I-'22 D23 •^'2 1^31 I'32 "ZZ

(•) Pour 0-,=/,, x^ = /„ .rg = /3, c'est là une identité. {Voir Cleesch, Theorie der binären algebraischen Formen, Leipzig, i8;2, p. 200.) En vertu de (5) et (7) ont lieu aussi entre les y^ et les Sr^j les trois identités

p/;.= D..,Sr,, + D,,°r3.+ D,,&.„

L\ GÉOMÉTRIE 8BR tNE COURBE ALGËBRIQVE. SgS

Pour 7Z = 3, nous avons à observer que par tout point x de la courbe passe, en outre de sa propre tangente, celle du point X f dY,^ c'est-à-dire que conjointement avec (6) a lieu aussi l'équation

/; ^Sr^a -h /î rf&3i H-/3 ^1* = o .

Mais comme on peut toujours prendre d-/.2= o ou dxi = o, nous pouvons remplacer cette équation et l'équation (6) parles deux suivantes :

Si donc nous posons

2r23-^i + ^3i-^2 + 2ri2^3 = %>'î + 42^i-''M>'-2-'-62r2>c2y.2 + 42r3v.iy.» -t- ^TiV.^,

nous obtenons pour n= '5 Véquation de la courbe du troisième ordre, par élimination des grandeurs /5, x,, X27 entre (3) et (9), sous la forme ( ' )

STo S"! Sr^ 3^3 o

STj STg 2r3 2r4 o

Nous allons maintenant établir les équations dont dépend la détermination des nombres pliickériens pour nos courbes. Ces équations sont évidemment indépendantes de la situation du système de coordonnées sur lequel est basée la représentation para-

où l'on trouve pour p, en continuant le calcul, la valeur

— R = — {aa'){a' a"){a" a).

Là se trouve le sens géométrique du dualisme étudié par Clebsch, loc. cit., p. 4 '8, et qui existe entre trois formes quadratiques et leur déterminant fonctionnel. Le principe appelé principe de la tra?islation de Hesse {Voir Hesse, Journal de Crelle, t. 66) trouve également, dans les équations (3) au cas de « = 2, son expression algébrique la plus simple {Voir aussi la note de la page 3o3, t. H).

(') Voir KosENOW : Die Curven dritter Ordnung mit einem Doppelpuncte, Breslau, 1873, p. 48.

ag'i TOME m. — chapitre i.

métrique (3). Elles ne peuvent donc varier que d'un facteur (qui est une puissance du déterminant de la substitution) si l'on prend pour base, au lieu des formes y}, des combinaisons linéaires quelconques de ces formes, et les choses se passent, en général, d'une manière analogue pour les équations qui déterminent des propriétés invariantes relatives à des systèmes de points sur la courbe ou qui déterminent ces systèmes eux-mêmes. Les premiers membres de toutes les équations de cette espèce sont donc des combijiants des trois J ormes binaires f^,j<i^ f^. Il est d'ailleurs évident qu'ils doivent être des invariants simultanés de ces dernières formes, parce que la représentation paramétrique ne dépend pas essentiellement du système de coordonnées binaires z, '.y.^-

Pour déterminer d'abord les - (« — i) (az — 2) points doubles de

la courbe primitive, nous partirons de la condition pour que trois points V., 1, Il soient en ligne droite, condition qui se présente ici sous la forme

fM A[y-) Â[y-)

(11) R^ /i(>) /.(>) /al^O

/.(.") /M ÂiF-]

Le déterminant qui figure dans le premier membre s'annule pour z = l o\xl = [/. ou // = x; il est donc nécessairement divisible par (xX), (>a) et (/xy.), c'est-à-dire que nous pouvons poser

R' dépendant symétriquement de x, X, (x et étant du degré n — 2 par rapport à chacune de ces variables. Soit donc symboliquement (*)

de telle sorte que n — 2 symboles a. n'aient leur sens effectif que conjointement avec n — 2 symboles ß et tz — 2 symboles y. Les points X, A étant donnés, on trouve, au moyen de l'équation

(') Sur la formation de l'expression R', voir Gordan, Math, yinnalen, t. V, p. 118 et suiv. Pour les raisonnements employés dans ce qui suit à la détermination des nombres plûckériens, consulter aussi une note de Weyr, Zeitschrift de Schlômilch, t. XVI.

LA GÉOMÉTRIE SUR USE COURBE ALGÉBRIQUE. 2^5

R'= o, les n — 2 autres points /x où la ligne joignant x et 1 rencontre la courbe, et pour x = 1 l'équation a."~- ß"~- y"'^ = o fournit pour chaque point donné y. les points de contact des 2/z — 4 tangentes que l'on peut mener de f/. à la courbe.

Or les points doubles de la courbe sont les points pour lesquels deux systèmes de valeurs (z.etX/) du paramètre donnent les mêmes valeurs des coordonnées, en sorte que

(.2) <rM.)=A{l), ^/,(x) =/,(>), o/3(x)=/3(>).

