I. — Les polaires d'un point relativement a one conrbe

A la th^orie des coniques devraienl succ^der naturellemeDt celle des courbes du troisi^me ordre ou de la troisl^me classe, et corr^Iativement la th^orie des formes ternaires cubiques. Cependant un grand nombre des questions qu^on rencontre dans cette ^tude peuvent sans grande difiiculte recevoir imm^diatement une r^ponse ^^n^rale, applicable aux courbes d'un ordre quelconque; en m^me temps ces considerations g^n^rales nous permettront d'obtenir par avance des vues plus precises sur les diverses propriet^s invariantes et sur les figures covari antes qui se rencontrent d^ja dans les courbes du troisi^me ordre. Si dans ce qui suit nous entreprenons d^esquisser dans ses traits fondamentaux une th^oric des courbes alg^briques, c'est done d'abord au minimum dans Tin-

Clebscd. — G^mHric, II. 1

TOMB II. — CHAPITUB I.

tention d'acqu^rir des points de vue nouveaux suivant lesquels la th^oric des courbes sp^ciales doit 6tre abord^e; pour pr6ciser, c'est surtout la determination de certains nombres caract^ristiques d^une courbe qui doit nous occuper. U va de soi que nous nous bornons aux propri^tes projectives des courbes, c'est-i-dire aux propri^t^s qui ne sont pas alt^rees par une transformation lin^aire (dontle determinant n'estpas nul). Plus tard cependant, viendront s^ajouter a cette etude des recherches correspondant en un sens a des notions plus g^n^rales que celles don#i$es par la th^orie des invariants des transformations lineaires. Ces recherches sont relatives a la question de savoir quelles sont les propri^t^s d*une courbe qui restent invariables dans une transformation quelconque rationnelle (non lin^aire), et ouvrent ainsi k notre exploration un champ notablement plus vaste.-

Une courbe du /!**"• ordre est donn6e par une Equation homog^ne dans laquelle les variables x^ , x^, Xa entrent a la /!**"• dimension. Si nous ordonnons cette Equation suivant les puissances de Xzy nous rcconnaissons qu'elle renferme en g^n^ral

coefficients. L'un de ces derniers pent toujours 6tre pris egal a

1 unite ; la courbe depend done de ' — i =

constantcs. Comme main tenant la condition que la courbe passe

par — i — '■ — - points donnas fournit autant d'dquations lineaires

pour la determination des coefficients (*), nous pouvons ^noncer ce theor^me :

Vne courbe est en general determinee par — de ses points.

Nous mentionnons ici ce r^sultat en passant, devant plus tard approfondir les questions qui s y rattachent. Nous allons, en premier lieu, aborder F^tude du systeme des points d'intersection d'une droite avec une courbe. Soit

(') Voir Ic ri'Bttltat correspondant pour lei coniques, t. I, p. 6a.

niORiE c£!i£aALB DW cocABCS algAbbiqubs. 3

r^quation de cette demi^re. On obtient ses points de rencontre avec la ligne qui joint deux points j* et z en posant (t. I, p. 93)

(l) { X, = Xj ^, -+- X, 2„

Si nous d^velopponsysuivantles puissances de — » il vienl {voir

t. \y p. a52, le r^sultat correspondant en ce qui concerne les formes binaires)

I o = x^rtj* H- /iXj~* xjfl"~* a.

La lol de formation des coefficients de ce d^veloppement sous forme non symbolique est imm^diatement donn^e par le th^or^mp de Taylor. Si nous posons

nous avons la formule r^currente

/ ^D*/" dD*/ dDV

(3) j ^ *" dx^ dxt dy^

Nous pouvons aussi inversement trouver d'une mani^re tout k fait analogue chaque coefiicient de Tequation (a) au moyen du suivant ; car on a

La signification g6om£trique des Equations

D/=ro, D»/=o, ..., DV=o, ..., DV=o

est connue d*apr^s ce qui a ^te dit sur les formes binaires (t. I, p. 253) . Par la substitution ( i ) nous avons introduit sur la ligne qui joint j^ et z une determination binaire de coordonn^es (xf, Xs). Les points d'intersection de la droite jz avee la courbe qui correspondent aux n racines de (2) donnent les n points d'une forme binaire. Les Equations Dy= o repr^sentent par suite surlaligne j^z les differents syst^mes polaires du point z relativement aux points fondamentaux. Ainsi, par exemple, Df=o est la condition pour que y appartienne au premier groupe polaire de z, ou z au (/I — ly*"** groupe polaire dey relativement au syst^rae de points consider^. Si done nous faisons dans {^)j' constant et z variable, I'ei/uation

donne une courbe d'ordre k dont les k points d' intersection auec une droite passant par yforment le [n — J^y^me sjsteme polaire du point y relativement aux n points d' intersection de la droite avec la courbe originairef=> o. La courbe elle-m^me est appel6e la {/I — /r)'*"* courbe polaire ou [n — ^J**"* polaire de j- par rapport k la courbe primitive (^). Les intersections de chaque polaire D*y = o avec celles d'ordre imm^diatement superieur D*^*y*= o ont d'ailleurs une importance particuli^re : c'est ce que Ton reconnait en consid^rant avec attention T^quation de la tangente en un point d'une courbe.

Le pointy pent ^tre en effet situ^ sur la courbey= o, ce qui

donne

Do/= «; = o.

Alors dans T^quation (2) le premier terme disparait, et un fac-

teur — se trouve s^par^ : T^quation a une racine — = o, comme

cela doit £tre. Si nous imposons maintenant la condition qu'un nouveau point d'intersection de la droite j^z se confonde avec j^,

c'est-i-dire qu'un nouveau facteur — se separe dans (2), Df doit

n^cessairement s'annuler en m^me temps que D®y, ce qui donne une Equation lin^aire par rapport a z. Or nous avons d^sign^ sous

(*) Sur Torigine et le developpement de cette theorie, voir la note de la page a53 du tome I.

THtOBIE G£.^£aALB DE8 C0UBBE8 ALG£BBIQCC8.

le nom de tangente une ligne droite qui coupe la courbe en deux points coincidents (t. I, p. 35). Done V equation de la tangente defz=, o au pointy est (dans le cas de z variable)

et les coordonn^es de la tangente sont

df

Ici se pr6sente le probl^me qui consiste k effectuer au moyen de ces equations le passage de T^quation de la courbe en coordonn^es points k son Equation en coordonn^es lignes. Cette derniere s^obtient en ^liminant p, j'l, j^,, j^ entre les trois Equations (5) et entre

et c'est ainsi que nous sommes arrives au but lorsqu'il s*est agi des coniques (t. I, p. lOo). Ce probl^me d'elimination est n^anmoins, en g^n^ral, un probUme d'ordre ElevE, et sa solution directe offre de s^rieuses diflicult^s. U est d'autant plus important pour nous de nous trouver en mesure, par les m^thodes symboliques de la theorie des invariants et, au moyen du principe de translation, de ramener toute la question sur le terrain binaire, en sorte qu'il suffise d'efTectuer la formation du discriminant d'uhe forme binaire (t. I, p. 34/); et I'on a pour cela des m^thodesg^n^rales plus abrEgees. Ce procEde a donnE pour la classe de la courbe du /i**"" ordre le nombre n[n — i), tandis que le degre de T^quation par rapport aux coefiicients a 616 trouvE Egal a a{/i — i). On arrive aussi au premier r^sultat par la reflexion suivante qui nous ram^ne aux polaires.

Si dans T^quation de la tangente

rt»->a- = o

TOVB II. — CBAPITRB I.

nous prenons le point z constant et le point y variable, cette Equation, jointe k

determine sur la courbe primitive les points j^ dont les tangentes passent par z, e'est-a-dire les points de contact de ces tangentes. Ces deux courbes d'ordre ne\,n — i se coupent enn(n — i ) points ; on peut done mener de z ^ la courbe un nombre 6gal de tangentes, et par consequent la classe d'une courbe d' or dre n est en general egale an{n — i)(*)- D'une maniere analogue et en vertu du principe de dualite, Pordre d^une courbe de classe k doit aussi ^tre egal kh[k — i). En appliquant la nouvelle r^gle k la courbe donn^e de classe n [n — i), on arriverait a cette proposition contradictoire que la courbe donnee du tz**"® ordre serai t de Tordre

Cette contradiction se r^sout n^anmoins par un examen plus exact; car une courbe qui, comme figure engendr^e par un point, est de Tespece la plus g^n^rale, possede toujours, si on la consid^re comme engendr^e par une Hgne, des propri^t^s tres-particuli^res. Dans les coniques qui sont du deuxieme ordre et de la deuxi^me classe, cette particularity n'apparait pas encore sous le m^me aspect. Cependant une courbe du deuxieme ordre qui deg^n^re en un couple de lignes peut d^j^ nous servir comme cxemple de r^sultats semblables : il ne nous a pas ^t^ possible de representer la courbe enti^re en coordonn^es lignes (t. I, p. 129); Tequation nous donnait au contraire uniquement le sommet du couple compt^ deux fois; le retour de cette Equation en coordonn^es lignes k T^quation en coordonn^es points pcrdait d'ailleurs toute signification. Pr^cis^ment pour cette raison, Texemple dont il s'agit ne peut donner aucune id^e applicable aux cas g^neraux. Un couple de lignes est, en effet, comme figure ponctuelle, du deuxieme ordre et de classe nulle. Ce n'est qu'a propos des courbes d'ordre plus ^lev^ que nous pouvons approfondir les fails de cette nature.

( * ) La determination de ce nombre a et& donnee par Poncelet {yfnnales de Ger-^ gonne, t, VIII, p. ai4).

m^OBIB G^EBALB DE8 COCBVES ALG^BRIQCES. 7

La vole suivie ici pour la determination des n{n — i) tangentes issues de z nous donne imm^diatement le theor^me suivant :

Les n[n — i) points de contact des tangentes menees d'un point a line courbe du n'^"^^ ordre forment le systeme complet des intersections de la courbe ai^ec une courbe d' ordre n — ^9 gui est la premiere polaire du point z.

