CHAPITRE PREMIER

LA GÉOMÉTRIE SUR UNE COURBE ALGÉBRIQUE ET SA LIAISON AVEC LA THÉORIE DES INTÉGRALES ABÉLIENNES.

I. — Les transformations unidéterminatives d'une courbe algébrique.

Dans les Iransformalions appelées transformations Cremona (t. II, p. 192), nous avons appris à connaître un moyen d'établir par une transformation non linéaire une relation entre deux plans telle que, sauf en certains points exceptionnels, à tout point de l'un de ces plans correspondît un point unique de l'autre, et réciproquement. D'autre part, nous avons reconnu, sur l'exemple de la relation entre la hessienne et la steinérienne d'une courbe quelconque, la possibilité de rapporter unidéterminativement deux courbes particulières l'une à l'autre sans que cette relation soit unidéterminative pour tout le plan. L'étude de ce genre de transformations d'une courbe algébrique particulière va d'abord nous occuper maintenant. Nous serons naturellement conduits à

Clebsch. — Géométrie, III, I

faire des applications variées du résultat de nos recherches à des points déjà abordés précédemment, ainsi qu'à compléter souvent nos recherches antérieures relatives à la Géométrie sur une courbe. Nous insisterons spécialement sur les diverses démonstrations de la conservation du genre dans ces transibrmations unidélerminatives.

Supposons qu'une transformation

(i) p-^i=?iir], p-^2=?2{r), p--^3=?3[j],

où les fonctions «p, sont des fonctions homogènes du même ordre deyi,jn,y:i, change une courbe/(x) = o en une autre F[j) = o. Si le fait doit se produire par une transfoi-malion unidéterminative réversible, on doit pouvoir, en combinant les équations (i) avec F(j) = o, revenir à l'équation f= o, et, dans le cours du procédé éliminatoire nécessaire à cet objet, trouver que les jr sont proportionnels à des fonctions entières et homogènes des x, en sorte que

L'équation F =3 o est alors le résultat de l'élimination des grandeurs |U, Xi, Xn, X3 entre ces équations (2) et entre l'équation f'{x) = o, et, si inversement on effectue la substitution ( 2) dans F, F(j) devra, à un facteur près, se changer enf[x), c'est-à-dire que l'on aura

V désignant l'ordre de F. Ce dernier nombre peut se déterminer très simplement. Aux points d'intersection d'une courbe du réseau

(4) ?fi<J>i 4- «2*2-+- «3*3= o

avec J ^= o qui ne sont pas communs à toutes les courbes du réseau correspondent, en effet, les points de rencontre de la droite

«J= "ijl + «2J2+ «3j3= O

avec F(j)') = o. Or, si le nombre des premiers (lequel dépend uniquement des éléments donnés) est égal à v, le nombre des derniers sera précisément le même, en vertu du caractère unidéteiminatif de notre transformation : Le nombre des points d'inter-

1,A GÉOMÉTRIE SIR IXE COCRBE ALGEIIHIQLE. ,5

section mobiles des courbes du réseau (4) avec J\x) :=. o dètciinine donc l'ordre de la courbe '^{j) = o.

On peut imaginer que la transformation ainsi établie, et à détermination unique pour les points de y, est réalisée géométriquement d'une manière semblable à ce qui se passe pour les transformations Cremona. Nous nous figurerons d'abord le plan entier E.^ des points x comme transformé par le moyen des équations (2) en un plan Ej des points 7 . Alors, à chaque poi^t de E^ correspond évidemment wi point de E,, et, réciproquement, à tout point de Ey que nous supposei'ons déterminé comme point de rencontre de deux, lignes i^y= o, Wy= o correspondent sur E^ les s- points d'intersection des deux courbes

S désignant l'ordre des courbes ^i= o. 11 peut arriver en particulier que toutes les courbes du réseau (4) aient quelques points communs; ces derniers absorberont une certaine quantité des s- points d'intersection ci-dessus, et l'on doit (comme dans les transformations Cremona) ne faire correspondre que les autres intersections, c'est-à-dire les intersections mobiles des deux courbes 11^1^1= o, Sw,<I>/= o, au point de rencontre des droites w'j= o et Wy^ O. Si le nombre de ces intersections mobiles est égal à l'unité, on aune transformation Cremona. Actuellement les points communs des courbes 0 interviennent de nouveau, ce qui a à peine besoin de nouvelles explications, comme points fojidanientaux pour la transformation [voir t. II, p. 190), et à chaque point de cette espèce correspond sur E^ une courbe fondamentale du genre zéro; cette dernière est du /•••''"« ordre si le point fondamental de Ex auquel elle se rapporte est un point multiple d'ordre /• pour chacune des courbes fl>.

