III. — La transformation en courbes normales. Modules

Nous revenons maintenant au cas de ;• = 2, qui présente une importance particulière pour la transformation à détermination

(') Pour les courbes spéciales du genre p, il peut d'ailleurs exister d'antres systèmes spéciaux que ceux indiqués au Tableau; le lait, par exemple, se produit dans le cas des courbes hyperelliptiques.

6a TOME m. — CHAPITRE I.

unique de la courbe primitive. En fait, nous pouvons, d'après nos développements précédents (p. 37), et en ayant égard aux valeurs minima de R qui répondent à /■ ^= 2 et qui ont été indiquées dans le Tableau, énoncer immédiatement la proposition suivante :

La courbe de l'ordre le moins élevé {^courbe nori)iale) en laquelle une courbe générale du genre p peut être transformée unidéterminativement est de l'ordre p — 7r H- 2 si le nombre p est de la forme 3 tt, Stt -1- i , 3 tt -f- 2, ou, ce qui revient au même, de V ordre 27:-}- 2, 27r-t-3, iti -\- f\ respectivement, et, comme le genre de cette courbe normale doit de même être égal à p, elle possède T,{p — 71 -f- I ) (/> — TT ) — p ou respectivement 2 tt ( r — i ) , 2Tr2, 2Tr-H- 2 7r -+- I points doubles ( * ).

(') Ces courbes normales ont été indiquées par Brill et Nöther, loc. etc. Déjà, dans la note de la page 42, nous avons fait observer, à propos d'un exemple, que les courbes normales de Rikmann, Theorie der Abelschen Functionen, § 13, diffèrent essentiellement do celles-là. Dans Riemann il s'agit, en effet, étant donnée une équation V(x,j)=o du ni''"^" dei'.ré par rapport h x eX du //'*■"» par rapport k j, d'abaisser autant que possible par transformation unidéterminative les nombres m et n séparément, ou, en d'autres termes, de trouver deux fonctions algébriques dilférentes l'une

de l'autre, - et — > qui deviennent nulles ou infinies en aussi peu de points que pos-

sible. On est donc conduit à clierclier deux faisceaux de courbes

(«) e.-H;.;/~o et 5>'+/;/'=o,

qui coupent/=o en un nombre aussi réduit que possible de points mobiles ou qui, autrement dit, déterminent sur f =■ o deux systèmes ^jj' relativement auxquels R a la valeur minima indiquée dans le Tableau, c'est-à-dire Pi=^^ — :r + i pour p=z27z ou yj = 2 ;r -t- I . Les courbes de transformation dont on doit faire usage, savoir

iß) '^■ir'x'^- '■'-iXy-^^-.xy.'^o,

coupent encore /= o en 2p — 2- -f- 2 points mobiles. Aux groupes composés chacun de Q=/;-4-- — 3 points de base des faisceaux («) correspond un point multiple d'ordre p -h ti — 3 sur la nouvelle courbe. Nous obtenons donc (d'accord avec Riemann) :

Pour /; =^ 2 TT, des courbes d'ordre /> -t- 2 à deux points multiples d'ordre 3(:r — 1) et 77(71 — 2) points doubles;

Poury>=^ 2 7r -)- I des courbes d'ordre /^ -i- 3 à deux points multiples d'ordre 3 :r — 2 et tt' points doubles.

Sont exceptés les cas de p = 1 et p = 2. Poury; = 2 7r -H 1, on a t = i; la transformation peut donc être réalisée d'un nombre infini de manières différentes. Par une tratisformation quadratique dont les points fondamentaux sont respectivement situés aux deux points multiples et en l'un des points doubles (ou par des considérations sur les courbes de l'espace) ces courbes normales peuvent aisément être transformées en courbes d'ordre p ou p -\-i (pour ^ > 4)- ( f^oir Brill, Math. Annaleu, t. II, p. 471-

L\ GÉOMÉTRIE SIR CNE COURBE ALCÉBRIQUE. 63

Corrélativement aux trois cas cités, on a pour le choix du système de courbes de transformation, eu égard aux valeurs de t lorsque /•== 2, ou bien aucun paramètre, ou bien un seul ou bien deux à sa disposition. Les valeurs de Q et ^ qui correspondent à la valeur R = /; -f- tt — 2 permettent donc d'énoncer encore le théorème précédent, sous la forme suivante :

Pour p = 3t:, Stt H- 1 ou 3:: -j- 2, on peut. 1 elativeinent à un groupe spécial de p-{-TC — 4 ou respectivement de /\v. — 4> 47r — 3, ^v: — 2 points par lesquels passe un nombre doublement inßni de courbes adjointes d' ordre n — 3 et dont u — 1 , tt, 7: -f- 1 respectivement peuvent être pris à 'volonté, trouver encore j[p — 7rH-i)(p — tt) — p ou respectivement it.^ti — 1), in-, 2 7r-+2 7r-+-i couples de points qui avec les p -h t: — 4 Jf oints cités forment un groupe spécial de q.ti^'K -\-\) — 4> 27:(7r4-2) — 3, 2ïr(Tr4-3) — I points par lesquels on peut encore faire passer un nombre simplement infini de courbes de la même espèce.

