire un nouveau paramètre tel qu'il en soit ainsi. {Voir, sur ce sujet, LCrotu, Math. Annalen, t. IX, p. i63.)

ChEBSCn. — Géométrie, III. 19

agO TOME III. — CHAPITRE I.

transformation semblable le genre se conserve. Mais on peut, en allant plus loin, se proposer le problème qui consiste à établir en fait les équations dont dépendent les différents points singuliers, et à déterminer ainsi directement les nombres pliickériens : c'est ce dont nous allons nous occuper dans ce qui suit, et nous verrons au surplus dans cette étude comment le théorème d'Abel et en général les propositions sur les s ystèmes de points d'intersection se comportent ici ( ' ).

Actuellement, en admettant qu'une courbe soit donnée par les

équations (2 ) ou, pour ^ =— , par les équations "''-2

nous supposons d'abord que les fonctions /} soient indépendantes les unes des autres, et avant tout que f^ ne soit pas représentable sous la forme hf\ -\- Ifi. Conformément à la nature des choses, le premier problème qui se présente est de déduire des équations (3) l'équation de la courbe elle-même en coordonnées-points. Cette dernière est ici de l'ordre n^ car les paramètres des points de rencontre d'une droite quelconque u avec elle sont les racines de l'équation de degré /z,

L'équation cherchée [^) s'obtient par l'élimination de c, /C), X2

(') Foir en particulier, pour ce qui suit, Clebscii, Ueber diejenigen ebenen Curven deren Coordindten rationale Functionen eines Parameters sind (^Journal de Grelle, t. 64). Quelques propriétés de ces courbes avaient déjà été traitées par Salmon dans la première édition de sou Traité des Courbes d'ordre élevé. {Voir aussi le Calcul barjcentrique de MöBics.) Nous ne nous occupons pas dans le texte de ce que deviennent les propositions relatives aut systèmes spéciaux de points (p. 53 et suiv. et p. io4 et 1 13) au cas de/; := o. Ces propositions peuvent ici être traitées très simplement, parce que (par suite de la représentation paramétrique) on opère seulement sur le terrain binaire, c'est-à-dire sur une droite (ro«> à ce sujet Brill, Math. Annalen, t. V, p. SgS).

(*) Le résultat de l'élimination ne donne autre chose que la relation qui, suivant une remarque faite t. I, p. 275, doit exister entre trois formes binaires quelconques; seulement, dans le texte, les trois formes sont supposées du même ordre.

LA GÉOMÉTRIE SUR UNE COURDE ALGÉBRIQUE. a()l

entre les équations (3) ; nous montrerons au surplus incessamment comment cette élimination peut être effectivement réalisée dans les cas les plus simples, c'est-à-dire dans ceux de n = 2 et /z = 3. Mais pour les coordonnées-lignes de la courbe primitive ellemême, on peut indiquer une loi de formation générale. Si, en effet, une droite u doit être tangente à la courbe, il faut que deux, racines X) : X2 de l'équation (4) deviennent égales l'une à l'autre, ou, en d'autres termes, l'équation delà courbe primitive en coordonnéeslignes est dojinée par V évanouissement du discriminant de Vex-

par

pression qui figure dans le premier membre ^e ( 4 ). On peut, d'autre part, représenter d'une manière simple les coordonnées d'unetangente dans leur dépendance du paramètre du point de contact. En effet, pour un point x -h dx voisin de x, nous avons, d'après (3),

Les coordonnées de la ligne qui joint x à. x -{- dx sont donc

«3 = <3(T ( .r 1 dx^ — x^ d.K^ ) = r/""" ' n'J' "* [n.^ a[i.^ — «^ a^f.^ )

ou, puisque le facteur [y^dy.) entre de la même manière dans les trois coordonnées,

Ces équations correspondent dualistiquement aux équations (3); elles donnent la représentation paramétrique des tangentes de la courbe. On obtient dojic, à un facteur près, l'équation de cette dernière en coordonnées-points, en égalant à zéro le discriminant de l' expression

Actuellement, comme le point de contact d'une tangente est toujours situé sur cette tangente, on a l'identité

facile aussi à obtenir directement.

.Tl

.rj

292 TOME m, — CHAPITRE I.

Sous le bénéfice de cette équation, pour le cas den =2, en posant

on obtiendrait, par élimination de p, x^, 25'-,>i27 '''-l entre (3) et (6), l'équation de la conique sous la forme

ai, a'p ci'i désignant les coefficients des trois iorvciesf^jf^^f^. Cette élimination s'effectue plus élégamment si l'on forme préalablement l'équalion en coordonnées-lignes. Cette dernière est donnée par l'évanouissement du discriminant de l'équation

Hj a^ H- u^a'^^ + u^a"^^ = o, c'est-à-dire par

(7) Du«! + D22«2 "^ 1^3» "3 + 2D23«2«3H- ^^H^^Ui + 2Di2«l«2 = O,

les Dik désignant les invariants formés avec deux des formes^], en sorte que

D,2=(«^)% Üi2= (««')% B,,= [aa"]\ ....

Par suite, d'apt^ès des propositions connues de la théorie des coniques, l'équation en coordonnées-points de la conique représentée par les équations (3) au cas de Ji=: 2, ou autrement dit le résultat de V élimination de p, v.^, y.^ entre les équations (3), est[')

Du D12 Dj3 ^1