Pour /I = 2 ce th^or^me n'exprime rien de special, car deux points sont toujours en ligne droite ; il en est autremcnt pour les courbes d'ordre plus eleve. Ainsi nous avons pour les courbes du troisi^me ordre six points de contact situ^s sur une conique, tandis que celte derni^re courbe est d^termin^e par cinq points. En general, une courbe d'ordre n — i est d^termin^e, d'apr^s ce qui

precede, par — points, et notre theoreme expnme que

les autres

nin — 1 ) — • ■ ■=. ^^

points, qui comply ten t le nombre des points de contact, sontsitues sur la m^me courbe d'ordre n — i .

D'une mani^re semblable, D-y=:o, D'/'=o, ... sont des courbes des ordres /i — 2, n — 3 qui appartiennent a z suivant une regie completement d^termin^e. D'apr^s la loi de formation indiqu^e a leur 6gard, on pent ^noncer leur d^pendance geometrique en disant que, de ni^me que Dy*=o est la premiere polaire de z relativement dif= o, de m^me D-^est la premiere polaire de z par rapport a T>fz= o, D'^ la premiere polaire par rapport a D-/ = o, et ainsi de suite. On pent, d'apres cela, ^noncer en g^n^ralle theoreme suivant :

La k'^'^'' polaire de z, relativement a la i'<^"*<? polaire de 2, prise par rapport it f^=. o, est la[i-^ j^yeme polaire de z relativement a/=o.

Si Ton consid^re simultan^ment plusieurs points et qu'on forme toujours la A'*"" polaire de I'un relativement a la i'*"* polaire de Tautre, on pent ^noncer une s^rie de th^or^mes semblables, les m^mes que nous avons obtenus k regard des points situ^s sur une droite (t. I, p. 254)* U n'estpar consequent pas ndcessaire de s'ar-

8 TOVE II. — CHAPITBC I.

r^ter de nouveau sur ces propositions; on pent, en eflet, les conclure immediatement de celles qui ont d^j^ et^ d^montr^es. Nous mentionnerons seulement, a litre d^exemple, un th^or^me qui apparait comme une generalisation de la relation polaire rencontree dans les coniques. De T^quation

il r^sulte ce qui suit : Si j" est sitae suf' la A'^'"* polaire de z, z est sitae sar la [n — J^y^me polaire de y.

Enfin la (/i — iy*«»« polaire d'un point j^ est toujours une ligne droite. Si en particulier le point est situ^ sur la courbe primitive, cette droite, d'apr^s (5), deviendra une tangente. Mais la droite dont il s'agit est en m^me temps la polaire lin^aire de y par rapport a toutes les polaires d'ordre plus elev^, et par consequent la (n — I — ly*™* polaire de la i**"* polaire de j.

Si done le pdle est sitae sur la courbe primitive, toutes ses proprcs polaires J passent et y touchent la courbe primitive.

Comme, d'aprfes ce qui precede, la premiere polaire d'un pointy touche la courbe, deux des n(n — i ) tangentes que Ton pent mener en ce point k la courbe se confondcnt avec sa propre tangente. Donc.d\in point de la courbe on nepeut plus mener a celle-^i que n[n — i) — a tangentes.

Nous avons determine les tangentes en faisant couper la courbe par une droite en deux points coincidents. Nous pouvons main tenant rechercher quelles sont les droites qui rcncontrent la courbe en trois points consecutifs. Ces tangentes sont appeiees tangentes dHnJlexion; leurs points de contact, points d' inflexion, Leur designation vient de ce que dans un point de cette espece la courbe change le sens de sa courbure, ainsi qu'on le demontre regulierement dans les applications du Calcul diflferentiel k la Geometric [Jig' i)* Nous pouvons aussi nous faire une image de la forme de la courbe dans le voisinage d'un point d'inflexion par la reflexion suivante (*). En general, la tangente tourne d'une maniere continue autour de la courbe, tandis que son point de

(') Voir Pluckkr, Theorie der algebrahchen Curven, Bonn, 1889. a* Section, §3.

TBtOBIB cAlVltlALB BBS COCBBU ALG^BaiQEBS.

contact marche dans le m£me sens. Maintenant^ dans un point d^inflexion, deux tangentes successives coincident; donc^ tandis que le point continue a avancer r^guli^rement^ la rotation de sa

£:ff

tangente au point d'inflexion est nulie ; cette tangente s'arii^te un instant pour poursuivre aussitot 'sa rotation dans le sens oppos^, conformement aux iois de la continuity. C'est ce qui apparaitra avec Evidence si nous imaginons pour un instant {fig' 2) la

Up. 2.

courbe remplac^e par un polygone. Le point d^crivant (x) s'avance sur la droite enveloppante (u) toujours dans la m^me direction; mais cetle ligne, apr^s avoir el^ dans lem^me sens de la position u a la position a', passe de 1/ a u" en tournant dans le sens oppos^. Si maintenant le mouvement devient continu et que le polygone devienne une courbe, la grandeur de la rotation de la tangente dans la position u' est nuUe. Done, tandis que les cot^s ^l^mentaires de la courbe restent comparables avec les precedents et avec les suivants, les angles de contingence a deviennent en u' infiniment

10 TOMB II. — CDAPITRB I.

petits par rapport aux pr^c^dents el aux suivants, et cest ainsi que la jig. 2 se transforme en la Jig. i .

Nous obtenons la condition analytique d^un point d'inflexion en imposant que parmi les trois points d*intersection de la droite j'2 avec la courbe trois se confondent en j^. Dans I'equation (2) un

facteur ( ~ ) doit se trouver separ6^ c'est-^-dire que les conditions

DV=^J-2«| = o,

doivent ^tre satisfaites simultanement. Sij^ est un point d'lnflexion, les deux dernieres Equations coexisteront conform^ment au raisonnement employ^, lorsque z sera sur la tangente de y. Mais T^quation D^f= o ne pent ^Ire satisfaite pour chaque point de cette tangente qu'autant que D^frenterme Texpression Dycomme facteur. La conique

B^/= llfik 2/ H- — o>

dans Texpression de laquelle on a pos6/ik au lieu de

doit par suite se decomposer en un couple de droites. La condition pour qu'il en soit ainsi est donnee par Tevanouissement du determinant de la conique, c*est-a-dire de celui qui est form^ avec les secondes d^riv^es partielles de/*, a savoir :

fw yi9 fn ft\ Jit /ia

En vertu des relations ce determinant sera donn^ sous forme symbolique, d'une manidre

(' ) On a ajoute le facteur - 9 parce que A a ^t^ definl sous la forme symbolique sans I'indication de ce facteur.

td£obib c£2(£rale deb COCBBES ALC£BR1QCE9.

analogue a celui que nous avons appel^ determinant hessien dans la ih^orie des formes binaires, par

C3 Cj

= «,6,c3(«^c)fl;'.-^z,;-2c;-S

ou, SI nous permutons a, b, c de toutes les mani^res possibles, et que nous prenions la somme des expressions ainsi obtenues(t. I, p. 334)*

A=:(rt3c)««;.-*/;;-2c«-*.

Les points d'inflexion sont done d^termin<^s sur la courbe originaire par ses intersections avec une courbe d'ordre 3(7i — a), d = o. II est ^galement facile de montrer que chacune de ces intersections fournit un point d'inflexion de f= o. Si Ton pose en effet, conform^ment a la condition A = 0,

il vient

//A- = W, V^. -t- Vi Uk,

1>'/=Z 2tt. f'-, D/==: Uy !•- -h Vy «-, Dy = 2 Uy Vy.

Si maintenant D^f= o, Tune des deux quantites u^ ou Vy doit s'annuler. Si u^ = o, D/* sera 6gal a Uz i^yy c'est-a-dire ne differera de Uz que par une constante et par cons<5quent sera facteur deD-y, ce qui etait a demontrer. Nous avons par suite ce iheorfeme :

Les points d' inflexion sont les points d' intersection de la courbe originaire /=- o avec la liessienne A = o j lear nombre est en consequence egal a Zn[n — 2)(').

Toutefois la courbe A = on'est pas, a Tinverse, completement delermin^e par les seuls points d'inflexion, car, en tant qu'il s'agit uniquement de ses intersections SL\ecf= o, on peut la remplacer par une courbe quelconque du systeme

(•) Foir HcssE, Ueber die Wendepunhte der Curven dritter Ordnung {Journal de CreUe,X, 28). Le nombre des points d'infleEion a ete donne par Plucesk {ibid,^ 1. 12).

13 TOME II. — CnAPlTRE I.

M ^tant une expression quelconque de I'ordre

Cette observation est specialement importante a regard des courbes du troisi^me ordre ; car, par une determination convenkble du facteur M, on arrive pour ces dernieres k obtenir d'une mani^re effective les coordonn^es des points d4n(lexion par simple extraction de racines.

Les points d'intersection de la tangente avec la courbe ne peuvent ^tre r^unis au point de contact en norabre sup^rieur a trois, sans que les coefficients de /"satisfassent a des conditions particiilitres (*). En effet, le nombre des tangentes que Ton peut mener ay= o est simplement inflni, ct pour cette raison, d6s qu'on leur impose une condition, on n'en obtient d^ja plus qu'un nombre limite.

La mani^re pr^cedente de determiner les points d'inllexion devient n^anmoins illusoire s'il existe sur la courbe des points dont la tangente est ind^termin^e, ce qui entraine cette consequence que la (n — 2)*®"" polaire se decompose en un couple de droites. Cela se pr^sentera toujours lorsque la courbe se traverse elle-m^me en un point {/ig- 3), auquel cas deux tangentes differentes sont en r^alite possibles.

Fig. 3.

Dans un semblable point double de la courbe, T^quation de la tangente ne peut exprimer autre chose quel'annuiation simultanee de ses coordonn^es (5). Nous av^oju par consequent, pour un point

double y ( en posanty} = - -r— | » les equations

(7) /i = «r*«i = o» /« = < *«j = o, /, = a;'-» rta = o.

(*) Voir, sur ces points elcv^s exceptionnels, Cbameu, Introduction h I'analfse des lignes courbes ; Gendve, 1750, p. 4^3, «t Caylet, Journal de Creile, t. 34.

