Nous nous proposons de résoudre le problème suivant

Etant donnée une fonction entière dans un domaine donné de rationalité, chercher si elle est réductible ou non et, dans le premier cas, la décomposer en facteurs irréductibles.

Nous montrerons que l’on peut résoudre ce problème à l’aide d’un nombre limité d'opérations. Nous allons d’abord considérer le cas simple d’une fonction entière d’une seule variable dans le domaine de rationalité formé par les nombres entiers ; on peut toujours mettre la fonction sous la forme

es (æ) — fra (ax" —- (TE TN Run Hoi q dl P

OÙ do, di, .…, 4 Sont des entiers sans diviseur commun, et — q

une fraction irréductible, et l’on a à rechercher si f(x) est réductible ou irréductible, c’est-à-dire admet des diviseurs entiers à coefficients rationnels ou entiers.

Je vais montrer qu'il suffit de se limiter à ce dernier cas, et dé montrer le lemime suivant de Gauss :

. Si un polynome à coefficients entiers est divisible par un polynome à coefficients rationnels, il est égal au produit de deux polynomes à coefficients entiers.

Supposons que le polynome (x) = ax" + ax" +.,.+a, admette le diviseur o(x) à coefficients, rationnels, de façon que

f(x) = e(x)Y(x), où Y(x) est de même nature que #(x); en mettant en évidence le

dénominateur commun aux coefficients de chacun de ces polynomes, on à une identité de la forme

où w.,(x) a ses coefficients entiers, sans diviseur commun avec m, et de même (x) a ses coefficients entiers sans diviseur commun avec m'; je vais montrer que m' divise tous les coefficients de w(x) et m tous ceux de (x), ou bien, ce qui suffit pour la démonstration, que tout diviseur premier p de # divise tous les coefficients de o1(T).

Tous céux de d(x) n'étant pas divisibles par p, nous désignerons par y1(œ) le reste de la division par p de ce polynome, et nous âurons en chassant les dénominateurs une identité de la forme

Phi) = (&)xx) ;

comme le coefficient du terme de plus haut degré de y1(æ) n’est pas divisible par p, les relations d'identification montrent que p doit diviser tous les coefficients de v,(x), ce qui était à démontrer ;

ei(x) 0 (x)

alors f(x) est égal au produit des deux polynomes me TE

à coefficients entiers.

34. La question est ainsi ramenée à la recherche des diviseurs à coefficients entiers du polynome f(x), et il suffit de se limiter aux diviseurs dont le degré ne dépasse pas la moitié du degré de f(x).

Si l’on se donne le degré v d’un diviseur e(x), on peut toujours

exprimer ce polynome au moyen de la formule de Lagrange, en

fonction de v +1 entiers,arbitrairement choisis, 1, æ, .…., æ,14, par exemple 0,1,2,...,v, et de +1 quantités arbitraires, Ui, Ur, ..., Ut, Qui représentent les valeurs de e(x) pour Vi, La, .. 249 Ly+4 ; en posant P(æ) = (x — aix — 2)... .(x — 2,44), on à v+-1 ) P(x 1 (1) ge) = Du —; | VA que Ln P (x)

mais o(x) devant diviser f(x), ox) = uw, est un entier qui doit diviser f(x») ; w, doit donc être compris parmi les diviseurs entiers du nombre /{x,), diviseurs qui sont en nombre limité ; on est ainsi amené à décomposer en facteurs chacun des nombres

f\æs), f\æs), Hours [ (Æv+4)s

et à choisir de toutes les manières possibles les entiers US QUS SR CUT

respectivement parmi les diviseurs de ces nombres ; on a ainsi, en les transportant dans (1), un nombre limité de polynomes e{x) ; on essayera si ceux d’entre eux qui sont à coefficients entiers divisent effectivement f(x) ; si aucune division ne réussit, c’est que le polynome donné n’a aucun diviseur de degré v. |

En donnant à v les valeurs successives 1, 2, ..., on verra, par un nombre limité d'opérations portant sur des nombres entiers, si f(x) est irréductible ou a des diviseurs ; ces derniers se trouvent déterminés par cela même.

On peut mettre de cette façon une fonction entière d’une variable dans le domaine des nombres entiers sous la forme

ae où «a, B,...,x, f’,... sont des nombres premiers, P(x), Q(x), .

des polynomes à coefficients entiers et sans diviseur.

La décomposition n’est possible que d’une seule manière ; cela résulte de cette propriété des polynomes irréductibles, que l’on démontre comme pour les nombres entiers : si un polynome irréductible divise un produit de plusieurs polynomes, il divise au moins l’un d’eux.

35. Je considère maintenant le cas d'un polynome entier par rapportà g variables x, y, z,..., dontles coefficients appartiennent au domaine défini par les nombres entiers ; en supposant qu’on ait résolu pour g—1 variables le problème proposé, on peut employer une marche analogue à la précédente, et utiliser la formule de Lagrange sous la forme (4); w, est alors une fonction de

RER diviseur de f(x, y, z, ..). On peut aussi ramener immédiatement le cas de q variables à celui d’une seule de la manière suivante :

Soit g un nombre entier supérieur au plus fort exposant de chacune des variables dans le polynome donné ; en posant y = 4, z = x?,.., on transforme la fonction en un polynome entier en x, F(x). Aun terme ax*yfz'... de f correspond dans F un terme dont l’exposant est a+ fg+yg+...; il peut être considéré comme

un nombre écrit avec les chiffres «, £, . dans un système de numération de base 9, de sorte que les termes de f et F se correspondent d’une manière unique.

Si f est décomposable en un produit de fonctions entières, il en est de même de F ; on estainsi amené à appliquer à F(x) la méthode exposée plus haut, et à voir si les différentes fonctions en x, y, z qu'on déduit des diviseurs trouvés sont bien des diviseurs de