Ici la ligne qui joint les deux points (superposés) x et X devient indéterminée j l'équation cc"~^ß"'^y"~^=zo a donc lieu indépendamment de iXi, (J.2', c'est-à-dire que nous avons le système de n — I équations

(i3) ar'ßr'7r'=o, ur'pr'7r'72=o, ..., «r'pr^7r'=o,

entre lesquelles nous pouvons éliminer les n — i grandeurs X""^^ X"~'X2, . . . , X""* ; si donc nous posons

un point double x. est déterminé par l'équation ( ' )

Po,o Po.l ' ' • Po,n-2

Pl.O Pl,l ••• Pl.n-i

P/i-2.0 Pn-2.\ • ■ • P/i—i.n-i

Celle-ci est du degré [n — i)(/z — 2) en x. On est conduit à là même équation, écrite en X, si l'on élimine entre les équations (i3) les grandeurs x/; deux racines de (i4) donnent donc le même point

double. Conséquemment, il existe en fait -[n — 1) (n — 2) points

doubles (2), lesquels sont déterminés par (i4)î ^^ cette dernière

(•) Sur la formation de cette équation, voir aussi Haase, Math. Annalen, t. II p. 525.

(') Le nombre des points doubles s'obtient également simplement par la considération du système surabondant d'équations

ll/.(^) J.W /.(i) Il °'

qui est équivalent aux équations (12).

équation peut être ramenée à une équation du degré -[n — i ) {ii — 2)

et à -[n — i)[n — 2) équations du second degré. Ce dernier

fait résulte, d'après des théorèmes connus, de ce que de deux racines connexes, l'une peut être calculée rationnellement si l'autre est donnée.

Pour la détermination des points d'inflexion de notre courbe, nous avons à établir la condition que trois points voisins y-, x. -f- t/jc, X -h 2 r/)t -f- £?2 X soient en ligne droite. Or, comme on peut toujours prendre dy.2== o, ort a pour un point d'inflexion x

d'après le théorème des fonctions homogènes.

= laa']ia'a"]la"a]ar^n'J'

■ oj '■■=0.

Le nombre des points d 'inßexion est donc égal à3[n — 2 ) ( * ) .

D'un autre côté, les points d'inflexion doivent pouvoir se tirer de l'équation R'= o pourx = X = f/.. Nous pouvons donc aussi poser

(16) A^ar'ßr'y""'-

Les tangentes doubles se trouvent par l'interversion dualistique

(') Les points d'inflexion deviennent par suite indéterminés si le combinant A est identiquement nul; mais alors les équations (3) ne donnent plus la représentation paramétrique d!une courbe du «■<""« ordre. L'évanouissement de A exprime, en efliet, que les (« — 2)'*"" polaires d'un point quelconque x sont les couples de points d'une Involution, t. II, p. 249, c'est-à-dire qu'on a, indépendamment de a. et ;.,

De là résulte en particulier, pour x = J., /, = «/^ 4- /3/s, en sorte que l'éliminatibn de X entre les équations (3) donne pour résultat ar, — «a:, — y3a-,^o; la courbe se compose donc dune droite (« fois représentée), cas que nous avons déjà exclu, p. 288.

LA GÉOMÉTRIE SVR UNE COURBE ALGÉBRIQUE. 297

du procédé employé à la recherche des points doubles, c'est-à-dire par la permutation respective des formes y,, /a, /s avec les déterminants fonctionnels 3-03, ^3\i ^\2' On obtient par là d'abord une équation du degré {in. — 3)(2n — 4) répondant à l'équation (i 4). Mais il est à remarquer que dans cette dernière' équation deux racines connexes (c'est-à-dire fournissant le même point double) doivent devenir égales l'une à l'autre si l'un des points doubles dégénère en un point de rebroussement. Maintenant, comme chaque tangente d'inflexion doit être considérée corrélativement comme la dégénération d'une tangente double, l'équation ci-dessus de degré (2« — 3)(2n — 4) fournira en même temps que les tangentes doubles les tangentes d'inflexion comptées deux fois ; c'està-dire que de son premier membre on pourra isoler le facteur A^. Comme d'ailleurs deux racines de l'équation restante se réfèrent à la même tangente double, le nombre des tangentes doubles est égal à

Si l'on établit au moyen des déterminants fonctionnels ^,k la forme A' qui répond dualistiquement à la forme A et qui est du degré 3(2/2 — 4)) l'équation A'= o devrait, d'après les précédentes observations, fournir les points de rebroussement de f; mais ceux-ci n'existent pas sur la courbe primitive en général (c'est-à-dire si les fonctions/^ sont choisies indépendantes les unes des autres), tandis que d'autre part il n'y aurait aucun point d'inflexion si les fonctions ^ki ont été choisies indépendantes les unes des autres. Les points de rebroussement doivept donc être absorbés tous par les tangentes d'inflexion, c'est-à-dire que le combinant A doit être proportionnel au carré du combinant A ( ' ).