TBiOBIB Gt:i£aALB DBS COOUBS ALGte&IOCES. 1 3

Pour que ces relations soient satisfaites^ il est n^cessaire nonseulement que y ait une situation particuli^re, mais encore qu'il eiciste une relation entre les coefficients de la courbe, car nous pouvons eliminer les y entre les trois Equations (7). On n'a pas besoin d'avoir 6gard ^ T^quation de la courbe, parce qu'elle est satisfaite d^elle-m^me en vertu de

La realisation de cette elimination conduira a une Equation

dont il n'a pas ^X.€ possible jusqu'ici de determiner d'une mani^re abreg^e la loi de formation ( * ). On appelle Texpression R le discriminant de la courbe; c'est naturellement un invariant de la formey"; pour une conique, par exemple, elle se confond avec le determinant A=(a&c)^. En general, on a le th^oreme suivant:

Le resultant de trois equations respectiifenient des ordres m, /i, etppar rapport a trois variables homogenes est du degre np relativement aux coejficients de la premiere, du degre mp relatiuement a ceux de la seconde, et du degre mn relatiifement a ceux de la troisieme. Pour la demonstration de ce theoreme, imaginons que les coordonnees des np points communs aux deux dernieres courbes aient ete calculees. Si main tenant les trois courbes doivent avoir un point commun, les coordonnees des np points dont il vient d^etre parie devront satisfaire identiquement k la premiere equation. On obtiendra done le resultant en formant le produit des np expressions deHvees de la premiere equation par la substitution des coordonnees des np points precites. Or ces derniers ne dependent que des coefficients de la seconde et de la troisieme equation ; le produit est done du degre np par rapport aux coefficients de la premiere equation, et, par consequent, puisque les trois equations dolvent etre employees symetriquement a la formation du resultant, du degre mp par rapport aux coefficients de

(') Sylvester a fait, il est vrai, connaltre un procede qui donne, sous la forme d'un determinant, le resultat de trois equations du m^me ordre; mais le caract^re invariant du resultant n*en ressort pas clairement. Voir Salmo:!, Introductory lessons; etc. (third edition, art. 91).

1 4 TOMB II. — CHAPITBE I.

la seconde Equation et du dcgr^ mn par rapport k ceux de la troi-

si^me.

L'application de ce th^or^me aux Equations (7) donne imm^dia-

tement la proposition qui suit :

Le discriminant d'une forme ternaire du /i'«^'»* ordre, cest-adire I' invariant dont I' cvanouissemcnt est la condition de ['existence d'un point double dans la courbe correspondante d' ordre n, est du degre Z{n — i )^.

Toule droite passant par un point double y a deux de ses intersections avec la courbe confondues en ce point; en effet, T^qua-

tion (a) donne toujours alors deux racines -^ =0. Nouspouvons

maintenanty de m^me que nous avons determine la tangente en un point quelconque, chercher quelles sont les droites qui cou" pent troisfois la courbe eny, Dans ce cas, z doit elre situ^ de telle sorte que Ton ait aussi

D«/=: a^-'^al = UfaZiZk ^ o.

Mais, comme j est un point double, nous avons, d'apr^s (7),

le determinant des fik est done nul. Par suite, la [n — a)«>'»^ ^o laire du point double

donne un couple de lignes, h savoir le produit des deux tangeiU.es au point double; la denomination de tangente est justifiee par cette circonstance que, parmi les trois points d'intersection de la droite en question qui sont confondus en y^ deux sont situes consecutivement sur Tune des branches de courbe passant par j^, tandis que le troisi^me doit 6tre envisage comme un simple point de rencontre aved'autrebranche [^fig* 3). L'evanouissement du determinant ^ montre en m^me temps que la presence de points doubles sur une courbe influe sur le nombre des points d'inflexion, car un certain nombre des points d'intersection des deux courbes est absorbe par le point double ; nous donnerons plus tard la determination exacte de cette influence.

Pour trouver les coordonnees z//, vi des tangentes au point

TB£0BIC c£m£BALE CES COOBBEft ALGfiBBIQCES. l5

double , nous devons, par cous^quent, poser

fix = «l«'n 35/lJ = ^X^'t -+- •'! «*^ /« = ttj •'Ji 2/« = ttj t'j -H ''l «3»

/33 = «a*'3. ^/si = «3»'l "+- «'3«Ii

et, pour la resolution do ces Equations , il a ^te donn^ dans la thdorie des coniques des m^thode g^n^rales (t. I, p. i3o). II pent arriver en particulier que les deux lignes se confondcnt en une seule (Jig* 4); il vient alors

/33 = «Ji /81 = «3«1-

Un tel point de la courbe est ddsign^ sous le nom de point de

Fig. 4.

rebroussement ; il est caract^ris^ par le fait que les secondes d^riv^es defy sont ^gales aux carr^s et aux produits de trois grandeurs.

Nous avons reconnu I'^vanouissement identique de D/* comme la marque distinctive d'un point double. On pent aller plus loin dans la m^me voie. Si Ton a en premier lieu D^y^o, on obtient un point triple et ainsi de suite : si pour un point quelconque D*~*y est identiquement mil, la courbe a en ce point un point multiple d'ordre k. Par point multiple d'ordre r, on entend un point par lequel passent r branches differentes de la courbe, c'esta-dire tel que toute droite qui passe par ce pointy ait en comnuin ai^ec la courbe r points reunis, D'aprds la loi de formation exprimee dans liquation (4)> toutes les autres polaires D*~*y*, D'^^fy ..., lys'^vanouissent identiquement; et I' equation

I 6 TOME II. — CHAPITHB I.

donne alors le produit des k differentcs tangentes du point en question. Car, en premier lieu, la courbe representee par cette equation a aussi en y un point d^ordre de mulliplicite hy puisque sa (A — iy*"« polaire, y etant pris pour p6le, n'est autre que Yy^^\fy et, par suite, s'annule de m^me independamment do z, Mais une courbe d'ordre h ayant un point multiple de k branches se decompose necessairement en k lignes droites, car autrement une droite men^e par le point multiple pourrait encore couper la courbe en un ou plusieurs points, et, par consequent, avoir avec elle plus de A* points communs, ce qui n'est pas possible. Ces lignes doivent toucher en j les differentes branches de la courbe originaire; car, si nous considerons un point voisin dcj^ sur D^ et que nous posions par suite Z|==j^/-h4?^n nous avons pour la determination des k directions d'avancement sur la courbe D^/'= o la mdme equation,

^y ^dy — *^»

que pour la determination des k directions d'avancement sur la courbe originaire, ce qui demontre la proposition precedente. Nous approfondirons plus tard la nature des points multiples et nous reconnaitrons alors dans une forte mesure Timportance de la theorie des polaires pour Tetude de ces points et pour la determination de leur influence sur le nombre des points d'inflexion, sur la classe de la courbe, etc.

La theorie des polaires n'a toutefois pas moins d'importance si Ton se propose le probieme de Tinterpretation geometrique des formes symboliques. Le principe de translation nous a donne un moyen de resoudre cette question pour les formes adjointes en supposant que celles-ci ne renferment pas de facteurs du type [abc) ( ' ) ; la notion de la formation polaire permet mainlenant d'arriver au m^me but pour toutes les formes mixtes qui sont uniquement composees de facteurs du type (abu) et a^. Negligeant, en eflel, d'abord tons les facteurs a", b^. qui se rencontrent dans une forme semblable, nous pouvons considerer les symboles a, 6, . . . dans Texpression restante comme des symboles designant

(*) Voir d'ailleiirs une Note sur co sujet dans le dernier Chapitre du tome III, k Toccasion de la theorie des formes mixtes lin^o-lineaires(connezcs).

Tll£OBlB GfXteALC DBS COQBBBS ALC£bBIQCE8. 1 7

la «•*"• la l?***"* polaire du point x, ainsi qu'il sera montr6 bientdt en detail par un exemple. La proposition g^om^trique representee par revanouissement de I'expression ainsi transform^e s'obtient alors conformement au principe de translation. On arrive, par exemple, aux formes mixtes de Tespece suppos^e ici , si Ton elablit non pas le produit des n[n — i) tangentes menses d^un point X a une courbe, roais le produit des Equations de leurs points de contact en coordonnees lignes. Ces points s^obtiennent comme ^tant des points d'intersection de la courbe originaire a" = o et de la premiere polaire de x, a"~*aa: = o. On a done seulement a former le resultant de deux formes binaires a"y a"~* du w'*"* et du (/I — iy*«« ordre, a appliquer k ce resultant le principe de translation, a remplacer tous les n symboles de a^ ' V^^ entrent dans le resultant par des symboles de a^ et k ajouter n facteurs &xy ^x* 6tc. Ainsi, par exemple, le produit des points de contact des tangentes menees d'un point x k une conique a: = o est donne (t. I, p. 355) par

[abu] [acu] ^^c^ = o.

Nous avons ici une forme quadratique a: et une forme lin^aire as= f^z = ^x^zf dont le resultant est ^gal a (aa) (a{3). Si Ton complete les determinants de ce resultant par Taddition de u, de ' maniere a en faire des determinants tcrnaires, qu'on remplace a, (3 respectivement par i, c et qu'on ajoute les facteurs b^f Cjc, on obtient la formation annoncee. Un autre exemple est donne par Tequad on

(8) {abiiYa'i-*b'i-'=o.

Si nous prenons x constant, cette Equation repr^sente la (/I — a)**"^ polaire de x en coordonnees lignes : si nous posons u constant, elle donne |Une courbe de I'ordre 2(/i — a) comme lieu des points dont les {n — a)**"** polaires touchenl la droite donnee u. Sur toute droite ilexiste done 2 (/i — a) points dont les [n — ^Y'""" polaires sont touchees par cette mcme droite.

Nous serons encore conduits a la m^me Equation (8) par les considerations suivantes. Nous chercherons sur une droite u quels sonls les points y dont les premieres polaires sont precisement

CLEBScn. — Geomitrie, II. 2

1 8 TOVB II. — CHAPITRB I.

touch^es par cette droite en un point x. Or les coordonn^es de la tangente de cette polaire au point x sont ^gales k

EUes doivent 6tre proportionnelles aux coordonn^es de la droite donn^e : nous avons done les Equations

/jiJi -^fitXt -t-Zisra =P«ii /siri -^fiiXi -+-/33J3 = p«3i

L'elimination de p et de^i,j'o,j^3 donne alors de nouveau, conjointement avec Ux = o, la condition

/il fit fii '^i

/is

fzi

/aa

De ces relations, nous conclurons les th^or^mes suivants :

Sur toute droite il existe q(/z — 2) points dont la premiere polaire est touchee precisement par cette droite, Les {n — ^y^mes polaires des 2 (/i — 2) points de contact sont tangentes a cette meme droite.

