constantest
ce qui conduit incidemment au th^or^me suivant :
Si un point determine doit Stre un point multiple d'ordre q pour une courbe algebrique, cette condition est equivalents a
^-^ conditions lineaires, c'est-4-dire que pour une courbe
du «**"• ordre on ne pent plus choisir que — ^ ■ — ^-^^? ^
points arbitrairement.
Dans notre cas toutefois , pour r ^ ^^ se pr^sentent encore d'autres conditions. Les termes des dimensions 7,7 + 1,...,/' — 1 dans fp sont nuls. Les (y + £ + i) coefiicients des termes du {q + i)'*"* ordre dans/ (i = o, 1 , . . ., r — q — i) dependent done uniquement des coefTicients des termes d^gale dimension dans le produit Acp. Ces derniers termes s'obtiennent en multipliant
les termes d'ordre q dans f par les termes d*ordre i dans A,
On ne pent done repr^senter sous la forme A<f + Btp que les fonctionsy dans lesquelles les 7 + 1 + 1 coefficients des termes de la dimension (q + i) peuvent s*exprimer lin^airement par
quantit^s arbitraires (par les coefUcients de A). Or les termes de la7»*»% de la(y + i)»*"% ..., de la (r — i)'*™ dimension dans/ renferment
THtoBlE C£!(teALS BES C0UUB8 JLLC^BRIQCBS. 4?
coeificients. Ge seront, en consequence, des fonctions lin^aires homogenes des
coefficients arbltraires des termes des dimensions o, i , . . . , (/' — q — i ) dans A; ou, autrement dit, entre les coefficients des termes de la y**"*, de la (q -+- 1)**"*, . . ., dc la (r — i)**"' dimension de f de- \Tont exister les Equations lin^aires homog^nes en nombre
(^j (r-y)(r-Hy-t-.)(r-y)(.-^ + .)^^^^.^^
qui r^sultent de T^limination des coefficients pr6cit^s de A.
Mais la singularity que pr6sentent f et ^ au point consid^re exerce encore son influence sur une s^rie de termes d^ordre plus elev^ lorsque^est representable par Af + B({>. £n g^n^ral, les termes d'ordre k dans ^s*obtiennent en multipliant
dans f ks termes d'ordre 7 par les termes d'ordre /* — q dans A,
dans *^ les termes d*ordre r par les termes d'ordre k — /-dans B, » /'-hi » /* — r — I
Nous pouvons par 1ft determiner le nombre des coefficients de A, B qui entrent dans les termes de la fonction Af + B^^ jusqu'4 la Ar'^® dimension inclusivement. On trouve
I H- 2 -4- ...-H (A- — </ -f- 1) = - (X- — 7 -I- a) (X- — 7 + 1) coefficients de A,
et
1 4- 2 -h...H- (X- — /• -f- 1) r= - (X- — r H- 2) [k — r -f- 1) coefficients deB.
En tout, par consequent, Acp + Btprenferme, dans les termes qui vent jusqu'ft la A**"* dimension inclusivement,
param^treSy tandis que le nombre des coefficients k exprimer par les param^tres en question dans les termes d'^gale dimension dej. c'est-4-dire dans ceux qui vont de la flr'*"' k la A**"* dimension, est
Pm - (/H- y-f- 2) (X- — </-+- 1).
Si nous augmentons maintenant A de i , Q croitra de
A" — 7 -f- 2 + /• — /'-ha
et les A-f- 2 coefficients d'une forme binairc du (A + 1)**"* ordre s'adjoignent k P, c'est-a-dire que P s'accroil de
La difference P — Q qui indique le nombre des conditioii> necessaires entre les coeflficicnts precit^s de^croit, dans cette circonstance, de A — r/ — /•-!- 2; tel est, en consequence, le nombre des conditions introduites a nouveau lorsqu'on prend en consideration les termes de la (A-|- 1)'*™* dimension en outre de ceux dv la A**""*. Si done A est, en particulier, 6gal a.^ •+- r — 2, ilne s'ajoule aiicu/ze condition nouvelle ; autrement dit, les coefficients des termes de la [{/ -h-f — i)'<^'«<? dimension dej ne sont plus iujliiences par Ir point singulier.
