I.A GÉOMÉTRIE SUR UNE COIRBE ALGEnRlQUK

même si les courbes ^i ont toutes à la fois, en un point multiple d'ordre p pour /", un point multiple d'ordre ■/., par exemple. Si l'on suppose d'abord y. = i, les seconds membres des équations (lo) s'annulent et il vient d(x = o. Par la différentiation de ces équations, nous trouvons ensuite, en posant 4>/ = «!,'*•*,

(m) j,jv=^(^-o«:i^^-x;^

c'est-à-dire qu'à chaque direction d'avancement dx surf correspond sur F un point j. Dans le cas de •/.= 3, il vient aussi, d'après (i i), d'ii. = o, et nous obtenons, en différentiant encore une fois,

(il)* y.d^a = s[s-j)[s-'2]0L^^^'-'uf^, ....

On reconnaît ainsi, en concluant immédiatement de y. = l à y. = A -h I, que notre affirmation est exacte. Donc :

Si les courbes <f>/ = o ojit toutes ensemble en un point de f, jnul{i/)le d'ordre p et à tangentes séparées, un point simple ou multiple, à ce dernier correspojident, sur F = o, p points séparés ((pu sont les points de rencontre avec F de la courbe fondamentale (pu répond sur Ej au j)oint multiple de f sur Ex) (p. 5).

Nous appliquerons, ainsi qu'il suit, ce résultat au calcul du genre de F. Supposons que parmi les a, points l'i'''^'* de^ il y en ait a- par lesquels les courbes <t> ne passent pas et a] par lesquels ces courbes passent une ou plusieurs fois, en sorte qi

rue

Dans le même sens, les /• points de rebroussement seront supposés se partager en deux groupes respectivement de j'' et /■" points, ces derniers étant des points multiples des ^ (voir p. i3).

Supposons maintenant que la courbe F ait ßi points multiples d'ordre /. Parmi eux figurent, d'après ce qui précède, a- points provenant des points multiples de/'; les autres ß/ — «î restants proviennent du rapprochement de points qui étaient séparés surf. Mais, en général, il ne se produira à nous^eau sur F que des points doubles [ou cuspidaux) simples, en sorte que, si y désigne leur

13 TOME ni. — CHAPITRE I.

nombre, on aura les relations suivantes :

Si, en effet, p points séparés sur^doivent se réunir pour former un point multiple d'ordre p sur F, et que Uy=o, Vj = o soient deux rayons menés par ce dernier, chaque rayon Uy-\-'Xvy= o ne peut plus rencontrer la courbe qu'en v — p points mobiles ; par conséquent, les courbes du faisceau

ne peuvent plus, elles aussi, rencontrer la courbe y= o qu'en v — p points mobiles. Donc, tandis qu'en général une courbe du réseau (4) est déterminée par deux points, il faudrait alors que sury=: o on pût choisir p points tels que par eux passât un nombre infini de courbes du réseau. Il faudrait donc qu'il existât entre les courbes du réseau et la courbey=: o des relations particulières, car, dans un système doublement infini de courbes, ce qu'on peut demander au maximum, c'est, sur une série simplement infinie de points, d'en choisir deux tels que par eux passent un nombre infini de courbes du système [voir aussi t. II, p. i45). Nous supposerons donc d'abord que les équations (i3) existent pour notre transformation. Le genre <:/e F = o est alors

Il nous reste à déterminer dans cette formule les nombres v et y. Pour simplifier les développements qui y conduisent, remarquons que nous pouvons toujours supposer les courbes ^i telles que la multiplicité de leurs points communs situés en un point multiple d'ordre i pour f= o soit la même pour toutes les courbes du réseau en tous (') les points i'P^^" de j ^= o. L'exactitude de nos considérations ne serait pas, en effet, détruite par une transformation linéaire des j; il ne s'agit donc pour notre objet que des points des courbes <ï>j qui sont également communs à toutes les

(') Cette dernière convention ne fera qu'éviter dans ce qui suit l'écriture d'une double somme, tandis que la première est d'une importance capitale.