Par tout point on peut mener deux droites telles que sur chacune d'elles un point ait cette droite elle-meme pour tangente de sa premiere polaire, et cela de telle sorte que le point de contact soit situe au point donne, Ce sont les deux tangentes qui peuvent etre menees de ce dernier point a sa [n — 2)^^"^*^ polaire.

La hessienne est le lieu des points pour lesquels ces deux lignes coincident (*). Car, lorsque ce dernier cas se pr6sente, il faul

(') Voir Cledsch, Veber cine Klasse von Eliminationsproblenien und iiber cinige Sdtze atis der Theorie der Polaren {^Journal de Borchardt, t. 58). Les nombreiix theordmes sur les polaires ctablis dans cet article se fondcnt sur iinc methodc (jenerale d'elimination de m Tariables entrc m equations homog^nes, equations parnii lesquelles une est d'ordre quelconque, une est du second de(;re et m — a sont Uneaires. Aa moyen de cette melhode, on rcchcrchera, par excmple, la courbc que parcourent Ics points do contact x si la ligne u enveloppe une courbe donnec.

THtOBIB CfiN^lALB DBS C0CRBE8 ALGBBBIQUES. 1 9

n^cessairement ou bien que le p6le soil situ6 sur sa conique polaire, c'est-a-dire sur sa (/i — a)'*"' polaire, ce qui n'arrive que pour les points de la courbe originaire, ou bien que la conique polaire sc decompose, auquel cas les deux tangentes se confondent avcc la ligne qui joint le p6le au sommet du couple.

II existe entre la (/i — a)'*"* et la premiere polaire d'un point une reciprocity semblable a celle qui s'est pr6sentee dans les derniers tbeor^mes, et au moven de laquelle nous pouvons ^noncer une nouvelle interpretation de la hessienne. Si, en eflet, nous nous imposons la condition que la premiere polaire ait un point double X, il faut qu'en ce point soient satisfaites les trois Equations

-T— =: a"^ ^ayOi = o.

n — 1 OJCi -^

En en 6liminant les yi^ nous arrivons de nouveau k la condition

et, a cause de la permutabilitE de a, by c, le premier membre de cette relation ne difiere de A que par un facteur num^rique.

La hessienne est done en meme temps le lieu des points dont la [n — Q.y^"*^ polaire a un point double, et le lieu des points doubles des premieres polaires,

Comme exemple dc theor^mes geometriques decoulant de la ih^orie des polaires, mentionnons encore le suivant pour finir. L^equation de la hessienne de la premiere polaire de j :

considErEe comme courbe primitive, hessienne qui coupe cetlo courbe aux points d'inflexion, est donnee par

Si nous supposons que les x soient donnes, nous aurons, en tenant compte de Dy= o, le th^oreme suivant:

// existe toujours sur la [n — lyeme polaire d'un point x trois poles differents dont les premieres polaires ont en x un point d' inflexion.

90 TOME II. — CHAPITRB I.

Lorsque le pdle y se meiil sur une courbe 9 (j^) = o, les points ({'inflexion de sa premiere polaire decrivent une courbe dont T^quation s'obtient par elimination des y entre les equations 0/*= o, Ad/ = o, y = o. Si, en particulier, la courbe 9 est une droite

ttj.= 0,

on pent, en vertu de Dy= a""' fly = o, poser dans ^i©/

Siy dans ces trois Equations, on suppose les symboles a remplaces respectivement par d, e^f^ on obtient comme Equation de la courbe cherch^e

(10) [ahc]^ [adu] [heu] [cfu) a^'^ ^;-»r«~V«-» e^^^f^^ = o.

Si done le pole deer it une droite, les points d' inflexion des premieres polaires parcourent une courbe de I'ordre 6{n — 2). Toutes les polaires dont les pdles sont situes sur la droite se coupent en {/i — i)* points, qui sont les solutions des equations

Ces (/2 — i)^ points sont des points triples de la courbe (10). Cette derni^re partie de la proposition r^sulte de ce que, pour pui=fi = d"~*di= ..., chacun des trois facteurs {adu)d^r\ [beu)e"*y {^J^)fx^ s'evanouit identiquement et qu'il en est par suite aussi de m^me de toutes les secondes d6riv6es partielles de Texpression (10) par rapport a la leltre x.

Si I' on considere, au contraire, dans V equation (10) les qiiantites X comme constantes, et les quantitcs u comme variables, cette equation donne le produit de trois facteurs lineaires; ce sont les equations des trois poles precites, dont les premieres polaires ont en x un point d 'inflexion ( * ) .

II resulte encore de (i i) que :

Si la droite u enveloppe une courbe 9(111, 112, 1/3) = o de la

^*) ^oi> Cledscd, Ueber Curven vierter Ordiiung {Journal de Borchardt, t. 59).

THtOUB C£!I£BALB DBS COVEBES ALCtoBIQUES. 31

classe m, les {n — lY points d' intersection des premieres poUuves decri^ent la courbe du m{n — ly^"^' ordre <?{Jiy/^2yfz)=o. Si, en particulier, la droite tourne autour d'un point i^, la courbe decrite est la premiere polaire de \.

n. — Les points singnliers.

Nous revenons a T^tude des points multiples ; nous commencerons par le point double. La nature d'un point de cette espece depend de la question de savoir si les facteurs lin^aires de D^/ sont r^els {point double proprcment dit), ou imaginaires {point isole), ou egaux {point de rebroussement). Nous allons d'abord ^tudier la mani^re d'etre de la courbe dans le voisinage de la rencontre des branches. Dans ce but, nous transportons Torigine des coordonn^es au point double , de telle maniere que les coordonnees de ce dernier point deviennent

Tragant maintenant par le point double une droite quelconque, nous pouvons consid^rer les coordonnees Xt, X2 d'un point de cette droite comme les coordonnees de son point d'intersection avec le troisi^me c6te Xz = o et, d'autre part, la troisi^me coordonn^e d*un tel point comme un param^tre variant pour les points particuliers de la droite trac^e. Nous nous demanderons quelles sont les intersections de cette droite avec la courbe, et dans ce but nous d^velopperons T^quation de cette derniere suivant les puissances du paramitre X3. Si nous posons

il vient

les fonctions y ^'^ etant homogenes en Xyy et d'un ordre egal a leur indice sup^rieur. Si le point j: = o,j' = o doit ^tre situ^ sur la courbe, comme nous le supposons, le facteury*^®^ ind^pendant de X, jr doit necessairement s'annuler. Mais, dans le cas d'un point double, pour que I'^quation enti^re renferme le facteur z^, c'esta-dire pour que deux points d'intersection de la ligne consid^r^e coincident a I'origine, il faut que le second terrae soit identique-

ment nul. D'autre part, r^quation

(lonne en g^n^ral la tangente a I'originei car, pour un point situ^ dans le voisinage imm^diat de rorigine, x,y deviennent inflniment petits, et les coefficients des puissances les moins ^lev^s de z disparaissent en comparaison du coeflGcienty^*Me xf"""* . L'^qualion (i ) se r^duit done k son premier terme, c'est-a-dire que la courbc y= o peut, dans le voisinage de I'origine, 6tre remplac^e par la ligne droitey^*^ = o, ou, en d'autres termes, cette droite est tangente a la courbe au point x = o, j^ = o, ce qu'il fallait d^montrer. Lorsqu'il y a un point double, y^*^ s'annule identiquement, Le cours de la courbe dans le voisinage du point double est, en n^gligeant les puissances plus ^lev^es de a:, y, repr6sent6 par

(3) /(*)maa'*-4- l^xx-^ 7/' =0,

ou, en d'autres termes, c'est la l' equation du produit des deux tangentes au point double. Nous avons ici, les coefficients a, /3, y ^tant supposes r^els, a distinguer les cas suivants :

/3- ]> ay, point double proprement dit, deux tangentes rdelles

{fig- 3).

(S^ = ay, point de rebroussement, une seule tangente comptee

deux fois (^g^. 4) (*)• {j^ <C ^7» point double isole, deux tangentes imaginaires

Dans ce dernier cas, le point d'intersection des deux tangentes

Fig. 5.

est r^el ; la courbe a un point r6el par lequel ne passe aucunc bran c he r^elle.

( * ) Le point de rcbroussement est quclquefois appel^ point cuspidal.

TBiOUB GfeliHALK DKS COCBBES Ali:£UIIQCE8. 93

En prenant les deux tangentes du point double pour axes de coordonn6esx = o, j^ = o, nous pouvoils done mettre T^quation de la courbe sous la forme

(4) /(xj, x„ X,) =a:r.3'*-'-+-/('J5'»-'-f- . . . =r o.

Pour un point de rebroussement, les deux tangentes ^tant confpndues ( par exemple avee I'axe x = o) , T^quation de la courbe deviant

Nous pouvons encore simpliiier la forme de cette demiire Equation. Supposons la fonctiony^'^ donn^e par

La ligne j^ = o n'est d^finie qu'en tant qu'assujettie a passer par le point de rebroussement; nous pouvons done, en laissant x fixe, disposer encore de j^ et de z de maniire que les termes de la troisieme dimension deviennent un cube parfait. Si nous posons en effet

Z:= zf -h Ity -+- VX,

y se transformera en

les fonctions f 6tant, par rapport k x, j^, de Tordre de leurs indices sup^rieurs. Nous pouvons maintenant choisir X, /a, v de maniire que le coefHcient

y(») =: (n — a)x« { ti/ -4- v.r) + rtx» -f- 3 bx*[x' -h Ix)

-f- 3cx(y 4- )ix)* -+- d{/ 4- >.r)»

se r^duise k un terme renfermant uniquement j^' ; on suppose naturellement que d n'estpas nul, auquel cas il y aurait singularite 6levee. Nous avons alors pour la determination de /, ft, v les Equations suivantes :

(« — ^) V -h a -I- 3^)i -h 3c).* -h dy} =z o,

(/I — 2)fA-+- 3^-1- 6cl-^ 3</>' =0,

c -\-dy. = o.

a4 TOMB II. — CHAPITBE I.