En consequence, si nous posons Ji = (f -^ r — o., 11 vient
C^est la Ic nombre total des Equations lineaires necessaires ; parmi elles sont comprises les (r — q)q indiquees dans (a3). Comme en
outre -y(^ + i) conditions sont imposecs par le point multiple
Jm
d'ordre q que / poss^de en P, nous avons demon tr^ le iheor^nie suivant:
Si deux courbes <!» = 0,^ = ont respectivement en un de leurs points d' intersection P un point multiple d'ordre q et un point multiple d'ordre r(r^y), il fauty pour quune courbe passant par les points d* intersection de rf et de ^ puisse elre representee sous lajornic
/—.Af-h n;* = o,
TH^OBIE Ce2l£KALB DK8 COCKBES ALGEBKIQIiES. ^9
que cette courbe ait en P un point multiple d'ordre q^ et que, si ce dernier point est pris pour origine, les coefficients de f juS" qu'a la (/*H-'/ — i)*^"* dimension exclusivement satisfassent a
rq 9 (y "+" ') equations de condition lineaires homogenes.
La reciproque de ce th^or^me est vraic, c'est-a-dire que Ics rq conditions trouvees sont suffisantes pour que Ton puisse representerysous la forme A(y4-B^. Nous d^montrerons ce dernier point de la maniere suivante {*), Si les rq conditions trouvees sont satisfaiteSy on peut toujours trouver deux si^ries a, b proc^dant suivant les puissances entidres et positives de x et telles que Ton aity=ay H-i^. Si done nous remplagons Torigine par un point quelconque, il nous suilGra de d^montrer le th^oreme suivant :
Soit oLy ^ un systime de solutions des equations y = o, 4* = o ; soient a, b deux developpements procedant suivant les puissances entieres positives et ascendantes de [x — a) et [j — 13). Pour que J soit de la forme Acj H- Bt|^, ilfaut et il suffit que Von puissa determiner a et b par la condition
Supposons en premier lieu(p==a:. Groupons dans^, (f» et B les icrmes ind^pendants de x, et ecrivons
En faisant le m^me groupement dans (A^ + B^) et retenant seulement les termes ind^pendants de Xy on obtient
c*est-a-dire que , pour V exactitude de V equation A(y + B'^ = o, en supposant o = x, il est necessaire que la par tie independantc dex dans f soit divisible par la partie independante dex dans ^,
Cette condition est suffisante, comme on le voit imm^diatemenl.
Soit P une racine de V [jr). Supposons la condition (^4) remplie
'*) Voir Halpher, Sur une proposition d*Algebre (Bulletin dc la Societi mat/tematique de France, t. V, p. 160).
Clebscb. — G^m^trie, II. 4
^O TOME II. — CHIPITKC 1.
pour le syst^me (oy/3). On conciut de Ik, par le lueine ralsonnement,
bt ^tant unc s^rie convergente dans le voisinage de 7' = p. II s'ensuit que F contient le facteur (j^ — jS) au molns k la mSme puissance queV.
Si maintenant il en est de mdme pour chaque racine de 7, il en r^sulte que F est divisible par ¥. Done la proposition annoncee est prou9ee pour le cos oil I' on a y = x. Au moyen d*une substitution lin^aire, on en conciut que la proposition est prouvee aitssi pour le cas oil f est un trindme du premier degre en x, y,
Arrivons maintenant au cas g^n^ral. Supposons pour un instant les coefficients de (p variables, et faisons-les varier de telle sorte que le syst^me de solutions (a, ^)y multiple d'ordre rq, se change en/'^ syst^mes difli^rents (cCi, (3|)y (ars^Ba),. • .. Soient P|, P^, . • • des trin6mes du premier degr^ assujettis simplement aux conditions de s'^vanouir, Pj pour a: = an j^ = (3|, Pj pour x = a3,
T = Pa? ....
En meme temps, un second syst^me de solutions (a', /3'), multiple d'ordre t^ (f <, se change en /•'y' syst^mes diflerents. Soient de mdme F, , P^, •.. des trin^mes assujettis k des conditions analogues, et ainsi de suite.
