IV. L'équation difî'érenlielle

(32) ^-2 2^^.^+(i+^-2)(^gy,:33 0

est caractérisée par le fait que ses courbes intégrales

se composent des tangentes d'une conique fixe; elle correspond donc dualistiquement à une équation qui ne renferme pas les difTérenlielles des coordonnées (-), et dont les intégrales se composent de l'ensemble des points d'une courbe fixe (p. ^56). Le connexe auquel répond l'équation (32) ne peut donc pas renfermer les coordonnées-points x, et par le fait on trouve, pour ce connexe, l'équation

ui — ul -+- ul = o.

11 représente en même temps la solution singulière de (Sa) en coordonnées-lignes.

( ' ) C'est sur elle que Lagrange a d'abord développé sa théorie des solutions singulières. {Voir BooLE, loc. cit., p. 149 et i65.)

(*) Plücrüb a également appelé l'attention sur ce fait, que, dans la transformation d'une équation différentielle de coordonnées de points en coordonnées de plan, les dérivées peuvent disparaître totalement, et que l'équation de surface qui prend ainsi naissance est une solution singulière. {Voir son Ouvrage : System der Geometrie des Raumes, Düsseldorf, 18^6, p. 27.)