Si done on icrit de nouveau j^, z au lieu dej^',^' cty^'^ au lieu de f ('>, on pouiTa toujours, au cas de point de rebroussement, mettre r^quation de la courbe sous la forme

Nous rattacherons imm^diatement auK Equations (4) et (5) quelques observations sur la mani^re dont se comportent la polaire et la hessienne au cas de points doubles ou cuspidaux de la courbe originaire (*), observations qui, dans la suite, auront pour nous une grande importance. Nous savons deja (p. 12) que toutes les premieres polaires passent par le point double. Si nous formons maintenant T^quation de la polaire q = o du point ^,T,jX^en prenant pour base Tequation (4)} il vient

La tangente de cette courbe k Torigine est donn^e par le terme de I'ordre le moins ^lev^, c'est-i-dire par

Ir -h u .r = o.

D'un autre cdt6, F^quation de la ligne joignant le p6le ?, x, ^ a

I'origine est

De la forme de ces Equations r^sulte immediatement, puisque X = Oy j^= o sont les tangentes au point double, le th^or^me suivant :

La premiere polaire d'un point quelconque passe par le point double et sa tangente est harmonique aux tangentes de la courbe originaire au point double et a la ligne qui joint ce dernier au pole.

Si nous formons de mdme, en partant dePequation (5 ), la polaire du point J, >}, ^ pour une courbe a point de rebroussement, il vient, en ordonnant suivant les puissances de z,

(') Ces th^or^mes seront demontres dans la Section suWantc (consdcrcc aux for* mules de Plikcker) ea dehors do tout emploi d'un systime special de coordonnees.

TBtiOftlE GiMtoALB DBS COQUBS ALCtellQOES. aS

La ligne x = o est par consequent tangente aussi k toute premiere polaire. Done, dans un point de rebroussement, lapremiire polaire d 'un point quelconque touche la tangente de rebroussement, 11 est important de se fixer sur le nombre des intersections que Ton peut imaginer r^unies au point de rebroussement. On y parvient, tant qu'il s'agit de points r^els, par la consideration suivante. Un point double peut en particulier tirer son origine de la circonstance que la courbe poss^de une boucle, ainsi qu'on le voit dans \^fig* 6, et c'est d^un point double de cette nature que nous devons partir si nous voulons qu'un point de rebroussement prenne naissance par un passage a la limite. Alors, en efTet, en faisant tendre successivementles tangentes Tune vers Tautre, de mani^re a se confondre, la partie de la courbe comprise dans un de leurs espaces angulaires s^^vanouit compietement, car il n*y a plus au dela du point de rebroussement aucun point r^el de la courbe. De (5) r^sulte, en eflet, pour un point immediatement voisin [z= i),

expression imaginaire pourrf^o des que y devient ^o. Un semblable evanouissement d^une branche de courbe ne peut avoir

Fig. 6.

lieu que s'il y a presence d'une boucle et retrecissement successif de cette derniere ; car, autrement, la coincidence des deux tangentes donnerait ce qu'on appelle un point de contact de la courbe avec elle-m^me ( i;oir ci-dessusy?^. i4).

Une droite quelconque men^e par le point double, droite que nous pouvons imaginer remplac^e par une autre branche de courbe (9 dans la figure 6), rencontre encore la boucle dont il s'agit en un point z^ et la distance de ce dernier point au point double atteindra pour une certaine position un maximum dont nous pouvons supposer que depend Textension de la boucle. Faisons maintenant deg^n^rer le point double en un point de rebroussement, en res-

a6 TOME II. — CHAPITIB I.

serrant de plus en plus la boucle, et en diminuant de plus en plus son maximum jusqu'^ ce qu'elle se r^duise k un point unique [ce qui fait que dans T^quation (3) la quantity ay — 13^ se rapproche de plus en plus de z^ro]. A ce moment, les deux tangentes au point double coincident avec ladroite dont il a et^ parl^, et Tautre point z de la branche consid^r^e se confond avec le point de rcbroussement . qui a ainsi pris naissance. Par consequent, en consid^rant la premiere polaire, trois de ses points d'inlersection se trouvent r^unis au point de rcbroussement de la courbe^ originaire, car un point double donnerait ividemment deux points d'interseclion superposes. On arrive au meme r^sultat par voie analytique. Par les intersections deyet de 9 passe toute courbe ayant pour equation y.f-^ ).cp = o, et, par consequent, en particulier la courbe

Nous pouvons done, tant qu'il ne s^agit que des points d'intersection de^et de <p, remplacerypar cette courbe. Mais Fequation de cetle derni^re ne renferme aucun terme de la premiere ou de la seconde dimension en a:, j^, c'est-i-dire qu'elle a k I'origine un point triple (p. 1 5) dont les trois tangentes sont donn^es par

H'^dy^ — 3uf/.rj' — [n — 2) ^.r^ =: O.

Ces lignes sont toutes difr^rentes de la tangente a la courbe primitive, etnous avons par suite trois intersections de^et de

25/— xy = o.

Une courbe qui possede un point de rcbroussement y est rencontree par chacune de ses premieres polaires en trois points coincidents, cest-h-dire que I' equation dont dependent les intersections des deux courbes a trois racines egales qui correspondent au point de rebroussement.

On peut appliquer d'une maniere tout a fait semblable les methodes donnees ici a la caracterisation des intersections d6termin^es par la hessienne en un point double ou en un point de rebroussement. Nous avons d^ja vu plus haut (p. i4) que la hessienne passe par les points singuliers.

Nous commencerons par la consideration du point double, el

TBfOBIV CtHttLkUt DBS COVBBES AUS£UI<}«JBS. ^

noas prendrons la courbe origlnaire sous la forme (4)

/=xr.«'«-«-+-/(»)3'»-»4- . . . == o.

En posant maintenant

d*fi^) ()*/•(») d^/'o

on trouve le covariant A. -7 [/i(« — i)p^gal^un determinant don t

les deux premieres lignes verticales renferment les elements ciaprds :

y MS) „«-»! ^n—t 1 ^(8)^/1— a I

tandis que dans la troisiime ligne on doit placer les elements

(/I — 2).rs«-»4- ('» — 3)/j.'"s« ■♦-f-...,

(/, ^) [n — 3) xjs"--*+ (« — 3) [n — 4)/(»)z''-* -+-....

On voit facileraent que, dans le d^vcloppement de ce d^terminanty les termes de I'ordre le moins eiev6 en x,y sont

2 (/I — 2)*jrx*3"*-* — (/* — 2) (/I — 3) jr/s^"-' z=2 [n — i) [n — 2) xjrz^""^ ;

et de la r^sulte ce th^or^me :

En un point double de la courbe origlnaire, la hessienne a egalement un point double, et les tangentes des deux courbes au point double sont precisement les m^mes [a sa\foir ; or = o , j^ = o) .

Chaque branche de la courbe origlnaire est done, dans un point double, rencontr^e parune branche de la hessienne en deux points coincidents [c'est-a-dire touch^e par cette branche ( * )] et rencon-

(*) Aa moyen des methodes qui vont bient6t 6tre dereloppees dans le textc, on demontre que let deux branches tangentet Vune a I'autre de la hessienne et de la courbe originitire se prisentent respectivement leur c6ti convexe, comme le montre \9i Jig. 7. ConsideroDs, en effet, les branches qui touchent le c^te x = o; pour un point voisin.

tr^e par l^autre branche en un poiat unique, ce qui donne en tout trois intersections reunies des deux courbes {fig- 7). Le nombre des points d' intersection qui peuuent etre consideres en general

Fig. 7.

comme reunis en un point double est done egal a six. On reconnait aussi directement la m^me chose par les formules, car, dans la recherche des points d'intersection, nous pouvons remplacer la courbe A = o par une quelconque du systime

A-hM/=o, M itant unefonctlon de I'ordre a{/i — 3), et en particulier par

g [«(« — i)P A — [it — i) (/I — 2)/;>«-«= O.

Dans cette Equation, les termes du second ordre en Xj y ont completement disparu; elle represente done une courbe ajant a Torigine un point triple dont les trois tangentes n'ont aucunc relation particuli^re avec les deux tangentes du point double. Cha-

X sera d'un ordre d'inflniment petits plus ^Icve que y^ et par suite la branche en question de la courbe originaire sera approximativement repr^sent^ par la parabole

d etant le coefficient (reel) dc.r' dans/C). N^gligeant de mdme dans - /i'(a~i)' A les termes multiplies par x, nous trouvons, commc coefficient des 2'*'*, I'cxpression

Si Ton neglige encore une fois les termes multiplies par x, et qu'on cherche par suite le facteur de ^, on reconnait que la branche correspondante de la hessienne est representee par la parabole

(« — a)jr — n,d.jr*^ 0,

dontlaconveiite est de sens oppose k celle de la premiere parabole.

TBiOBIE G£2<illALB BBS COCBBBS ALCiBBIQCBS. 2g

cune des branches de cette courbe auxiliaire est couple par cbacune des branches de la courbe originaire en un point, ce qui donne encore six intersections.

Pour un point de rebroussement nous avons (la constante pr6c^dente d 6tant supposee ^gale k i )

et il vient par suite

^a"-* -+-... OH-... 2 (/I — 2) .re"-' o-f... 67*'— '+... 3(/i— 3)^*3"-* -+- 2(7? — 2)x2«-»4-... 3(/i-.3)j-«:;"-*4-... (//--2)(« — 3)x«^«~*-+- = — 12 {/i — 1) (/i — 2 ) jx*^"*-' -4- A(*) s^"-*^ 4-

On trouve, par consequent, que dans ^ les termes les moins Aleves en Xj y sont de la troisi^me dimension, et la presence du facteur x^ donne ce th^orime :

Dans un point de rebroussement de la courbe originaire, la hessienne a un point triple, et deux de ses branches y touchent la tangente de rebroussement ( * ), tandis que la troisieme a une tangente separee {fig* 8).