LA Ci;O.METRlE SUH UNE COURDE ALGEBRIQUE.

courbes du réseau (4). Si donc, par exemple, 4>3= o devait avoir, en un point /'i'''^ de <î>, = o, <i>2= o un point multiple d'ordre jo, p étant plus grand que /•, il suffirait de compter ce point simplement comme point multiple d'ordre r. Si d'ailleurs les courbes <Pi= o passent p fois par un point /'p'^ de f= o, p' fois par un autre, ...,p^*^ fois parle dernier (avec la condition |0<^p'<^...<^p^*^), nous pouvons déterminer une courbe Y = o telle que les courbes <I>,^= o, tJ^oT = o, <î>3Yc=o aient en tout poiatde/, multiple d'ordre i, un point multiple d'ordre p^^'K Or, si nous ajoutons le facteur en question dans les seconds membres des équations (2), le résultat de la transformation ne sera pas modifié, l'opération n'ajant d'influence que sur le facteur M. Mais nous pouvons toujours imaginer que le facteur f est déjà compris dans les 4>,-; notre proposition est ainsi démonti'ée exacte. Nous pouvons toujours admettre que les courbes <î>/ aient en chacun des a] points multiples d'ordre i de fiui point multiple d'ordre r^ et en chacun des r" points cuspidaux def un point multiple d'ordre t et qu'elles aient en outre a intersections simples en a points simples de f. Alors le nombre des points d'intersection mobiles des 4»^ avec j\ c'est-à-dire l'ordre de F, est

(i5) v = ns — ^~ ^(/'[vii — 1 tr" (i).

Pour déterminer enfin le nombre y qui figure dans (i4)^ nous avons à chercher une courbe qui découpe sur f tous les couples de points donnant lieu à des points doubles de F. Or une courbe de cette espèce nous est fournie, d'après ce qui précède, par M = o

(') Pour /= ß^', .r,= f/^, *;:=a"? ' «■,, d'où « = /m, s =^ m — i, K,= a',', aj = o, r' ^ o, /• = /•", r-=i i — 1 , 7 = r, t = 1 (cette dernière égalité parce que les courbes * touchent la courbey=o au point de rebx'oussement), on déduit à nouveau de là la classe de la courbe primitive

v=w(w — i) — Sa,/(/ — i) — 3/-.

D'un autre côté, si l'on prend /= (aic)'rt^!~^Ä[J'^^f^'~* et encore *=aj'~*<i,, F = o donne (t. II, p. 83) l'équation de la steinérienne en coordonnées-lignes, et par la formule (i5) on trouve pour la classe de cette dernière, en observant que dans le cas actuel » = 2 ( parce que la hessienne a, comme on sait, un point triple en chaque point de rebroussement de a^ — o),

l4 TOME III. — CIIAPITHE I.

(p. 6 et suiv.); on peut aussi le reconnaître ainsi qu'il suit. Nous demandons combien de fois il peut arriver, en général, que les

dérivées — r^^— ^ s'évanouissent simultanément. Or on a, d'après

àji ^

(3)et(2),

^' " ôfi ~ 2j O'P/, dvi ^ ^' ô<i>,- ' car de ['2) résulte, par exemple, pour i = i,

Si donc nous posons — y — ■ =- F,($), il vient

(.6) .t.-iF,(j) = F,{<I>).

D'après cela, les déiùvées F/(j ) s'évanouissent toujours en même temps que les expressions F/($), à moins que toutes les quantités 4>/ (et par suite w également) ne soient nulles ensemble. Dans ce dernier cas, les expressions F/(4>) s'évanouissent dans (16) à l'ordre />( v — i) pour un point multiple d'ordre /'a, et il en est de même de |!z'~* ; si donc nous connaissons les points x de/pour lesquels les F/(<î>) s'annulent, nous n'avons à en séparer que les points communs aux 4>/; les autres points restants déterminent des points x tels qu'ils se réunissent deux à deux en un point double de F.