L'équation (i4) doit, ainsi qu'il vient d'être observé, avoir une racine double lorsqu'un point double se transforme en un point

(') Et pour préciser l'on a, d'après l'équation (19), p. 207, dans la Théorie des

formes binaires, de Cledsch, A'= - A' ; les calculs effectués dans ce passage pour n = 2

restent en effet exacts si l'on ne fait que multiplier toutes les équations par des facteurs symboliques du type "■^"^ a^~^ a^"^ ; il faut encore dans l'équation (19), loc. cit., remplacer les indices 3, 4, 5, 6, respectivement par 2, 3, 3, i.

de rebroussement. Mais, d'autre part, lorsque le discriminant de (i4) s'annule, on a à distinguer deux cas différents suivant que les deux racines de cette équation sont des racines connexes ou que ce sont des racines non connexes. Au dernier cas, il ne se produit pas de point de rebroussement, mais deux points doubles infiniment rapprochés, tels que les deux tangentes de chacun d'eux se confondent en une. Cette circonstance n'apporte à la classe aucune autre réduction que celle qui appartient d'une manière générale aux deux points doubles en question; mais une réduction a lieu dans le second cas, où l'on obtient en fait un point de rebroussement. On est, en effet, conduit à poser alors, dans les équations (12), /h = î'h -f- £> ^2= ^-2j en sorte que, par exemple, la première de ces équations devient

(17) (<3- — i)^'" = "^-""~*«i, ou, pour X2 = xo ■+-'''•■, /*) = >'") >

(18) (cr— iX = nvj.öf-i«2.

Mais il résulte de ces deux équations, si l'on raisonne de même à l'égard àe/^ eifz,

[ ?<-'«, =:<-lrt2 ( = ai),

(19) I Çfl',«-i«;==a:«-ia;( = «2),

Actuellement, l'équation en coordonnées-lignes de la courbe primitive serait donnée par l'évanouissement du discriminant de (4)? c'est-à-dire par l'élimination de x entre les deux équations

{ UfO""'^ a,-\- u^a'^'^''^ a. -\- u^a"^~^ a. = o, 20) \ , , , „ , „

Mais, en vertu de (19), l'une de celles-ci est la suite de l'autre, et le discriminant doit alors nécessairement renfermer le facteur Ml «< -h "2*2 4- "3^3 par l'évanouissement duquel les deux équations (20) sont satisfaites, les grandeurs a,- étant d'après (3) les coordonnées du point de rebroussement dont il s'agit. Si donc v. est le nombre des points de rebroussement, la classe de la courbe primitive est égale à i[ji — i) — y.. On détermine aisément, d'une

LA GÉOMÉTRIE SUR UNE COURBE ALGÉBRIQUE. iiÇf

manière semblable, l'influence d'un point de rebroussement sur les autres nombres de Pliicker ( ' ).

Si nous considérons maintenant lés points d^ intersection de la courhe primitive avec une autre courbe, nous serons de nouveau conduits au théorème d'Abel; mais, comme la iDOurbe primitive dérive d'une droite en vertu des équations (3), les intégrales qui s'y rapportent ne renferment plus aucune irrationnalité et peuvent être évaluées d'une manière explicite. En entrant dans les détails, on trouve que les faits en question se passent de la manière suivante :

Nous poserons, pour abréger, )t, = X et X2= i; nous désignerons ensuite par «<*), ^»(^^ a(2), ^.(a). ^(3)^ ^(3). . . . ^W^ ^,w^ ^ étant égal

k-[n — \)[n — 2), les couples de valeurs de 1 qui répondent aux

divers points doubles. On trouvera les intersections de la courbe donnée avec une courbe d'ordre m

en substituant dans cette équation aux quantités Xi leurs valeurs (3). On obtient alors une équation en X de la forme

(22) il(X) = c{X-).i){X-).2)... (>-).„,„) =t(^1,-^ï,-^3)=0,

dans laquelle les valeurs X,, X2, . . . , '>^nm du paramètre correspondent aux mn intersections. Si maintenant nous faisons dans (22) X successivement égal à a^'^ puis à b'^^\ les x restent invariables dans cette opération, à part un facteur commun c^'^ ; par conséquent, © et û restent invariables, sauf le facteur [cf'^]"*, et l'on obtient

n[«(')] = [c(')]"'ii[M')]

ou

pour 1 = 1, 2, 3, , V, V étant égal à -[n — i)[n — 2).

Ces V équations sont, pour la théorie des courbes que nous étu-

(•) Voir Clebsc«, Journal de Crelle, loc. cit.