On reconnait le nombre des points d'intersection r^unis ici en consid^rant (2/1 etant ^ 7) la courbe

(*) Le fait que deux branches de A forment, comme dons la Jtsf, 8, un rebroussement resolte de la regie de Newton et Cramer, qui sera bient6t expliquee. On s'assure en effet facilemcnt que Tozpression ^^*\ dans I'equation precedente, renferme un terme en^*, tandis que les antres sont multiplies par x*; mais ces autres termes peuTent etre negliges pour un point sitne dans le voisinage du point de rebroussement, car j: est d'un ordre d'inflniment pelits plus eleve que^. La courbe A = o peut

done 6tre remplacee par

jx* H- (/j* = o,

c'est-a-dire se compose de deux branches dont Tune touche la ligne^ = o et Tautre appartient, au contraire, au type du point de rebroussement, comme cela doit Hre. La situation indiquec dans la^?^. 8 du rebroussement de A par rapport a celui de/

resulte de ce que J = ? d designant le coefficient dej* dans/; il se Iroure par

consequent plus petit que d, de sorte qu'a une valeur donnee de^' correspond toujours une valcur de x plus petite que pour /.

dans laquelle /x a ^t^ mis k la place du facteur num^rlque

Cette Equation ne renferme pas de terme inf(£rieur au quatri&me ordre, ce qui est la marque distinctive d^un point quadruple. Les

Fig. 8.

quatre tangentes de ce point n'ont aucune situation particuliere relativement k la tangente de rebroussement ; elles sont done a elles toutes couples par les deux branches de la courbe originaire en huit points. Huit des intersections d'une courbe a point de rebroussement et de sa hessienne sont reunies au point de rebroussement. La chose a ete d^montr^e par les considerations analytiques que nous avons employees pour in^^j^ mais elle est encore vraie pour 71 = 3. Dans ce dernier cas, il existe en g^n^ral neuf points d'inflexion, mais on voit facilement que, dans Thypoth^se d'un point de rebroussement, il n'y en a plus qu'un seul. Alors en effet, ainsi que nous Tavons vu,y*est repr^sentable sous la forme

d'ou

Poury = o, A == o, on a done ou bien x^ -=^0 et j^ = o, ce qui donne six points d*intersection r^unis au point de rebroussement, ou bien j^ = et x^ z = o, ce qui donne encore deux intersections reunies au point de rebroussement, et en outre le point d^inflexion unique j- = o, z = o.

TH£0RIE G£N£aALE DE8 COCIIBBS ALGIbDllQCES. 3 1

Ces exemples, tr^s-importants pour ce qui va suivre, sufliront pour montrer Tessence et rapplicabillt^ des m^thodes expos6es. Nous passons maintenant k un probl^me plus g^n^ral, celui qui consiste a deduire la configuration d' une courbe, dans le ^voisinage d'un point multiple d'ordre k, de la forme de son equation ( * ).

Par un point de cette espece passent toujours h branches de la courbe; il peut d'ailleurs arriver que plusieurs de ces branches aient entre elles un contact simple ou un contact d'ordre plus elev^y tandis que d^autres branches ont un cours s6par6 des premieres, ainsi que nous venons, par exemple, de le voir pour la maniere dont se comporte la hessienne en un point de rebroussement de la courbe originaire. Les recherches suivantes doivent maintenant nous servir k s^parer ces difF^rentes branches de la courbe les unes des autres et k les caract^riser dans leurs rapports respectifs. Nous reconnaitrons dans Tensemble des r^sultats d'li/ie premiere approximation les combinaisons de trois types fondamentaux qui comprennent les diverses configurations d'une courbe dans le voisinage d^un de ses points. Ces types ont notamment une grande importance pour determiner la forme des branches de courbe autour d'un point lorsque ces branches sont reelles.

Nous prenons de nouveau le point dont il s'agit pour Tun des sommets du triangle de coordonn^es, ou en posant z= i pour origine d'un systeme de coordonn^es rectangulaires ; d'ailleurs, pour simplifier, nous supposerons que Taxe Y soit une tangente de la courbe k Torigine. L'^quation de la courbe est alors, suivant (2), de la forme

Avancons maintenant sur la courbe dans la direction de la tangenie x = o ; pour un point imm^diatement voisin de Torigine, la coordonnee x est infiniment petite vis-a-vis de la coordonn^e y. On doit dans ce cas, puisqu'il ne s'agit que de fonctions algebriques, et conform^ment aux principes ^l^mentaires applicables a ces fonctions, poser en fait qu'il existe certaines puissances de 7^

(*) Nous ferons connaltre a la fin de ce Chapitre une autre methode indiquce par Kother pour la resolution algebrique et pour la caracterisation d'un point multiple.

3a TOaiB II. — CHAPITBE 1.

du nidme ordre d'lnfiniment petits que Xf ce qu'on peut exprimer en disant que x est toujours comparable i une certaine puissance de y. Or cette puissance est pour la nature de Forigine un nombre caract^ristique. Comme nous prenons actuellement Taxe Y pour tangente de la courbe, dans

les termes ax^ et 2 hxy s'^vanouissent en toute hypotli^se devant j: si X et ^ sont infiniment petits ; mais il n'en est pas n^cessairement d^ m^me dej^*. Si done nous supposons prealablementc^o^ nous obtiendrons le cas le plus simple, celui oiix est comparable

Alors nous pouvons remplacer la courbe dans le voisinage de Torigine par la parabole

Cette circonstance est, par suite, caract^ristiqtie d^un contact simple avec Taxe Y. Si, au contraire,rorigine est un point d'inflexion, la polaire quadrat! que doit renfermer comme facteur la tangente d'inflexionx=o, c'est-i-direque, dansy^^^ = ax*-f- 2 ixj^-i-cj^, c doit etre nuL

Nous avons alors, en introduisant de nouveau pour un instant la troisi^me variable z^

f=.vz"-^ -f- [ax -f- a ^j) j-s"**

Ici nous pouvons, par un changement de situation de ^ = o, faire disparailre enti^rement les termes du second ordre. II suflit de poser

Les termes du second ordre disparaissent en effet, et il resle une expression de la forme

Dans le voisinage de Torigine, x sera, cette fois encore, d'un ordre d'infiniment petits plus ^lev^ que j^; nous pouvons done negliger

TIIUIRIE CEXKKALi: DCd COL'RBIS ALG^BKlQt'kS.

les lermes a'x', S/i'x^j, Sy'.r >-, et x devient comparable k j*. La courbe peut done, dans le voisinage d'un point d'inflexiony etre remplacee par une courbe

Un point double ne donne rien de particulier, car nous pouvons remplacer un poinl semblable par deux courbes de la forme (6) ; il en est autrement pour un point de rebroussefnent . Dans un point de cette nature^ nous avons

J- devient comparable ay' ou x aj* et la courbe peut etre remplacee par

Les equations (6), (7), (8) nous repr^senlent les trois types fondamentaux pr^cites. La premiere courbe (Jig* 9) court d'un seul C016 de Taxe Y et est sym^trique par rapport k Taxe X, la seconde est situ^e sym^triquement par rapport aux deux axes de coordonn^es [Jig' 10) tandis que la troisieme a son cours d'un seul c6te del'axeX et est situ^esym6triquement par rapport iraxeY(^g'. 1 1, ou d est pris n^gativement) ( * ).

Revenons maintenant au probl^mc pos<5 : etudier une courbe

Fig. 9.

Fig. 10.

Fig. 1 1 .

dans le voisinage d'un point multiple d'ordrc A. Si Toriginc est un point singulier de cette esp^ce, le d^veloppcment deycom-

(') Ponr ce qui conccrne I'etodc des points singuliers, nous renvcrrons encori* :i tm M^molre de Stou {Math. Annalen, t. VIII).

Clebsgd. — Geometric, U. 3

34 TOMB II. — CMAPITRB I.

mence par le tenae/^^K L'6quation

(g) /C*) = a^jc^^ a^ x^-^y -h . . . -h a/.y'' = o

donne les k tangentes du point, tangentes que nous devons determiner d'abord. Le cas le plus simple est celui ou F^quation du A'*"* degr^ a toutes ses racines dilTi^rentes ; la singularity du point multiple est alors ^puis^e par la recherche de ces racines, a moins que des branches particuli^res n'aient au point multiple une inflexion, ce qui n6cessiterait un examen plus approfondi. ^lors nous pouvons imaginer que le point multiple tire son origine de la reunion

de .J L points doubles. On le reconnait imm6diatement si Ton

trace les difKrentes branches de la courbe de telle mani^re qu'elles ne passent pas exactement par le m^me point, ainsi qu'il a 6te fait dans la figure ci-jointe pour un point quadruple. Le nombre

— i i donne pr^cis^ment le nombre de points d'intersection

des k diff6rentes branches ( fig, 12).

Supposons au contraire que, par exemple, r des racines de T^quation (9) soient ^gales; nous avons a ^tablir d*une maniere precise les relations respectives des r branches qui ont une tangente commune. Afin d'y parvenir, nous prendrons comme axe Y cette tan- Fig. 13.

gente qui compte z fois ; T^quatlon de la courbe devient par la (10) /=x>(*-'-) 4-/(^+*) -|-/(^+«) 4. ... =0.

Cela admis, x est encore, dans le voisinage du point consid^re, d^un ordre d^infiniment petits plus ^lev^ que^, et notre probl^me est de rechercher dans J' tons les termes qui sont comparables a afy^^''* Leur sommCf egalee h zero, represente une courbe qui peut 6tre substituee it J dans le voisinage de V origine, en tant quHls'agit uniquement des r brandies de/ qui touchent Vaxe Y.