En différentiant l'équation (3) suivant les quantités xi, on en tire les trois équations

Premiè/'enient donc les F/(4>) sont toujours nuls si les -r— s'annulent, à moins que le déterminant fonctionnel des 4>/, lequel sera désigné par (<ï>^,f|>2, ^3), ne s'évanouisse; mais alors x est un point multiple de y, et nous avons déjà considéré les cas de ce genre.

Secondement, les F/(0) sont toujours nuls si M s'annule, en exceptant de nouveau les points x de/ pour lesquels le détermi-

LA CKOMÉTRIE SLR UNE COL'RDE ALGÉnRIQl'E. l5

nant fonctionnel (4>,,4>2, ^3) s'évanouit encore, et, en fait, la courbe M = o passe bien par les points d'intersection de /= o et de (*,,<p2, 4>3) = o (p. 4)- Mais M est de l'ordre vs — Ji, (^,, 02> ^3) de l'ordre 3^ — 3; le nombre des points d'intersection utilisables pour nous de M avec /^serait donc à première vue égal à ^18) n[-js — n — 3s -+■ 3).

De ce nombre nous avons, d'après (16), à retrancher les points situés aux points communs des courbes 4>,. Or, M a en tout point (7 un point multiple d'ordre v — i (p. 5) et en chacun des a'- points jipies jgy ^jj^ point multiple d'ordre vr, — i. Par conséquent, aux points communs des ^ et de/* sont situées

P = (v — i)«7 + lu"ii[vr; — /■] + ir" [vt — -2)

intersections de M et de f. Mais aux mêmes points se trouvent aussi

intersections de /' et de (0, , 4>o, 4>3), car en un point commun ,.ipic jgg (p la jacobienne a un point multiple d'ordre 3// — i (t. II, p. 104). Ces dernières sont déjà comprises parmi les /z (3 5 — 3) points qui ont été considérés dans le nombre (18). Nous avons donc à retrancher en tout de (18) le nombre

P — Q=(v — 3)cr-h 2«';/[(v —■i]n—l-{-i]-h '}.i-"[t'J — 3^ — 1).

Le nombre des points d'intersection de M et de y utilisables pour nous est donc finalement égal à (*)

n[-js — » — 3^-f- 3) — (v — 3)(<T-}- s/""/) — :i;«'-/[(v — 3)o- — / -+- 1 ] -f- 2 /•"

(') Observons que des relations tout à fait analogues à celles qui existent entre M, (*,, *,, *,), / ont également lieu entre F, (*), (*„*,,/),/ ou F^(*), (*j, *,,/) ou F3(<1>), (*,, *„/),/, car des équations (17) résultent pour y = 0 les relations

Nous pourrions donc, au lieu de M, prendre aussi pour base de nos considérations une des courbes F;(*), comme l'ont fait efTeclivement Clebsch etGordan {loc. cit.'). On doit utiliser alors, au lieu des propositions sur le mode d'existence de (*,,*„*,) en un point commun des *, celles relatives au mode d'existence d'un déterminant (*,, 4>^,/) (t. II, p. 98 etsuiv.). Nous apprendrons plus tard à déterminer ces points autrement, {^oirïa Section sur les généralisations des formules de correspondance.)

l6 TOME III. — CIIAPITHE I.

OU, en vertu de ( lo"). à

(v — l)(v -2) — [n — i)[n — 2) -\--Lr/.f[i— ,) +2/'.

Pour chacun de ces points x, il y a. évanouissement non seulement des fonctions F,(4>), mais encore des fonctions F/(j) ; deux d'entre eux donnent donc naissance à un point double ou à un point de rebroussement de F, c'est-à-dire que nous avons

Si l'on porte ce résultat dans (i4), ü vient, en vertu de (12),

■K = \[n — ï][n — 1] — ^lv.'ii[i — i) — \lu'ii{i — l] — r — r" =--{{n — i){n — 2.) — {2«,-/(/— i) — r,

OU enùn n =^ p. c. q. f. d.

