CHAPITRE I

sons, l'identité qvii existe entre les valeurs absolues des jr/(t. II, p. i54).

Actuellement, si l'on admet que les courbes 4>, = o ne passent pas toutes par x, et que, par suite, f- n'est pas nul pour le point X, au point x correspond sur F, en vertu de (2), un point complètement déterminé j', point qui est précisément multiple d'ordre jo. Cette deinière conséquence résulte de ce que, en vertu des équations découlant de (2), savoir

10) i>.. (iji + j V • »l^ = 1- ^'^•^1 + 1— "•^■i -^ 3— ^'-^3 .

O-fi O.l'^ 0:L'^

à tout système de valeurs des dxi répond un système de valeurs complètement déterminé des dji, tant que fx n'est pas nul, et le fait a lieu indépendamment de la question de savoir si les valeurs des dxi qui se tirent de (9) sont différentes ou non les unes des autres, et dans le cas même où deux branches de^ tangentes en x se confondraient encore dans les dérivées d'ordre supérieur. Nous avons, en conséquence, ce théorème [voir t. II, p. 207 et suiv.) :

^. un point singulier de f par lequel ne passent pas à la fois toutes les courbes employées pour la transformation correspond sur F un point singulier de même nature.

Admettons maintenant que x soit un point fondamental de la transformation, c'est-à-dire que toutes les courbes du réseau (4) passent par x; nous aurons simultanément

*i(.r)=rro, *2(.r) = o, «ï>3(.r)=o, fA = 0.

Alors, dans lés premiers membres des équations (10), il ne reste plus que les expressions 7 ,ti?/a, d^ étant différent de zéro, et, par conséquent, à chaque direction d'avancement dx sur y" répond un point j^ sur F. Donc, à un point multiple d'ordre p, à tangentes séparées sur/, correspondent p points différents sur F; si en particulier X est un point de rebroussement de f, deux points voisins lui correspondront sur F ('). Les choses se passent tout à fait de

(•) Foir aussi la note de la paye 6.