3bb TOME III, — CHAPITRE I.

dions, de la plus haute importance. Elles se présentent ici à la place du système des v -\- p équations qui, pour le cas général, proviennent du théorème d'Abel et qui, à l'égard d'une courbe de genre p kv points doubles, expriment que mn points de la courbe sont situés sur une courbe du m'^"^ ordre ne passant pas par les points doubles (p. 286). En effet, comme pour ;?= o il n'existe pas d'intégrale de première espèce, il ne reste plus ici que les V équations relatives aux intégrales de troisième espèce; ces intégrales, considérées en particulier, sont respectivement égales à

log —TT pour 1 = 1, 2, ..., v; et dans (23) figurent précisément les sommes de semblables intégrales logarithmiques ('). Si donc mn points X,, I2, • • • ■, ^-mn de la courbe représentée par (3) doivent être situés sur une courbe du m}*""^ ordre ne passant pas par les v points doubles, il est nécessaire et suffisant pour cela que leurs paramètres satisfassent aux équations (23).

Ces dei'nières subissent une légère modification si l'un des points doubles (par exemple a^'^, Z>('^) se transforme en un point de re-

broussement.

On

a alors

e étant infiniment

petit,

d'où

L'équation (23) se change donc en la suivante [voir pour le cas de « = 3, t. II, p. 344):

Les sommes d'intégrales de troisième et de seconde espèce qui, égalées à zéro, tiennent respectivement la place des équations (24) et (25), ainsi qu'il a été mentionné dernièrement, se trouvent en différentiant la première équation logarithmiquement, la seconde à la manière ordinaire et en intégrant ensuite respectivement depuis 0^'^ jusqu'à X et depuis o'^'-^ jusqu'à À. On obtient ainsi, au

(•) Foir, pour « = 3, t. II, p. 887 et 344.

L\ GÉOMÉTRIE SUR UNE COURBE ALGÉBRIQUE. 3oi

lieu de (23) et (24) (pour /^= m«), les équations rK [^(0— ^(0]<A r^^ [a^O — b('">]dl

et les limites inférieures p, a se déterminent par comparaison avec (23), (24) au moyen des équations

a(') oC) - I y(')

En changeant le contour d'intégration, on peut dans le second membre de ces équations transformer o en aJin^J — i, de sorte que ces sommes d'intégrales admettent la période 2i7r; les intégrales de deuxième espèce ont au contraire toujours la période o, parce qu'elles possèdent des points donnant des infinis qui ne coïncident que par couples. Il en est ainsi conformément au fait que dans (28) on peut poser dans le second membre [c('^]'"e2^'' à la place de [cW]'", tandis qu'un changement semblable apporté au second membre de (24) n'altère point la deuxième des équations qui en résulte par différentiation ordinaire. On peut, d'après cela, énoncer le théorème suivant :

Dans une courbe d'ordre n à -[n — i)(/z — 2) points doubles

ou cuspidaux, si a^'\ b^'^ sont les paramètres d'un point double (pour /v) = )., y.2 = i)f la somme des intégrales similaires

pX ^^

[«(/) b^i)-\j ^^(,)>^-||-^(,;^ I e^f égale àihr.sl—\; au contraire, si a'-^^ est le paramètre d'un point de rebroussement, la somme des intégrales 1 ^ ,. -.^ est égale à zéro; les sommes

sont ici étendues à tous les paramètres qui correspondent aux points d^ intersection delà courbe primitive avec wie autre courbe algébrique.

3oa TOME III. — Cn.VPlTRE I.

Il ressort immédiatement de là que tous les problèmes relatifs aux courbes de contact^ problèmes qui ont été résolus dans le cas général à l'aide de ce qu'on appelle le problème de Vextension de l'inversion des intégrales abéliennes et du problème de la division des transcendantes, qui interviennent dans ces questions (p. iQ& et suiv.), que ces problèmes, disons-nous, reviennent dans nos courbes actuelles à la division du cercle et à la résolution d'une équation de degré ^, si la courbe de contact est assujettie à ne pas passer par q des v points doubles, ce qui, de fait, peut se démontrer directement au moyen des équations (aS) et (24).

En efFet, dans tous ces problèmes, on donne h = Jiin — [iq points d'intersection [dont 2(v — q) sont situés aux points doubles], tandis que parmi les autres [i doivent coïncider par groupes de q points chacun. Si nous désignons les paramètres (donnés) qui répondent aux premiers par /< , 4, • . . , h-, ceux des poinls cherchés parX4, ?.2j • • •> "^q^ les équations (aS), dont au surplus q seulement entrent ici en considération, se transforment en

,• = « ■?./ti>)Tt\/—l fl I T~k

Ces q équations suffisent complètement pour exprimer les fonctions symétriques des V par des grandeurs connues et établir ainsi relativement à X une équation du «7'^'"^ degré. On remarque immédiatement que l'influence d'un point de rebroussement consiste à faire disparaître une des v périodes aiTi (puisque celle-ci deviendrait alors infiniment grande). Si, comme cela peut arriver pour les courbes du quatrième ordre, tous les points doubles se transforment en points de rebroussement, l'emploi des équations de la division du cercle cesse d'avoir lieu. Les problèmes dont il s'agit n'ont plus alors qu'une solution.