Le théorème sur la conservation du genre se trouve ainsi démontré pour les suppositions que nous avons faites. Nous avons admis qu'il n'y avait pasplus de deux points séparés dey se réunissant pour former un point multiple de F^ mais qu'il j avait des points séparés de F auxquels correspondait un point multiple def.

Or on peut aisément faire disparaître cette restriction. Si nous admettons d'abord que sur F de nouveaux points multiples prennent naissance par suite de la transfoi-mation (2), nous commencerons par remplacer cette dernière par cette autre,

pj,-=1',(,r) -f- £¥,-(. r),

les fonctions ^i étant du même ordre que les fonctions 4>,-, mais, du reste, complètement arbitraires. On peut donc ici choisir les ^l de telle sorte que la transformation soit de nature entièrement générale, et que, par suite, la courbe F' transformée de^n'acquière à nouveau que des points doubles simples. Actuellement, si l'on prend e infiniment petit, F' sera voisine de F, et il y a une partie des nouveaux points doubles de y ayant, les uns par rapport aux autres, une situation telle que pour e = o ils se réunissent par groupes, de manière à former de nouveaux points doubles de F. Mais, comme notre théorème a lieu pour F' et que le genre de F concorde avec le genre de F', la proposition a lieu également pour

LA GÉOMÉTRIE SCR UNE COURBE ALGÉBRIOUE

la transformation de F en y, et nous avons par là démontré le théorème suivant :

Si deux courbes qui possèdent des points multiples à tangentes non confondues et des points de j^ehroussement séparés ont entre elles une relation à détermination unique, ces courbes appartiennent au même genre ( ' ) .

Une étude directe des cas où il n'est fait sur les points multiples de/= o et F= o aucune hypothèse de nature à simplifier présente quelques difficultés ; mais on peut se tirer de ces cas en définissant le genre comme nous l'avons fait plus haut, à l'occasion d'une application des transformations Cremona (-). Nous commencerons par changer comme alors, au moyen de transformations Cremona, les courbes / et F en des courbes C et C qui ne possèdent que des points multiples ordinaires et dont les genres p et TT concordent par définition avec les genres de/ et F. Si maintenant les courbes y et F sont liées unidéterminativement l'une à l'autre, il en est de même de G et C; par conséquent, d'après ce qui précède, p z= t:.

Nous passons à quelques applications des méthodes mentionnées ici.

Dans l'étude des systèmes de points sur une courbe algébrique (t. II, p. i36 et suiv.), nous avons vu qu'il est particulièrement important de considérer les groupes de points qui sont découpés par des courbes adjointes, c'est-à-dire par des courbes qui passent i — I fois par tout point i'^''^ de/, et parmi ces courbes adjointes nous avons dû signaler celles d'ordre Ji — 3. Au moyen des développements actuels, cette importance remarquable des courbes adjointes peut encore se reconnaître d'une autre manière.

Soit (d[j) = o une courbe C,x adjointe à Ffj), et supposons

C) Mais, à l'inverse, deux courbes de même genre ne sont pas toujours transformables unidéterminativement l'une en l'autre, et, pour qu'il en soit ainsi, il faut l'égalité de certains nombres (appelés modules) qui correspondent aux invariant» absolus des transformations linéaires. {Foir sur ce sujet les deux Sections suivantes.)

(') T. II, p. 217. Il est à remarquer que les recherches de M. Halphen, citées p. 216, ont été publiées avec plus de détails dans les Mémoires des Savants étrangers, t. XX.VI. {Voir aussi du même auteur : Sur le genre des courbes algébriques. Association française pour l'avancement des sciences. Congrès de Nantes, 1875).