A ime courbe quelconque /= o du n''™" ordre sur E^ correspond sur Ey une courbe dont l'équation s'obtient par l'élimination des Xi et de la quantité /^ entre les équations (2) et entre f= o; mais de cette courbe se séparera i fois une courbe fondamentale d'oixlre h si /"= o passe i fois par un point fondamental d'ordre h sur E^. Si à l'inverse un point parcourt sur Ej une courbe F(^) = o, à chaque point de cette courbe F correspondent ß points sur Ex, ß étant le nombre des points d'intersection mobiles de

deux courbes du réseau (4), et cette réunion de jS points parcourt Ja courbe y=zo, qui sur E^ répond à la courbe F. Mais, si F(j)) = o est précisément la courbe qui provient, suivant la manière indiquée, d'une courbe f[x) = o, la courbe j^(x) = o qui réponde F(j ) devra aussi réciproquement ramener 'Àf{x) = o, c'est-à-dire que )( devra renfermer un facteur y; or ce fait a pour nous une importance particulicire.

Le pointj)^, homologue de :r, a été détei^miné comme sommetdu faisceau de rayons qui correspond sur E^ au faisceau de courbes ^ passant par x. On reconnaît donc immédiatement, d'après ce qui précède, que la transformation d'une courbe f[x) =^ o ne peut être îine transformation à détermination unique que si toutes les courbes du réseau (4) qui passent par un point quelconque de J ne se coupent plus ailleurs sur f [^ ), excepté aux points que toutes les courbes du réseau ont en commun avec y. Il est d'ailleurs évident que le déterndnajit fonctionnel des $/ ne doit pas s'évanouir identiquement, car autrement les courbes ne formeraient pas, en général, un réseau (-). Donc, tandis qu'un point de base d'un faisceau provenant du réseau parcourt la courbe y', les autres points de base mobiles de ce faisceau décrivent une autre courbe, laquelle, comme on le voit immédiatement, est représentée par l'annulation de l'expression désignée dans (3) par M.

Il peut arriver en particulier que toutes les courbes du faisceau en question se touchent en x (cas où une de ces courbes a en o: un point double]; alors, en vertu de propositions précédentes, X est situé sur la jacobienne du réseau (t. II, p. 102). En même temps aussi, un des autres points de base du faisceau qui sont placés sur M = o se rapproche infiniment de x, c'est-à-dire que la courbe M = o passe par toutes les intersections de J =^ o avec la jacobienne du réseau (4), théorème qui sera important pour nous plus tard. INous établirons encore immédiatement ici quelques propositions utiles également pour ce qui suivra. Il résulte de (3)

(') Cela arrive, par exemple, toujours si les trois courbes *,= o sont des courbes adjointes d'ordre n — 3 pour une courbe hjperelliptique du «''"° ordre; on ne peut donc, pour cette dernière, faire usage de courbes de l'espèce en question pour une transformation unidéterminative. Voir les deux Sections suivantes.

[') Voir la première note de la page 97, t. II.

LA GÉOMÉTRIE SUR UNE COCRDE ALGÉBRIQl'E. 5

que M = o est de l'ordre vs — n, v désignant encore l'ordre de F, 5 celui des fonctions ^j. De plus, le premier membre de (3) s'annule au degré vr de multiplicité pour un point commun /'p'" des ^j et la même chose a nécessairement lieu pour le second membre. Si donc ce point est multiple d'ordre i de f, on reconnaît que M = o a, en tout point multiple d'ordre i pour f et multiple d'ordre r pour chacune des courbes ^i, un point piultiple d'ordre vr — i.

La courbe M = o présente également de l'importance pour la détermination des points multiples de F( j) = o. En premier lieu, on aperçoit immédiatement, par ce qui a été dit à propos des transformations Cremona, que tout point multiple dey" non situé en un point fondamental du plan E^ donne lieu à un point multiple de même sorte de F, et de plus que tout point i'p'*' de f situé en un point fondamental de E^ et à branches a^ant \\n cours séparé se trouve résolu en i points simples de F. Si le point fondamental en question sur E^^ est du / 1«"'« ordre, ces i points simples de F sont les points de rencontre avec F de la courbe fondamentale correspondante du ;••'='"•= ordre. Cette courbe fondamentale rencontre encore ailleurs F en v/- — i points répondant au point multiple d'ordre v/' — i que M :=: o possède au susdit point fondamental du /'^'"^ ordre, car sur E^ l'image de la courbe F n'est pas donnée par^ seulement, mais parj" réuni à M. Nous trouverons au surplus incessamment toutes ces considérations établies par voie purement algébrique. Maintenant il peut aussi se produire sur F de nouveaux points doubles à chacun desquels répondent deux points séparés sur y, et, pour préciser, le fait arrivera si les courbes $ qui passent par un point x de y (caractérisé par cette circonstance) se rencontrent ellesmêmes en un second point de /', c'est-à-dire si un second point de base du faisceau dont l'un des points de base a été supposé mobile surfest également situé sur y, ce qui se produit précisément aux points d'intersection de/" avec le lieu des autres points de base, c'est-à-dire avec M. Parmi ces intersections figurent également, ainsi que nous venons de le montrer, les intersections de la jacobienne du réseau des 0 dans lesquelles deux points de base du réseau sont voisins l'un de l'autre, sans que tous deux soient exactement situés sury ces points ne donnent pas, par suite, lieu

() TOME III. CIIAIMTRi; 1.