Quant à la manière dont on devra eff"ectuer la détermination des courbes de contact et des systèmes de ces courbes dans des cas particuliers, il est à peine nécessaire, après les explications ^éné-

LA GÉOMÉTRIE SUR ONE COURBE ALGÉBRIQUE. 3o3

raies données plus haut, de la formuler à nouveau. En particulier, pour m^n — 2 et <7 = v = - [n — i)(« — 2), le problème qui consiste à faire passer par mn — vr points de la courbe d'ordre n une courbe d^ ordre m ayant avec la première envptiîits un contact d^ ordre r — i est toujours résoluble, et l'on trouve que le nombre total des solutions, au cas où il n'existe pas de points de rebroussement, est égal à 7'\ Toutefois, comme dans les courbes du genre le plus général et d'après nos théorèmes fondamentaux sur les systèmes de points d'intersection, les cas où m est inférieur ou égala n — 3 méritent une attention particulière. Ainsi, par exemple, pour

m=:n — 3, -n(7z — 3) points d'intersection d'une courbe Cn-3

qui ne passe pas par les points doubles sont déterminés par les

-n[n — 3) autres; on ne peut donc plus que poser la condition

de tracer une courbe Qn-^ telle quelle soit tangente à la courbe

Crt partout oîi elle la rencontre, c est-à-dire en-n[n — 3) points.

Le problème dont il s'agit conduit à l'établissement d'une relation entre v des grandeurs t^^'^, relation qui doit nécessairement exister lorsque celles-ci peuvent être supposées égales à des sommes comprenant chacune v — i intégrales de troisième espèce de la forme précédente. Nous nous proposons de traiter ce même problème lorsque n= 4> c«^s où il fournit la détermination des tangentes doubles d^ une courbe du quatrième ordre à trois points doubles ('). Observons d'abord que les grandeurs c^'^ qui figurent dans (23) peuvent aisément s'exprimer au moyen des grandeurs aW et è^'^, ce qui est utile pour la suite. Si l'on sépare, en effet,

lepointdouble (a^'^,^^'^) des -«(« — 3) autres points doubles, ces

autres points (comptant chacun deux fois) forment l'ensemble complet des intersections de C,, avec une courbe Crt 3 qui est précisément déterminée par eux. Si l'on établit maintenant relativement aux points de rencontre de 0,1-% les équations (23), il ne doit subsister qu'une seule équation, savoir celle qui se réfère au

(') Voir le problème correspondant pour n = 4 et /> = 2, p. 279.

3o4 TOME III. — CHAPITRE I.

point double a^^\ b^'^ par lequel C„3 ne passe pas, et dans cette équation il faudra attribuer aux n[n — 3) grandeurs X les n{n — 3) valeurs a, h, dont l'indice est différent de i; si donc on pose, pour abréger,

on a l'équalion

Le problème mentionné en dernier lieu nous donne, d'après (28), entre les y — i grandeurs X, les v équations

Entre les nombres /i<'> il doit donc exister encore une relation, ainsi qu'il a été énoncé; pour trouver cette dernière, nous partirons d'abord du système d'équations plus général

(30) !::::ii;l;:;i:::;:>::!--^--^'^-^'"-

et nous chercherons la relation qui existe nécessairement entre les quantités v^'^ (*). Cette dernière s'obtient directement par élimination des V — I fonctions symétriques des X/ entre les v équations (3o) sous la forme

(Si)

aW'"^ — Ç(^) ^/^v)'"*, ö(v)''"^ — Çfv) Z,(v)^-2^ . , , ^ 1 çCv)

En ordonnant ce déterminant suivant les *(^^'^ et en remplaçant ces dernières grandeurs par les valeurs données dans (3o), on

(') On pourrait naturellement les déduire aussi de l'étude générale de l'extension du problème de l'inversion, comme cela est indiqué plus haut et développé dansCLEBSCH et GORDAN, op. cit., p. 2^0.

LA GÉOMÉTRIE 8CR UNE COl'RBE ALGEBRIQCE.

obtient par rapport aux e^ une équation ne renfermant que linéairement chacune de ces quantités.

Pour n = 4, c'est-à-dire v = 3, nous obtenons donc en particulier une équation de la forme (' )

A -1- B, *•'''' + BjC ' H- BjC

Bsi^"

'-+-Ce^

dans laquelle les coefficients A, B, C sont à déterminer. Or on a d'abord

= [«(!)— fl(2)][fl(l) «(3)J[-a(î) «(3)-[^

et de même

D'un autre côté, il résulte de l'équation (28) que

33) c(')c(2)c(3) j|-^(„^(2)jj-^(g^(3)J[-^(2;^(3)jj '

et par conséquent il vient

On trouve, d'autre part, pour B,, en faisant usage de (28),

B, = - [^(1) — «(")] [^(1) «(3)] r„(2) «(3)] [t-(lJp

- — |- [^(1) ^(2)][^ll)^;3)] j L« ■ — '' J-

La valeur qui figure ici dans le second membre s'obtient aussi au signe près pour B03, c'est-à-dire pour

si l'on y exprimée^-' et c^^', d'après (28), par a et b. Il en résulte, puisque le fait analogue a lieu pour Bo et B3,