TUEORIG GESl^RALK tCS C0CBDE8 ALGKHRIQCES. 33

La fonction o est en efiet de la forme

el dans celte expression le terme enj'*"'' ne doit pas manquer, car

autrement f renfermerait un autre facteur Xf tandis que ce facteur

est suppose entrer seulement r fois dans f^^K Tons les autres

termes de ^ renferment des facteurs x et sont par suite n^gligeables

vis-a-vis du premier. C'est done dans lesfonctions/ f^+^^yf*^'*^,...

qu'il faut chercher les termes comparables ^ afy^''] et Ton ne

doit m^me avoir egard qu'i des termes de la forme xPj^^ pour les-

quels on a /? ^ r. La somme de ces termes, ^gal^e a z^ro, repr6sente

notre courbe en premiere approximation. Cette nouvelle courbe se

composera encore de diffi^rentes branches , et sur chaque branche

X eXy auront, quant4leur ordre infinitesimal , un rapport determine;

sar chacune, x sera comparable k une puissance d^termin^e de j%

telle que j^j ou, ce qui estidentique, x* sera comparable &j^. Nous

allons maintenant indiquer une r^gle au moyen de laquelle on

peut trouver ces nombres a, |3, de mani^re k r^soudre ainsi la

courbe en difi(6rentes branches. Cest a quoi conduit la conside*

ration suivante. Supposons d'abord le rapport -r connu pour une

certaine branche. Introduisant ensuite une quantity t comme mesure d^infiniment petits, nous pouvons poser

lim .r = I?

ini Y ^=. e*

car on a alors k la limile e = x^ d'ou jr=i*z=zx^y c'est-a-dire

que j^ est comparable a x% conform^ment a Thypothese. Pour

un terme quelconque de / on a, par consequent.

Si Ton impose maintenant la condition que xPj*i devienne inGniment petit d'un ordre determine, le nombre p^ + qa devra avoir une valeur constante d6termin6e, d'ou, par exemple,

Nous avons par consequent ce ih^or^me :

Si X* et j^ sont du meme ordre d'infiniment petitSj tous les termes xPj^, qui deuiennent par cette supposition de V ordre infinitesimal il, sont determines par la condition

(ll) pp-^qr,.=ZlL,

La th^orie des nombres apprend a obtenir d'une mani^re efTeclive les nombres en question p el q\ ce probl^mc revient a la resolution de la congruence

p^^u. (mod. a)y

resolution toujours possible dans notre cas, parce que a et jS, donl le quotient entre seul'en consideration, peuvent etre supposes premiers entre eux. Pour notre but, les seules valeurs quipuissent ^tre employees sont naturellement celles pour lesquelles p -h q est plus petit que /i, /i designant Tordre de la courbe etudiee. IV^ous ai^ons maintenant a choisir [jl aussi petit que possible, car il s*agil pour nous de trouver les termes vis-a-vis desquels tous les aulres sont d'un ordre plus eleve d'infiniment petits. Nous pouvons nous faire une idee claire de la question en employant un moyen geometrique auxiliaire ( * )• Si nous considerons, en efiet, les nombres entiers p^ q respectivement comme Tabscisse et Tordonnee d\in point du plan, nous pouvons admettre quechaque terme est figure par un point ayant /?, q pour coordonnees. L'equation (i i) represente alorsune lignedroite, et nous pouvons considerer le nombre |cx comme la mesure de la distance de cette droite a rorigine, car la distance dont il s'agit est, comme on sait, egale a

UL

DonCy dans cette representation gcometrique, tons les points.

(') Cc procede a ete doiine par Newlon, d'abord pour represeuter approximativeineiit^ en fonction de x, une equation /"(jr, ;')^o etant donnee (roit Metkodus func- It ON nut et serierum infinitarum ; London, i^36. {Opuseula, cd. Castillon, t. I, p. 87 et suiv.) 11 en a 6ie fait usage pour la thcorie des courbcs par Ceamke, Introduction a V analyse des Ugnes courhes algehriques; 1760. Voir aussi, pour ce qui suit, Pui$ei*\. Recherches stir les fonctions algSbriques \Journal de Math^matiques pures et appli^ qneeSy t. XV, 18 jo (traduit en allemand par Fisciicn, Halle, 1861, p. i\ ct suiv.)].

TDEORIE CEXERAUE DBS COCRBES ALC^BRIOCES. 87

feLs que les termes correspondants de J dex^iennent injiniment petits du jx'*'"* ordre si x* est comparable a j^, sont ranges sur

one droite situee a la distance — h:J - de I'orisine,

Toul terme d^ordre d*infiniment pelits superieur, auquci par suite correspond une valeur /x^ plus grande que /i, est situ6 du ci^te de la ligne (ii) oppos^ a Torigine. Pour trouver les termes de fordre le mains eleve, nous aurons, d'apr^s cela^ a proc^der de la mani^re suivante. Soit j^ le terme du degr^ le moins 6lev^ ne renfermant pas x. II lui correspond un point a la distance s sur Taxe des ordonnees; par ce point et par un autre, dont les nombres caract^ristiques p = T:y r/ =:zii sont aussi petits que possible, menons une ligne droite situee a une distance fxde Torigine [voir ciapres Jig. i3). Tous les autres points p^ q doivent done etre situ^s du c6t^ de cette ligne de jonction oppose k Torigine. Cette derniere ligne passera encore (quoiqu*il n^en soit pas toujours ainsi) par une s^rie d'autres points qui sont situ6s entre r, x et o, .r, auxquels correspondent des termes dey*; la somme des termes do cette espece,

nous donne une courbe telle, que, pour ses branches passant par Ic point multiple, x* est comparable a j^, oc et|3 6tant d^termin^s par

ttS -H •/« = u,

Si nous posons ensuite x = x'?, y =^'', Tt^quation (12) se trans- Ibrme en une equation homog^ne du degre p en x', y ( forme binaire), car dXovs xPj^ devient ^gal k x^^Py'^, Lorsque toutes les

racines -^ de cette Equation sont dilKrentes, K, = o repr^sente une

.N^rie de branches qui ont un contact simple a Forigine, et dont chacune est figuree suivant sa forme par le type de la parabole. Quand au contraire il existe plusieurs groupes de racines ^gales entre elles, ces branches se r^soudront en classes dont la determination se fera ensuite par la repetition de considerations tout a fait semblables. Mais ce n^est qu^un peu plus tard que nous approfondirons ce sujet.

38 TOMS II. — CnAPITRB I.

Du point 7r,}& passons maintenant k un point t^^W sltu^ de Tautre c6t^ de la ligne ocq + ^p = [jl^ mais aussi pr&s que possible de cette ligne. La droite qui joint les deux points renfermera une seconde s^rie do termes, et T^quation correspondante

represente un syst^me de branches pour lesqueUes, dansle volsinage de Torigine, jc*' est comparable a y^\ On a alors

7r'f3'-+. xV = a',

// d^signant la distance de la nouvelle ligne a rorigine, et^ en vertu

de notre construction, il n'existe aucun terme pour lequel le rap-

port -r-, serait le m^me, tandis que (if aurait une valeur plus petite.

En continuant ceproc^d^y nous obtenons une s^rie de lignes dont la reunion forme un polygone. Ce polygone tourne sa convexite du cdt6 des deux axes de coordonn^es, en sorte que tons les points qui correspondent k des termes de J sont s^par^s des axes par le polygone ou sont situ6s eux-mSmes sur les c6t^s du polygone. A ces c6t6s correspond une s^rie de courbes

K.] = O, K.| =::=: Oy K.3 ^= O9 • • • .

Chacune d^elles r6unitles termes qui pour une valeur d^terminee - sont de Tordre infinitesimal le moindre possible. La derniere des

droites passe par le point/? = r, 7 = A' — r, car nous n'avons besoin de consid6rer aucun des termes pour lesquels p est plus grand que r. Le polygone est alors ferm^ par rapport a Taxe des abscisses. La continuation ult^rieure du proc^d^ ne conduirait du moins plus a des branches de courbe qui touchent Taxe ar = o. Considerons comme exemple ( * ) la courbe

^ ' ^ ^ I 4- c x> + f/x* J* 4- exx"' -i-/.r* J* -H gr* ~t- V" = o,

courbe du dixi^me ordre avec point sextuple a Torigine. Nous

(*) Foir auftfti les excmplcs traites aiix notes des pages 27 ct !i9.

TD£0RIE C£3l£KAlJt M» COVMBBS AldC£tAIQCBS«

pouvons, en premier lieu, n^gliger tous les termes dans lesquels Texposant de x est plus grand que 5 j car ces termes s'^vanouissent en toute hypoth^se devant x^jr\ nous n6gligeons de mdme^e terme en ^**, car notre construction commence par j^*. Nous conservons ainsi une courbe du neuviime ordre

x*7 -h 6 x\> • -I- djc^j^ -+- exjr^ -^f-'^j^ -+- gy^ = o.

Les termes de cette Equation sont marques d*un signe dans^la figure ci-jointe ( fig. i3). Nous avons d'abord k r^unir ie point o, 9

Fij. 1 3.

au point 21, 5; la ligne de jonction passe aussi par i, 7. Par suite, apr^s separation du facteur y^ y I'^quation

(16) K, = bx^ -h exy^ -h ^j* = o

repr^sente une courbe du quatri&me ordre qui remplace deux branches de (i4) dans le voisinage de Forigine, et qui a en ce point ce qu^on appelle un contact avec eHe^meme, L'axe X I'y rencontre en deux points coincidents , Taxe Y en quatre : nature de singu-

Fig. 14.

larit^ qui prend naissance dans le rapprochement de deux points doubles (Jig* i4)* Nous obtiendrons avec plus de precision le cours

des deux branches en posant dans (i6), d'apres le proced^ indiquc plus haul, j: = j/* , J- = j' ou x = j:/, j^ = J'', et en r^solvan t T^quation du second degr^. Par la, K| se decompose en deux facteurs

y — /wj/', X — m^\

et nous pouvons cons^quemment reniplacer K|=o par deux equations du type de la parabole (6),

X — Wi J* = o, .r — /»iJ' = o,

en supposant que jn% et 7722 soient diflerents Tun de Tautre.