à des points doubles de F ('). Nous avons, en conséquence, ce ihéorème :

Les points d'intersection de M = o avec f= o qui ne sont pas situés en des points communs des courbes du réseau [^) et qui ne tombent pas aux points d'intersection de La jacobienne de ce réseau avec f sont associés par couples de telle manière que les points de chaque couple se réunissent, lors de la transformation (2), en un point double de la nouvelle courbe F = o.

11 ne nous reste plus qu'à déterminer les nombres relatifs aux divers svstèmes de points d'intersection désignés ici pour avoir immédiatement tous les moyens auxiliaires nécessaires à une démonstration directe du théorème du genre, telle que nous la donnerons plus tard. Nous reprendrons encore alors algébriquement le théorème énoncé en dernier lieu.

On rencontre de même sur le plan E^ des points fondamentaux et sur Y^x des courbes fondamentales si l'on part des équations (i); mais celles-ci ne sont pas en relation par elles-mêmes avec les figures fondamentales qui se présentent dans l'équation (2) et dont nous avons parlé récemment, mais seulement eu égard à la courbey = &, car c'est seulement en vertu de J^= o que l'on peut obtenir au moyen des équations (2) les j en fonction rationnelle des X, à moins que l'on n'ait affaire à une transformation Cremona. La déduction eß'ective des équations (i) de (2), aiiui que celle de l'équation F = o de f= o, peut être réalisée de la manière suivante. On éliminera d'abord x^ de chacune des équations (2) au moyen de /"= Oj on obtient ainsi trois équations de la forme (f = i, 2,3)

(.5) -h \^i^ ^\. l^JuV-Xi^ W"3 ) = o-

Ensuite on éliminera x-^ successivement entre ^i=^o, 1^3=0 et 1^2= o, çj^a = o; cela donne deux équations de la forme

(') Cela n'arriverait que si la ligne joijjnant les deux points de base voisins, c'est-àdire la tangente commune des courbes <Sf qui s'y tovichent, devait co'incider avec la tangente de/; oi reconnaît aisément, par la suite des développements du texte, qu'il se produirait alors sur F un point de rebroussement.

LA GEOMETRIE SUR UNE COURnE ALCÉBRIO'E. 7

et l'élimination de Xi entre ces dernières donne l'équation cherchée F( 7 ) = o, multipliée toutefois d'abord par un facteur stiperflu^ car par une supputation directe on trouverait (t. Il, p. 12 et suiv.) l'ordre v de F plus grand qu'il ne peut être d'après les indications suivantes. Actuellement, nous pouvons considérer les équations (6) comme des équations en Xi pour variable unique et dont le résultant F est nul, ayant conséquemment une racine commune. Or on peut calculer rationnellement cette dernière de la manière connue ( ' ) sous la forme

où [JLi est une fonction des jv et de a. On peut trouver semblablement x^ et X3 :

y-î -^2 — ^'i [Xl , )\ . J>'3 ) . «3 -^3 = ^-3 ( Jl , J-2 ,r-i]'

11 ne reste plus qu'à disposer ces équations, en ajoutant des facteurs convenables ou en chassant les facteurs étrangers, de telle manière que dans les premiers membres figure toujours, au lieu des quantités f//, le meine facteur de proportionnalité; les équations (1) S6 trouvent par là établies d'une manière complète.

Dans la théorie des transformations unidéterminatives, une importance toute particulière s'attache au théorème établi par Riemann et dont nous avons plusieurs fois parlé et fait usage, théorème relatif à la conservation du genre d'une courbe dans toutes les transformations unidéterndnati^es de cette dernière (t. II, p. 86). Nous en avons déjà donné précédemment une démonstration en établissant, d'une manière générale, d'après la marche indiquée par Zeulhen, une relation entre les genres de deux courbes présentant entre elles une liaison à détermination multiple (t. II, p. 168). Mais nous avons alors supposé que les deux courbes avaient au plus des points doubles ou cuspidaux ordinaires, tandis que notre proposition est aussi applicable aux courbes à singularités quelconques. L'importance du théorème doit au surplus faire désirer une démonstration directe. D'autres démonstrations, en grand nombre, ont été données successivement;

(') Voir, par exemple, les Leçons d'Algèbre supérieure de Salmon, page 64 de la traduction française par Bazin, ou page 84 de la 2" édition originale.