(35) Bo3=-B,, B3,= — B„ B,2=-B3;

( • ) roir, pour l'étude générale du problème, Clebscii, loc. de,

Clebsch. — Géométrie, III. 20

3o6 TOME IIJ. — CHAPITRE I.

et l'équation (Sa), en vertu de (34) et (35), se transforme en

„s-vC; -

si l'on fait S = v^"-!- v'2)| yO) Cette condition est nécessairement remplie si les équations (3o) doii^ent exister simultanément. Supposons maintenant, comme dans (29), v''' = /i^'^TTy/ — i ; toutes les grandeurs é^ deviennent égales à ± i, et l'équation (3Ö) se transforme simplement en e* = 1 ou

(37) /,(!) + /,C2)|-/,(3)=o (mod. 2).

Les quatre tangentes doubles de notre courbe C4 se déterminent donc au moyen des équations (29) pour « = 4, v = 3, si l'on pose respectivement

Ä(i)=zo, Ä(«^=i, //(»)= i;

>^(i)= r, //(«)= I, //(3i=zo;

Comme dans le cas de /z = 4 et /? = i , la distribution des tangentes doubles sur les difFérents svstèmes de coniques de contact présente ici de l'intérêt. Ces dernières se déterminent au moyen des trois équations

[6(0).j][6(0 X2][MO),3][^,(0),^] — "^

dans lesquelles X, peut être choisi arbitrairement. // existe donc sept systèmes, composés chacun d'un nombre simplement inßni de coniques qui touchent C4 en quatre points, et l'on a (comme toujours) celte proposition que les points de contact de deux coniques du même système sont situés sur une conique. Si nous désignons par {g''^\ g''-\ g'-^^) le système déterminé par les trois nombres g, les sept systèmes dont il vient d'être parlé sont

car le système (0,0,0) se compose de l'ensemble des droites du plan comptées chacune deux fois. On reconnaît par là que chaque

LA GÉOMLTRIE SLR USE COCRBE ALCÊURIQUE. 307

groupe de trois de ces systèmes renferme deux couples de tangentes doubles, savoir :

(o,i,i) les couples [(0,0,0), (0,1,1)] et [(1,1,0}', (1,0,1)], (1,0,1) >. » [(0,0,0), (1.0,1)] » [(1,1,0), (0,1,1)], (1,1,0) >. » [(0,0,0), (1,1,0)] . [(1,0,1), (0,1,1)].

Les quatre systèmes restants ne renferment pas de tangentes doubles proprement dites. Parmi eux on dqit encore signaler le système (i, i, i), parce qu'il renferme trois couples de tangentes impropremejit dites, savoir : les trois couples des tangentes que l'on peut mener des trois points doubles à C4. On s'en assure facilement si l'on considère que les tangentes issues du point double «(", è") par exemple, se déterminent au moyen des équations (Ä-=2,3)

^.^)— /, ^ -' ([rt(Ä) ^(i)][rtl/.)„(i)]p

et qu'on doit avoir encore ici

hi^)-\.hW^o (mod. 2)(i).

Ces résultats subissent des modifications lorsque quelques-uns des points doubles dégénèrent en points de rebroi^ssement; la marche à suivre alors est aisée à apercevoir d'après ce qui précède. S'il se présente un point de rebroussenient, on a encore deux tangentes doiibles, et il existe trois systèmes de coniques de contact dont l'un renferme l'ensemble des deux tangentes doubles. Au cas de deux rebroussements, il y a encore une tangente double et un système de coniques de contact; mais les points de contact de ces dernières et ceux de la tangente double ne sont pas situés sur une même conique. Enfin, au cas de trois rebroussements, on a encore une tangente double, mais plus de système de coniques de contact. La courbe est devenue de troisième classe ; son étude détaillée est donc tout à fait analogue à celle de la courbe du troisième ordre à point double (t. II, p. 336 et suiv.).

(') Les six autres systèmes renferment aussi des couples de tanjentes doubles improprement dites groupées autrement, car dans chaque système il doit se rencoulrer six couples de coniques décomposables; voir la note de la page 283.

3ü8 TOME Ht. — CHAPITRE I.

L'établissement des équations relatives aux singularités de la courbe primitive s'effectue d'une manière particulièrement simple lorsque /z = 3, et nous nous arrêterons en conséquence un peu sur ce cas ( ' ) ; nous compléterons ainsi nos recherches précédentes sur Ic!^ courbes du troisième ordre à point double. Soient données à la place de (3), les équations

(38) p.ri = (7.*, 0.^2= 0^', p.r^=.al^.