Conform^ment a notre r^gle, nous avons ensuite ^ joindre par une droite le point a, 5 au point 5,1. Cette ligne ne renferme plus aucun point marqu^. Nous avons done, apr^s separation du facteur x^ y^ la courbe

Pour les branches ainsi approximativement representees de la courbe (i4)> J:* setrouve comparable aj^*. La courbe a a Torigine un point triple dont les trois tangentes se confondent avec x = o ; les trois branches sont adoss^es ^ Taxe, chacunc ^ la mani^re d'une parabole. On a d*ailleurs

et, par consequent, deux des branches sont imaginaires et une reelle. Toutes les branches de la courbe propos^e qui touchent Taxe Y sont par 14 completement determin6es. Nous pouvons ainsi, en continuant notre proc^de, obtenir une equation d^approximation pour la branche du point sextuple qui touche I'axe X. Nous devons dans ce but tirer de (i4) pour le porter dans (i5) le terme ax^, et tracer encore la ligne 5, i — 7, o. Cette ligne ne renferme plusde point marque, etla branche cherch^e est, apres separation d'un facteur x^,

\j-=.y -H ax^ =2 o;

die appartient, par suite, au type de la parabole. Les differcntes branches redles dn point sextuple sont done disposees comroe le montre i^Jig- i5 (*).

(*) Dans \^Jig* 49t ^^ ^ suppose que <i, b, m,, m^ sont des (vmndeurs poaitiTcs.

Tntome g£!<£Bale des cocrbes algebbiqces.

11 pent touiefois arriver, dans des cas particuliers, que I'expression K| de notre exemple soil un carr6 parfait. Alors le premier precede d'approximation ne sudBt plus pour separer les deux

Fig. 1 5.

Ki

branches de la courbe, qui ont dans cette clrconstance un contact d'ordre plus 6le\6 Tune avec Tautre. En g^n^ral, il peut se faire que Tune des Equations K = o (12) et (i3), par reflet de Tintroduction des variables x^y j % donne naissance k une Equation

renfermant un facteur lin^aire multiple

x' — my

(ou plusieurs). Pour s6parer les branches correspondantes de la courbe, nous r^introduirons x,^ et nous aurons alors approximalivement

Si Ton pose done ensuite jy = Xi*, ilvient

I ^tant une grandeur d'un ordrc d*infiniment petits plus eleve que y,^ Nous avons k faire cette substitution dansy(j:, j^) pour determiner approximativement ^ en fonction de y}, et, dans ce calcul approximatif de 17, on doit encore s6parer les termes d'ordre plus eleve suivant la r^gle de Cramer. Si dans les difl<6rentes classes ainsi obtenues se pr^sentent encore des Equations renfermant un facteur lin^aire multiple ^•^ — //i'^r/, il faudra encore traiter ce facteur de la m^me mani^re. On arrivera toujoursen fin de comple.

4'i TOME n. ~- GIAPnRB I.

par substitution des valeurs ^, n dans (i8), ^ im deyeloppement de X suwant les puissances Jractionnaires ascendantes de jj d^veloppement qui caract^rise la mani^re d'etre des diflRSrentes branches. Nous ^claircirons encore ceci imm^diatementparunexemple. Supposons que dans la courbe pr6c6dente y(x,^') = o Texpression K| (i6) devienne un carr6 parfait, que nousayons, par suite,

D'apres la r^gle que nous venons de donner, nous devons alors poser (a = 1,(3 = a)

u ce qui donne, si nous n^gligeons tons les termes plus ^lev6s,

En chassant le facteur r? et ordonnant autrement, nous avons r^quation

(19) if«5» -h hr} — 1- 1564- </ ^ V H-/— . «• — « -^ IS* -4- c ^ x" = O. ^ ^ u^ tr ir ir tr

Faisant usage de notre r^gle figurative, nous n*avons a consid^rer que la ligne qui joint les points 2, o et o,5, et par consequent la classe unique

d'oii r^sultent pour ^ les deux valeurs

j: h 4/ yS-

la separation des deux branches paraboliques de la classe Kt est alors achev^e. Pour un de leurs points dans le voisinage de Forigine, nous obtenons le d^veloppement

(20) a?=— -r«zfc-i/— /ir'-

TBEOEIK CtoilALS BU COVBBEB ALCtftBIQi'ES. 4^

£n ce qui conceme la forme des branches ainsi s^par^es, voici ce qui a lieu. Supposons que h soil une grandeur positive ; \l — hy^ ne devient r6el que pour des valeurs negatives de j^. Les valeurs ainsi obtenues pour x ne sont done r^elles, en supposant u eiu eux-m^mes r^els y que lorsque jr prend des valeurs negatives ; aulrement dit, les deux branches de la classe Kj qui se touchent a Torigine sont situ6es du c6t^ n6gatif de Taxe Y sans franchir Taxe X. La chose se produit suivant le type du point de rebroussement si Tune des valeurs dex est positive, I'autre negative. Mais, si le rap* port de grandeur de i^ et de & est de telle nature que les deux valeurs de x aient le m^me signe, les deux branches de courbe sont situ^es du m£me c6t6 de I'axe Y. E lies for ment un rebroussement de seconde espece {Jig- 16) ; c'est ainsi qu'on appelle cette singu-

Fig. 16.

larit^y par opposition au rebroussement ordinaire ou de premie espece.

Si Ton suppose au contraire que dansy(x, j^) = o le terme en j'* manque (A =0) et que cons^quemmentrobjet de la recherche soit une courbe du neuvi^me ordre, I'application de la rigle de Cramer k T^quation (19) donne la classe unique

u d*ou

et par consequent

4( TOMB II. — UIAPITRE I.

Dans ce cas, les deux branches ont un cours symelrique par rapport a I'axe X, suivanl le type de la parabole.

II en sera de ni^me en general, et apres que la separation dc toutes les branches de courbe a et^ edectu^e, on obtient, comme r^sultat final, un developpement en scrie suivant les puissances fractionnaires ascendantes dejy developpemenl ajant la forme

Chaque terme a autant de vaieurs diff^rentes que Tindique \v d^nominateur de I'exposant; aux difT^rentes vaieurs de .r correspondent autant de branches s^parees de la courbey= o. Le cas ou Texposant d^un terme serait entier n'est ici pas exclu, car alors le coefiicient de ce terme est toujours irrationnel et donne par suite une s^rie de vaieurs irrationnelles, comme par exemple dansTequation (21). En general, pour la caracterisation de la forme d*unr branche dans le voisinage de Torigine, le premier terme fournil ddja une base de mesure, et, dans une premiere approximation, cette forme d^pendra de la question de savoir si les nombres ql et |^ sont pairs ou impairs s^par^ment ou simultanement. Nous asfons d' apres cette idee, en generalisant nos denominations precedentes^ les trois types fondamentaux qui suivent :

type dc la parabole [fig. 9),

type du point d* inflexion [fig* 10),

type da point de reinvusscment [fig- 11).

En s'attachant specialement aux grandeurs r^elles, on pourrail enfin aj outer encore un quatrieme type, celui du rebroussement de deuxieme espece, dont T^quation (20) nous a fourni un exemple. Ce type est, en general, caract^ris^ par la circonstance que dans le d^veloppement en sirie une racine paire doit 6tre extraite d'linc puissance impalre, et que, par suite des vaieurs particuli^res dcs constantes, le signe de celte racine reste sans influence sur le signe de x. Dans ce cas, les branches en question deviennenl imaginaires d'un c6i6 de Taxe X de la maniere enonc^e. II csl d'ailleurs k observer que la m6thode developp^e par nous distingue uniquement au point de vue du reel ou de Timaginairo (p. 43) le dernier cas des autres qui sont caracteris^s par dcs

j.t/i-hl — ji«-t-l

f.lli ,14+1

THEORIE CKXKRALE DCS C0CRBB8 ALGEIBRIOLES. /^.)

developpements en serie analogues. Pour pouvoir aussi repr^senter intuitiveraent les resuUats imaginaires, il estn^cessaire d^employer ce qa*on appelle la surface de Riemann, ainsi qu'on le fait dans la iheorie des fonctions ; mais nous ne pouvons ici insister davantage sur ce point.

Obser^'ons specialement, comme resuUat de la recherche eflectu^e iciy qu'une branche reelle d^une courbe algebrique ne pent jamais ^tre interrompue, ou que, ce qui est la m^me chose :

^ parlir de chaque point d'une courbe algebrique, il existe toujours sur la courbe unnombre pair de directions d'avancement differenteSj parmi lesquelles plusieurs peuvent dtre indefiniment rapprochees (comme dans les points de rebroussement).

La m^thode que nous avons employee pour lYtude d'un point singulier, et d'apr^s laquelle on place Torigineau point en question et Ton d^veloppe suivant les puissances de x,j', va nous servir a etablir un th^or^me important , souvent appliqu^ et d^montre rigoureu semen t par Nother ( * ) .

Nous avons ddja, h plusieurs reprises, fait usage de la proposition d^apr^s laquelle T^quationd^une courbe /'=o qui passe par les points d^intersection de deux courbes 9 = 0, ^ = pent toujours ^tre mise

sous la forme

/=Ay-hB-f =0,

A = o, B = o etant ^galement des Equations de courbes. Or ce fait n^est vrai sans restriction qu^autant que dans les points d'intersection de 9 et de ^ aucune de ces courbes ne possede de point multiple. Dans les autres cas, certaines conditions doivent etre remplies pour que la representation pr6c6dente dej soit possible, et nous nous proposons dans ce qui suit d'^tablir ces conditions. Nous rechercherons , dans ce but, le mode d'exis tence d' une courbe /^^A9-|-B^ = o dans le voisinage d'un point P ou se coupent deux courbes 9 =0, t|f = o, et ou la premiere possede un point multiple d'ordre q, la seconde un point multiple d'ordre r, en sorle que rq des intersections des deux courbes s'y trouvent rounirs ;

(') Uc^r einen Satz aas der Theorie der algebraischen F ntictionen {Gottingei Stic!i~ tichten, 187a, p. '190, ou 3Jat/t. Annnlen, t. VI, p. 35a).

\Cy TOMB II. — CHAMTRE I.

soity pour preciser, r^</. Nous nous bornonsici aucas ouIesdifTerentes branches de f et ^ n*ont pas de contact entre elles. Si nous prenons le point P pour origine, tous les termes de dimension o, i^a, ...,(7 — i) dans /* s'^vanouissent en toute hypoth^sci et, par suite y f aura n^cessairement un point multiple d'ordre y. Cette circonstance donne d'abord I'^vanouissement de