Clebsch. — Géométrie, III. 2

que 'x;{x) = o soit une courbe qui découpe sur f[x) = o les gi'oupes de points répondant aux points d'intersection de 0 et de F en vertu de la transformation (2), et qui ne rencontre plus la courbe /qu'aux points singuliers (les circonstances de ces rencontres restant à déterminer). Alors doit exister en tous les cas une équation de la forme

Or, par hypothèse, 0(j)^) = o passe par tous les points doubles de F; par conséquent, 0(^) =0 passe par tous les couples de points dey dont dérivent les points doubles en question de F. Donc B = o doit passer le même nombre de fois par ces points, car, par hypothèse, ^ = o ne les renferme point. Nous pouvons, par suite, substituer à B la fonction précédemment désignée par M, à la condition de déterminer en même temps, d'une manière convenable, le mode d'existence de A, S' et C aux points singuliers de F. Mais la courbe M = o passe non seulement par les couples précités et par les points singuliers de/", mais encore par les points d'intersection décavée la jacobienne des courbes 4>; conséquemment, A passera également par les mêmes points. Pour cette raison, nous poserons directement A = (<î>,, 4>2,*î^3). Alors la multiplicité du produit A0(C) en tout point i'p'* de /"(par lequel les courbes 4> passent r, fois) est, d'après des propositions précédentes, égale à ///v-h 3;'j — i; d'autre part, la multiplicité de B( = M) est égale à v/\ — i; l'équation précédente sera donc toujours possible, en supposant que l'on puisse attribuer à la courbe S- = o en tout point i'"^^^ de y un point multiple d'ordre (/jt — V -I- 3 ) 77 -h i — I . Il s'agit donc de montrer que cette possibilité existe toujours, c'est-à-dire que l'on peut toujours déterminer une courbe ^ d'ordre convenable, suivant la manière indiquée.

Les ordres de A, B, 0 et <P,- étant connus, l'ordre x de ^ est facile à déterminer; on trouve

(20) .X = 3s — 3 -i- lis — vs -{- n = s[n — V -{- 3) + n — 3.

Nous supposerons, pour plus de simplicité, /• = /'= 7"= o, et nous désignerons la multiplicité de ^ en un point i'p^^ de/" par y'^, en sorte que

(21) ji={u. — v-{-3)ri-^i — i.

LA GÉOMÉTRIE SUR UNE COl'RBE ALGÉBRIQUE. I9

Le nombre des coefficients à délerminer dans ^ sera égal à ■jx[x -h 3). La courbe 3- doit passer par les ^v — 2 y — Za'jt(i — i) points qui correspondent sur /" aux intersections de 0 et de F non situées aux points singuliers de F. Le nombre total des conditions données pour les coefficients de ^ est donc, en tenant compte de ce que (pour [J-'^v — 3) p de ces derniers points se déterminent au moyen des autres, égal, en vertu de (19) et (i5), à

p — 27 — Zv.\l[i —\)—p-i- {IXi [Xi + 0

=1 f*(«4- — a — iKim) — (v — i) (v — 2) + -i'^JiiXi -1-1) 4-/^.

JYous 710US proposons mainlenant de montrer que ce nombre, lorsque p. augmente, croit toujours plus lentement que le nombre ^x[x -\-?>). Si nous posons en effet ^ -h i à la place de /:/, ce dernier, d'après (20), augmente de

et le premier, d'autre part, de

Nous pouvons, en général, supposer les courbes 4> non déconiposables, car, si 4>,, ^o? ^3 se décomposaient individuellement en facteurs, il n'en serait néanmoins pas ainsi pour une courbe quelconque du réseau des 'î'(' ); nous avons par suite, puisqu'il existe un nombre doublement infini de courbes 0 dans le réseau, les nouvelles relations

et l'on déduit de là, par combinaison, en observant que la différence positive des deux membres de la première inégalité est plus petite que celle des deux membres de la seconde,

(22) s''->l.U\rl -^<T -\-\^ 35^S«>,-f- (T -+- 3.

Par conséquent, le premier et le troisième terme de z sont sépa-

(') Si précédemment (p. i3) nous avons aUribué occasionnellement un facteur commun à toutes les fonctions *, ce n'était que pour simplifier et à cause du but que nous nous proposions alors.