Nous avons d'abord à établir la forme a^^iy^ dont l'évanouissement exprime que les points /, X, ^ sont en ligne droite. Or nous avons, d'après ce qui précède,

ci,ßxy^.[y.l]{ly.){li'A]:

ai <7x

Le déterminant qui figure ici au second membre ne varie pas si l'on permute a avec /-, a' avec X, a!' avec a ; il doit donc renfermer, conjointement avec le facteur effectif (/X)(>.|:x)(]utyv), le facteur symbolique [aa',)[a' a!')[a" a). Le facteur restant doit être linéaire et symétrique aussi bien en 3t, X, p. qu'en a, a', «"; il a, par suite, la valeur

Si donc ^'^ désigne de nouveau le combinant introduit dans (i5), et duquel dépendent les trois points d'inflexion, on peut poser (2)

{39) a-/i3x7ii.= C.A.,A).Aj»,

G désignant vin facteur numérique.

^') Voir RosEsow, loc. cit., ainsi que la note de la page 334, *• !'• (•) Le calcul du déterminant (ii) n'a pas une marche aussi simple si n est supérieur à 3. 11 faut alors traiter ce déterminant à l'aide des développements en série qui ont 3ieu pour les formes binaires à plusieurs séries de vaiiablcs {voir Clebscii, Theorie der biliären Formen, p. lo et suiv.); il ne peut alors entrer dans le développement de la forme «"~^/3x~^ y'^'^ que des puissances paires de (x^), (^/t), (///), car cette forme ne varie pas si l'on permute entre elle deux des grandeurs /., ;, ^.. En ayant égard à cette observalion, on trouve, par exemple, pour « ^=4)

«x/3'y^=y^Ax'A|A,^ + y[(x;)='D^ + (V)^D2 + (/;.x-Df], p,q désignant des facteurs numériques, û^ étant défini par (i5) et D^ étant égal à («a')(a'a'')(fl''ß)[(a'a")'«^2-+-(a"a)'rt;*-H(«a',2«:;2]. 11 peut arriver en particulier que la forme D^ seit identiquement nulle; alors

LA GÉOMÉTRIE SLR L>iE COIRBE ALGÉBRIQCE. Sog

Conséquennnent l'équation A, A^Aji=. o expj'ime que les points y., X, y. sont en ligne droite; A^ ù\= o donne les deux points de contact y. des tangentes issues de 1 ou le point tangentiel du point z, et ^1=: o donne les trois points d'inßexion.

Si, en particulier, x est un point d'inflexion,,,c'est-à-dire une racine de A'' = o, la première polaire de v. relativement à A se com-

l'équation plus simple A» Ax ^^ exprime que z, i, /t sont en ligne droite, d'où Ton déduit aisément que les points de contact des quatre tangentes sont donnés par la forme hessieane de A, c'est-à dire par l'équation

Hi=(AA')»A^*A^* = o,

et les valeurs paramétriques relatives aux trois points doubles par l'équation

y = {AA')='(A'A")'(A"A)»A2A;2 A'^^ ^ o.

Le sens géométrique de ce cas s'obtient par le raisonnement suivant : on peut toujours envisager trois formes binaires biquadraliques comme les secondes polaires d'une forme primitive du sixième ordre; car, eu égard à la représentation typique des formes d'ordre pair par des covariants quadratiques {-voir le Mémoire de M. LiNOEMANN, cité t. 1, p. 3o3), ce fait résulte de ce qu'un réseau de coniques est en général réseau de polaires d'une courbe du troisième ordre. Soit donc/=a^ cette forme primitive; on peut poser

et il vient

A = g («? )' ( P/- )'( -z^)' < ?x' -Â = \ip

i et / étant les formes ainsi désignées dans Cle3Sch, loc. cit., p. 283 et suiv. Mais si: l'on a / = 0 et i'> 0, on peut poser {ibid., p. 4^6)/= x J -)- x^, et il vient aussi alors yy= o; ce cas ne donne pas de courbe du quatrième ordre proprement dite. Si l'on a, au contraire, / = o, par suite de ce que i s'évanouit identiquement, alors les six points de base de /(comme il arrive pour le covariant T d'une forme binaire biquadratique) se décomposent en trois couples, dont deux quelconques sont situés harmoniquement l'un par rapport à l'autre {ibid., p. \'\-;), et l'on peut poser/=x,z^(x* — xj);

mais on a alors-T/,= A = -x,x,(z*r — x*) = --/■. Donc alors aussi /» de-

6 •' io8 ^ ' '■' loS

vient proportionnel à A, c'est-à-dire que les six points d'inflexion se trouvent réunis par couples dans les points doubles. Sont, en conséquence, caractérisées par la condition D^ ^ o les courbes Ç.^ qui ont simultanément en chaque point double deux points d^inflexion [à moins qu'il n'y ait aucune courbe C< proprement dite voir p. 269)]^ Un exemple de ce cas nous est donné par la /e/w«/«a;e ordinaire, courbe dans laquelle deux points doubles sont situés aux points circulaires imaginaires.

Si» tome III. — CHAPITRE I.

pose du point xlui-même et du point v, quatrième harmonique de x, par rapport aux deux autres racines de A (vêtant alors un point racine du covariant Q de A). L'équation A, AiA,^= o exprime donc alors que Xet fx sont situés harmoniquement par rapport à x et v; or cette condition est remplie d'après ce qui vient d'être dit si Ä et y. sont les deux autres points d'inflexion de A, et l'on obtient en conséquence cette proposition connue, que les trois points d' inflexion sont en ligne droite.