Soient n le produit de tous ces trin6mes, et ^ le polyn6me f dont on a fait varier les coeflicients. Toutes les solutions communes a ^' = et(|;=: o 6tant simples, nous avons
A'etB'^tant des polyn6mes entiers. Cette relation subsiste a la limite lorsque y'= a>. Alors Po P^y • • • s'6vanouissent pour x = a, j^ = l3, et ainsi des autres.
De 1^ cette proposition, pr^paratoire :
5i Po Po, . . . sont des trinomes du premier degre en or, r assujettis simplement a s'evanouir pour x = a, j^^ = j3 ; siV^, P'j, ... sont de meme des trinomes assujettis a s'ei^anouir pour x = a\ y = ^\ et de m^me pour chaque solution commune a (5) = o, ^p = o. on peut choisir le nombre de ces trindmes de maniere a axfoir, en designant par H leur produit, et quel que soil le polynome
TDkORIi: UEN^HALL DES UiVtkWji ALGKKHIQUKS. Sf
ri/=C|»-+-D-^,
CetD etant aussi des jjolynomes entiers.
Supposons mainlenant la conditioa (a4) remplie aui environs de (a, ^). II r^sulte alors de T^qualion que nous venons d'ecrire et dans les mdmes limites
(all — C;^H- (An — D;-;» = o,
et par suite
c designant un d^veloppement analogue k a.
Consid^rons s^par^ment dans 11 le facteur P^. Les solutions communes a P4 = o et^ = o autres que {cLy^) sont toutes simples et ne font pas ^vanouir tf\ elles font done ^vanouir C, suivant Tune des Equations pr^c6dentes. En ce qui concerne la solution a, p, Tequation C= all + c^ peut 6tre envisag^e comme exprimant que la condition ( a4] est remplie k regard de P^ tp ; C, jouant le r61e de <p, ^yf* D'ailleurs, Pj est un trindme du premier degr^. Done, d'apr^s un resultat pr^c^dent,
Ci et B designant des polynomes entiers.
La derni^re valeur de C port^e dans Tl,f=. (^o -|- Dv{; conduit a
Comme 11 contient le facteur P^ , le coefficient de ^ dans cette derni^re identity contient aussi ce facteur. En le supprimant et en designant par 11 4 le produit des autres trinomes, nous aurons
R^p^tons sur cette equation et a regard de P2 le m^me raison* nement, et ainsi de suite. Nous ferons ainsi disparaitre du coeffi* cient de f dans Iiy= 0"^-^ D^ tons les trinomes relatifs k la solution (ffy (3). Si maintenant les conditions analogues ^ (24) sont satisfaites par^ pour toutes les solutions communes a f = o et «[» = o, on fera de m^me disparattre tons les trindmes P', P", .... Doncyest de la forme Kr^-h B^i : c'est ce qu'il fallait d^montrer.
5 a TOMB II. — ClfAPITRE I.
Nous mentionnerons ici un cas special, fr^quemment applique, de celte proposition. Une partie des rq conditions est satisfaite identiquement en toute hypothdse si f possMe en P un point multiple d^ordre m [m etant plus grand que (/), tandis que A poss^de simultan^ment un point multiple d'ordre nt — qy et si, pour m ^ /*, B poss^de aussi au m^me point P un point multiple d'ordre m ^- r, c'est-a-dire si les termes correspondants de la dimension la moins ^lev^e en A et B manquent eux-m^mes; pour les termes de la /yi»*"« jusqu'a la [r -{- q — a)'^™® dimension, les autres relations continuent a subsister. On pent les consid^rer comme des conditions qui r^glent la situation des diverses bran> dies dey qui passent par P k I'egard de celles de 9 et de ^f*. Si done on a /« = /• H- y — i , il n'existe plus aucune condition relative au groupement de ces branches. De la ce th^or^me, important a cause de ses applications :
Une courbe y= o, qui a en un point P un point multiple d'ordre r -{-q — i et qui passe par les points d' intersection de deux courbes 9 = o, ^|/ = o telles que f ait enV un point multiple d'ordre q, t^ un point multiple d'ordre r, peut toujours etre representee sous la forme
/=Ay-t-B-^ = o,
A = o ayant en P un point multiple d'ordre r — i , B = o un point multiple d'ordre q — i .
