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Stt-hi

avec

(') On recoiiiiail rexactitude de celte série {joiiéralc de nombres en la portant daii' lequalion (21); il vient alors on fait, pour r = o, (/■ + i) K = r(r h-/^ — i) -, pom T> 0, cette condition se transforme en (/■ -t- i)(t + ;) > r(/- -t- i -h t). Or cette dernière est satisfaite.

LA GÉOMÉTRIE St'R UNE COL'RBE ALGËBRIQIE.

Ainsi, par exemple, il existe, comme nous l'avons fait observer plusieurs fois (p. 36), sur une courbe du cinquième ordre à deux points doubles (y[^ = 4,7r= 2), deux systèmes différents g^^\ puisque z = o, r = 1, p — 71-1-1 = 3; et tous deux sont résiduels l'un par rapport à l'autre; en effet, on a aussi (j = t: — 1 = 1, Q=jf7-h7r — 3 = 3. Un autre exemple nous est offert par la courbe du sixième ordre à cinq points doubles [p = 5). Pour deux points P,, P2 arbitrairement choisis, il existe ici un nombre fini de couples de points qui forment, ensemble avec les premiers, des groupes spéciaux G^'*, p étant égal à 2 7r -h i pour tt = 2, p — 7T-f- 1 = 4j '2^ = ï j d'où résulte ;• -h t =: 2 (ce qui répond au choix arbitraire de deux points). Et il existe pour P,, P2 précisément cinq groupes G^,*' ; car si l'on transforme la courbe du sixième ordre au moyen des courbes adjointes C3 en nombre doublement infini qui peuvent être menées par Pf , Po, on obtient une courbe G« qui aura encore nécessairement cinq points doubles ; les couples de points répondant à ces derniers sur Co forment, comme on le sait, conjointement avec P, , Po, les points de base du faisceau de courbes adjointes C3 qui rencontrent Ce dans les systèmes résiduels gi'== g'^' (t. II, p. i45). On obtient en tout sur Ce un nombreinfini de systèmes ^4' de cette espèce, puisque t = i. L'un d'entre eux, par exemple, se compose des groupes déterminés par les intersections du faisceau de droites passant par un point double; le système résiduel de ce premier système est formé par les groupes G4' qui sont déterminés par le faisceau des coniques passant par les quatre autres points doubles. Nous renvoyons enfin à l'exemple relatif au cas de /; = 6 qui a été traité avec détails. A l'égard de ce dernier, les précédentes propositions sur les déterminants ont établi la preuve qui nous manquait encore de l'existence de systèmes ^4*' et y'^' sur une courbe du septième ordre, à neuf points doubles (' ).