La détermination du point double s'opère au moyen de l'équation (i4) ci-dessus, c'est-à-dire par élimination de X entre les deux équations

A;<AxA, = o, A^AxA2=o.

Les deux paramètres du point double sont donc les points de base de la forme hessienne xl de A, c est-à-dire les racines de l'équation

t,« = 2(aa')AiA'2A,a;=(aa')*a,a; = o.

Il suit en même temps de là que l'évanouissement du déterminant de T, c'est-à-dire de l'invariant R= (tt')^ de A fournit la condition de la présence d'un point de rebroussement.

Mais il est également aisé d'attribuer un sens à la polaire t^Tx de xl. L'équation TxU= o résulte, en effet, de l'élimination de [k entre les deux équations

\l\^=o, A|Aj»=o.

On obtient d'abord le résultat (AA') A^ Al^= o. Or on a

( AA' ) A,^ Al^ = - ( AA' ) ( A,2 A-l^ — ^l A^^ )

= i(AA')«(A,Al+AxA:)(xX)

= (AA')2A,A;(x).) = T,Tx.(y-X).

L' équation T»Ti= o exprime donc que les points x, X ont un point tangentiel commun (*), c'est-à-dire qu'ils forment un couple de

(') Là se retrouve le théorème sur l'involution formée par les lignes qui joignent au point double deux points ayant leur point tangentiel commun, théorème que nous avons énoncé, t. II, p. 387, en le rattachant à la forme canonique de À (savoir, A = Jl* -t- /t' ).

LA GÉOMÉTRIE SCR UNE COORBE ALGÉORIQUE. 3lt

pôles conjugués sur la courbe primitive si l'on considère cette dernière comme la hessienne d'une autre courbe du troisième ordre (ce qui n'est plus possible que d'une seule manière en cas de point double).

On doit encore remarquer particulièrement srfr la courbe les points de contact X des trois tangentes issues des points d'inflexion y.. On les trouve en éliminant y, entre les équations

Mais on peut remplacer ces dernières par de plus simples. Comme, en effet, l'une des deux tangentes issues du point d'inflexion se confond avec la tangente d'inflexion, le point d'inflexion x forme avec le point de contact correspondant X lui-même un couple de pôles conjugués, en sorte que TxTa= o, et l'élimination de x entre cette équation et AxAr= o donne

Q = 7^=;At)a2tx=o.

Les points de base du couaiiant Q^ de A sont donc les points de contact des tangentes issues des points d'inflexion ( * ).

La signification des polaires de la forme Q s'obtient enfin de la manière suivante. Soient x, X, jjl trois points d'une droite; traçons en fi une tangente qui rencontrera encore la courbe en [j.', point langentiel de » j de (jf menons la seconde tangente dont le point de contact sera /ix", en sorte que [x et ]u" forment un couple de pôles conjugués. Alors on a les équations

Ax Ax Aj^ = o, T^-^.. = o ;

et par élimination de {x il vient

AxAxv{At) = 0.

Or on a

37,'y,.,= (AT)[A»vH-2A,A,,T,]

= (AT)[3A,*v+:iA,(A^.»T,— vA,)] = 3(AT)A«v-2(AT)'A,.(xa").

(•) Observons que trois formes binaires du troisième ordre n'ont point d'autres combinants que les formes A, t, Q et R. {Voir Gord.vn, Math. Annalen, t. V, p. 117 et suiv.).

3l2 TOME ni. — CIIAPITHE I.

Mais comme, d'après l'équation (lo), t. I, p. 272, le second composé de A avecT est idenliquementnul, il vient ^;r/^„= (At)2A^t^„, d'où, aussi par formation polaire,

L' équation q^qxq^o-= o exprime par conséquent que la ligne joignant y. et X rencontre la courbe primitive en un troisième point qui forme avec [j." un couple de pôles conjugué ( ' ).

A l'aide des relations qui viennent d'être développées, on peut traiter le problème de la continuation du tracé des tangentes (t. II, p. 339) et d'autres questions de la même espèce; toutefois nous ne nous étendrons pas davantage sur ce sujet. Faisons seulement observer encore que les propositions précédentes relatives aux points d'inlerseclion d'une droite avec une courbe du troisième ordre peuvent être appliquées immédiatement aux systèmes de trois points mobiles qui sont, sur une courbe C« de genre/? = o, les intersections d'un nombre doublement infini de courbes C«2 passant par

-n[n — 3) points doubles et par n — 3 points simples fixes de C«.

En effet de trois de ces points (comme dans une courbe C3), l'un est déterminé par les deux autres, et l'on peut conséquemment, en faisant usage d'un semblable réseau de courbes Cfl 2, transformer unidéterminativement la courbe dont il s'agit en une courbe du troisième ordre à point double ; sur cette dernière les systèmes doublement infinis de trois points qui correspondent aux précédents seront déterminés par les lignes droites du plan.