I. Soit donnée l'équation dififérentielle

(2Ô)" xdy=ydx\oQx,

OU, en coordonnées homogènes,

(27) ^^+lo^.^ = o.

Ici, évidemment, le point x, = o, X2=^x-i^ c'est-à-dire x = o, 7= I , est commun à toutes les courbes intégrales (lesquelles sont représentées par j'^ = e^^ (2). Comme les ui entrent linéairement, il n'y a pas de lieu de rebroussements. Pour obtenir l'enveloppe des tangentes d'inflexion F'= o, il faut représenter l'équation ponctuelle (27) en coordonnées-lignes v, c'est-à-dire éliminer c et Vi entre les équations

I Mj .rj M[ I I

(3Ci= , pi'2— ï 1 •> p»'3=

X^ Il 2 ^2 «2 "^i "^3

et entre (27). Cela donne (0.8) log' "' "'

De là prend naissance F' pour u = u ; on a donc

(') On trouve d'autres exemples dans Daubotx, loc. cit.

(') Sur l'intégrale particulière. y = o de cette équation, voir Boule, op. cit. (Siijjple/tientarx voluine, p. i4 et 17).

pour la courbe cherchée. Celte dernière se confond avec le point commun des courbes intégrales et donne une solution singulière. En eflet, on ne peut pas déduire l'équation (29), par une valeur particulière de C, de l'équation des courbes intégrales en coordonnées-lignes

Y = log — - -î C-' 4-i==o; \ t. «2/ «1

cette équation s'obtient, au contraire, par élimination de G entre Y = G et ^7^ = o IL L'équation différentielle ( * )

a l'intégrale générale

et, par suite, la solution singulière

De (3o) nous déduisons le connexe

a^ ll\x^x^ — x\ U3Ui= o.

La forme F tire donc son origine de

si l'on pose w = t^; on a donc

F = /^ulul — a^u\=zo, et l'on trouve de même

F'=/ia^xl.r:l — xl = o.

Les deux dernières équations représentent en fait la même courbe (3i).

IIL Les courbes intégrales de l'équation différentielle

(•) ScHLÔMiLCB, Compendium der höheren Analjsis, 3» éd., t. I, p. 509.

4öo lOMt IM. — CUAPIlUli II.

forment un système de courbes du troisième ordre à rebroussements

(j; + Cj)*J=:l ou (.ri+ C.r2)*.r2 = ^ij.

Les rebroussements occupent la ligne X3= o. Nous obtenons le

La courbe F, c'est-à-dire le lieu des points pour lesquels deux valeurs de Ut '. U2 se confondent, se compose de a:'3=o, le lieu des rebroussements, et de .r2=o, tangente d'inflexion fixe; le point de rencontre des deux lignes est le point d'inflexion commun ; il ne repz"ésente pas de solution singulière, parce qu'il lui correspond une seule direction spéciale d'avancement.