On obtient ainsi, pour les valeurs les moins élevées de p calculées exactement, les courbes normales suivantes : une comparaison avec le Tableau donné plus haut (p. Sj) pour les courbes du [p -h 1)'*"°* ordre montre comment, en fait, pour/>> 6, on obtient les courbes d'un ordre moins élevé. On trouve

Pour p = 3, Tz =-- I des courbes du 4* ordre à o j)oints doubles,

" p = ^, Tt =z 1 ;) 5* ordre à 2 »

p = 5, Tz = i » 6* ordre à 5 ))

/> =r 6, 7T = 2 )) 6* ordre à 4 "

/>> 1=: -j , TT m 2 11 'j" ordre à 8 »

p = 8, Tz = 7. )) 8* ordre à 1 3 »

p = g, Tz =z3 » 8® ordre à 1 2 n

Dans ces courbes manquent, par exemple, les courbes du cinquième ordre, où p = o etp = 6. Ces dernières et, en général, les courbes du genre p dont l'ordre est inférieur à p — tt -1- 2 s'obtiennent, au contraire, par transformation de courbes du {p — 71 + 2 )'^'"'' ordre sur lesquelles, en vertu de relations particulières entre les constantes qui les déterminent, existent des systèmes spéciaux g[l* ayant un nombre de points mobiles moindre

que cela n'est possible sur une courbe générale appartenant au genre dont il s'agit.

La transformation d'une courbe Cnf{x) = o de genre p en la courbe normale correspondante au moyen de courbes adjointes G«3 peut, du reste, être rendue impossible par des valeurs particulières des constantes que nous avons déjà mentionnées (p. Sa) et que l'on désigne habituellement sous le nom de modules (' ). Si, en effet, deux points sur f ont entre eux une relation telle que (comme il arrive par exemple dans les courbes du cinquième ordre ayant un point triple) toutes les adjointes (Zn-^ qui passent par un point quelconque passent par cela même par un ou plusieurs points associés au premier, l'inversion uni determinative des formules de transformation p'yi=^ '^i[^) devient impossible, même sous le bénéfice àef[x) = o, de telle sorte que les variables x ne peuvent plus s'exprimer en fonctions des variables j rationnellement, mais seulement à l'aide de radicaux (ou en général de quantités irrationnelles), et la correspondance cesse alors d'être unidéterminative. On se convaincra du reste aisément que, dans l'emploi des courbes adjointes C«3 comme courbes de transformation, il ne peut se présenter d'irrationnalités plus élevées que les radicaux du second degré. Si, en effet, à tout point A donné d'une manière quelconque sur/' il pouvait correspondre y points tels que toutes les adjointes C«s menées par A passassent également par ces y points, on aurait déjà, puisqu'une courbe de cette espèce possède p — i éléments déterminateurs, en prenant yy — i points à volonté, fixé {j-i-i){p — i) points d'intersection de la courbe, tandis que celle-ci ne rencontre / qu'en 2/? — 2 points mobiles. Donc/ est au plus égal à i.

Par conséquent, dans le sjstènie de points d'intersection d'une courbe Cn a^^ec une adjointe G,2 3, ihij a qu'un seul point au plus qui puisse être déterminé par un autre point du même système (2). Or, comme il existe un nombre simplement infini de points sur la courbe, une courbe de cette nature spéciale est caractérisée par la circonstance qu'elle possède un système g^^\ A son égard reste vraie la proposition que p — i points d'intersection d'une courbe

(') Nous reviendrons incessamment sur leur noniLic. (') Voir Bkill et KoTniiK, loc. cit., p. 286.

LA GÉOMÉTRIE SLR UNE COURBE ALCÉBRIQCE. 65

adjointe C^.s sont déterminés par les p — i restants, mais un point individuel quelconque faisant partie des premiers dépend déjà d'un point entièrement déterminé, faisant partie des seconds et réciproquement. On peut donc prendre p — 2 points arbitrairement ; par ces points et par les p — 2 points correspondants passe un faisceau d'adjointes G^.s qui déterminent sur/'le système g'^*' dont il a été parlé. Un groupe individuel G^*^(=:G{C) de ce système forme alors, suivant le théorème de Riemann et Roch, le svstème des points de base des courbes adjointes Grt 3 qui sont en nombre p — 2 fois infini et déterminent sur f le système résiduel g^p~i) = gQ^ tandis que par deux points quelconques de / il ne passe plus qu'un nombre p — 3 fois infini de courbes de cette espèce. Un exemple des faits dont nous parlons nous est offert par les courbes du /z^®™^ ordre à point multiple d'ordre n — 2 (lesquelles sont conséquemment du genre n — 2); en effet, ici toute adjointe C„9 se décompose en n — 3 droites passant par le point multiple. Une ligne mobile et n — 4 droites fixes de ce faisceau de rayons représentent donc ensemble une famille simplement infinie de courbes G„3 qui ne coupent f qu'en deux points mobiles. Les courbées dont il est question ici sont ordinairement appelées hjpej elliptiques (*).

Mais on a aussi réciproquement cette proposition que toute courbe G« de genre p sur laquelle existe un système spécial ^â" peut être transformée unidéterminatiwement en une courbe du [p -\- 2)"""® degré à point multiple d'ordre p; nous pouvons donc qualifier d'hyperelliptique toute courbe possédant un système g\}\ J^a transformation précitée s'effectue au moyen d'une famille doublement infinie de courbes adjointes G^.j qui passent par n-+- p — 4 points fixes de G« et rencontrent par suite cette dernière en ^ -H 2 points mobiles. Pour produire sur la nouvelle courbe G^+2 un point multiple d'ordre p, il faut, parmi les n-i-p — 4 points fixes sur G,j, en placer n — p aux points d'in-

(') Cette dénomination est fondée sur ce que, pour les courbes dont il s'agit, les intégrales hyperelliptiques {voir la 6° Section de ce Chapitre) ont une signification semblable à celle des intégrales elliptiques pour les courbes du genre /^ = i. A la fin de cette Section, nous revenons encore sur les courbes hyperelliptiques; consulter aussi la Section relative aux courbes du genre p = 2.

Clebscu. — Geometrie, III. 5