CIIAPITBE I.

toutefois, nous n'en rapporterons que deux, et nous nous bornerons à renvoyer brièvement aux autres à la fin de cette Section. Pour plus de simplicité, nous supposerons encore, pour commencer, que la courbe J = o ait <i points doubles et r points de rebroussement, mais pas d'autres singularités. Les courbes 0, = o, <1>2= o, 4>3= o seront supposées de l'ordre s, et nous admettrons, pour raison de généralité, que toutes trois ont une série de points fixes en commun avec la courbe f=^ o. Désignons par a -+- t le nombre de ces points communs, a étant le nombre de ceux qui sont des points simples dey=o, t le nombre de ceux qui sont des points doubles ou cuspidaux de /'= o. Le nombre des points d'intersection mobiles d'une courbe du réseau (4) avec f, et par conséquent, d'après ce qui précède (p. '6), l'ordre de F, est alors

n désignant V ordre de J z= o. Or, parmi les courbes du réseau (4) qui passent par un point quelconques sont comprises i{y-\-p — i) courbes rencontrant /'= o en deux points voisins, savoir les 2 (v + /? — i) — /' courbes tangentes (* ) et les ;• courbes du faisceau déterminé par le point x qui passent par les points de rebroussement. Mais à deux points voisins sur /" correspondent évidemment deux points voisins sur F. Aux ^.[v -\- p — i) courbes précitées du faisceau correspondent donc sur le plan Ej autant de droites du faisceau de rayons passant par j^, droites rencontrant F en deux points voisins si j' répond au point x. D'autre part, le nombre de ces droites est donné par le nombre des tangentes menées àç. y à F et par le nombre des lignes joignant 7 aux points de rebroussement de F, c'est-à-dire qu'il est égal à 2(v -h r — i), r. désignant le genre de F. Mais de l'égalité des deux nombres résulte en fait

ce qu'il fallait démontrer ('-'

(') Voir t. II, p. 94, 171 et 187. On peut aisément, d'après la note de la page 171, former iiiie courbe qui traverse ces points de contact sur y.

(') Dans cette démonstration on regarde comme connue la proposition d'après laquelle, pour le nombre des courbes tanrenles du réseau, on ne doit prendre en considération que les intersections mobiles des *; avec f Nous ne démontrerons ce theo-

LA GÉOMÉTRIE SOB UNE COCRBE ALCÉBRIQIE. 9

Nous donnerons ensuite une démonstration algébrique directe [^) du théorème de Riemann, en déterminant d'une façon précise le nombre des points multiples de la courbe F et en calculant ainsi le genre de cette dernière. Les moyens nécessaires pour réaliser cette démonstration ont été, au fond, déjà fournis parles considérations géométriques ci-dessus (p. 21 et suiv.), mais nous en reprendrons encore une fois partiellement le jléveloppement.

En même temps, nous, généraliserons les hypothèses faites sur la nature de la courbe /", laquelle pourra posséder a, points multiples d'ordre i, tous, du reste, à tangentes séparées; il pourra y avoir aussi r points de rebroussement. Le genre de/^sera, par définition (t. II, p. ilio et suiv.), le nombre

(7) p = l[„-.i)[n--?.)-'-2^c,.ii[i — i)-r.

Voyons d'abord comment les points singuliers àef= o se comportent dans la transformation. En posant /":= rt", on a, indépendamment des z, pour un point de /multiple d'ordre p,

et les p directions d'avancement partant de .r sont déterminées par les équations

(9) a"^-^a\ij.= o, k^clr^ -+ l-^dx^ + I.^dx^ = o,

si /f,a', -f- /"aXo -r ^3X3= I désigne, suivant ce que nous connais-

rème que |)lus lard, à l'aide de celui sur la conservation du genre, en prouvant que pour le nombre des coïncidences d'une correspondance il faut, d une manière générale, avoir égard uniquement aux intersections mobiles. On s'assure Cacilement aussi de l'exaclitude de cette affirmation dans le cas présent, car (t. II, p. ifiS) les points <le contact des courbes * qui passent par x sont traversés par la courbe

les déterminants fonctionnels é'.aut supposés écrits par rapport aux variables^j-, ou bien, par exemple, si x est situé sur *3 = o et *,^ o, par {f't>^<b^) = o [voir t. II, p. 171, note). Cette courbe coupe en effet /eu 2 (y -+-/> — i) points à employer, ainsi qu'on le reconnaît d'après les propositions de la page loi, t. II.

(') Cette démonstration se rattache à celle donnée par Clebscb et GoRD.vs, Theorie der ^heischen Functionen, Leipzig, 1866, p. 5.'( et suiv.; c'est là que les transformations à détermination unique étudiées par Riemann ont été pour la première fois traitées géométriquement.