CHAPITRE VI

32. Étant donnés des paramètres R’, R’, R”,.…., que nous supposons indéterminés et indépendants les uns des autres, nous appelons domaine de rationalité l'ensemble de toutes les fonctions rationnelles que l’on peut former au moyen de ces paramètres et des nombres entiers; nous disons que ces quantités définissent le domaine (R'R”..) et que les fonctions rationnelles précédentes sont des éléments de ce domaine. Toute fonction rationnelle d’un nombre quelconque d'éléments du domaine fait encore partie du même domaine; le domaine le plus simple est formé par les nombres entiers et rationnels, il ne contient plus aucun paramètre.

Soient maintenant x, y, z,... des variables indépendantes ; nous appellerons fonction entière de ces variables dans le domaine (R'R’...) une fonction entière par rapport à æ, y, z,... dont les coefficients sont des éléments du domaine, c’est-à-dire des fonctions rationnelles des paramètres.

Toute fonction entière peut se mettre sous la forme du quotient de deux fonctions : l’une entière par rapport aux variables et aux paramètres, avec des coefficients entiers, l’autre entière par TAPRO aux paramètres seulement, avec des coefficients entiers.

(*) Les considérations qui font l'objet de ce chapitre ont été développées surtout par KronEckEr dans sa « Festschrift zum Kummer’s Jubilæum » ; consulter aussi son article « Zerlegung der ganzen Grœssen », Crelle, t. 94, le mémoire de M. Mozx « Sur une notion qui comprend celle de la divisibilité », Acta Mathematica, t. 6, et l’« Introduction à la Théorie des Nombres et à l'Algèbre Supérieure » de MM. Borez et Dracu.